2011西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案(文理科).rar
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北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷數(shù)學(xué)(文科) 2011.5第卷(選擇題 共40分)一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.已知集合,,且,則等于(A)(B)(C)(D)2.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點落在(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.已知,則下列不等式正確的是(A)(B)(C)(D)4.在中,“”是“為直角三角形”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件51正(主)視圖俯視圖222側(cè)(左)視圖21一個幾何體的三視圖如圖所示,則其體積等于(A)(B)(C)(D)6.函數(shù)的部分圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點,是圖象的最高點,是圖象與軸的交點,則xBPyO(A)(B)(C)(D)7若,則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為(A)0個(B)1個(C)2個(D)3個8已知點及拋物線,若拋物線上點滿足,則的最大值為(A)(B)(C)(D)第卷(非選擇題 共110分)二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分. 9. 已知為等差數(shù)列,則其前項之和為_.10已知向量,設(shè)與的夾角為,則_.11.在中,若,則_.12平面上滿足約束條件的點形成的區(qū)域為,則區(qū)域的面積為_;設(shè)區(qū)域關(guān)于直線對稱的區(qū)域為,則區(qū)域和區(qū)域中距離開始輸入否結(jié)束輸出是最近的兩點的距離為_.13.定義某種運算,的運算原理如右圖所示.則_;設(shè).則_.14.數(shù)列滿足,其中,給出下列命題:,對于任意,;,對于任意,;,當(dāng)()時總有.其中正確的命題是_.(寫出所有正確命題的序號)三、解答題:本大題共6小題,共80分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)已知函數(shù).()求函數(shù)的定義域;()若,求的值.16.(本小題滿分13分)如圖,菱形的邊長為,,.將菱形沿對角線折起,得到三棱錐,點是棱的中點,.()求證:平面;()求證:平面平面;ABABCCDMODO()求三棱錐的體積.17.(本小題滿分13分)由世界自然基金會發(fā)起的“地球1小時”活動,已發(fā)展成為最有影響力的環(huán)?;顒又唬衲甑膮⑴c人數(shù)再創(chuàng)新高.然而也有部分公眾對該活動的實際效果與負(fù)面影響提出了疑問.對此,某新聞媒體進行了網(wǎng)上調(diào)查,所有參與調(diào)查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示:支持保留不支持20歲以下80045020020歲以上(含20歲)100150300()在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取個人,已知從“支持”態(tài)度的人中抽取了45人,求的值;()在持“不支持”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體,從這5人中任意選取2人,求至少有人20歲以下的概率;()在接受調(diào)查的人中,有8人給這項活動打出的分?jǐn)?shù)如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8個人打出的分?jǐn)?shù)看作一個總體,從中任取個數(shù),求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率.18.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()記曲線在點(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值.19.(本小題滿分14分)已知橢圓()的焦距為,離心率為.()求橢圓方程;()設(shè)過橢圓頂點,斜率為的直線交橢圓于另一點,交軸于點,且成等比數(shù)列,求的值.20.(本小題滿分13分)若函數(shù)對任意的,均有,則稱函數(shù)具有性質(zhì).()判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質(zhì),并說明理由.; .()若函數(shù)具有性質(zhì),且(),求證:對任意有;()在()的條件下,是否對任意均有.若成立給出證明,若不成立給出反例.北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)學(xué)(文科) 2011.5一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 題號12345678答案CBCADBBC二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分. 9. 10. 11. 12. ; 13. ; 14. 注:12、13題第一問2分,第二問3分.14題只選出一個正確的命題給2分,選出錯誤的命題即得0分.三、解答題:本大題共6小題,共80分.若考生的解法與本解答不同,正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15.(本小題滿分13分)解:解:()由題意, 2分所以,. 3分函數(shù)的定義域為. 4分()因為,所以, 5分, 7分, 9分將上式平方,得, 12分所以. 13分16.(本小題滿分13分)()證明:因為點是菱形的對角線的交點,所以是的中點.又點是棱的中點,所以是的中位線,. 2分因為平面,平面,所以平面. 4分()證明:由題意,,因為,所以,. 6分ABCMOD又因為菱形,所以. 7分因為,所以平面, 8分因為平面,所以平面平面. 9分()解:三棱錐的體積等于三棱錐的體積. 10分由()知,平面,所以為三棱錐的高. 11分的面積為, 12分所求體積等于. 13分17.(本小題滿分13分)解:()由題意得, 2分所以. 3分()設(shè)所選取的人中,有人20歲以下,則,解得.5分也就是20歲以下抽取了2人,另一部分抽取了3人,分別記作A1,A2;B1,B2,B3,則從中任取2人的所有基本事件為 (A1,B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共10個. 7分其中至少有1人20歲以下的基本事件有7個:(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2), 8分所以從中任意抽取2人,至少有1人20歲以下的概率為. 9分()總體的平均數(shù)為,10分那么與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的數(shù)只有8.2, 12分所以該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率為. 13分18.(本小題滿分14分)解:()由已知,所以, 2分由,得, 3分所以,在區(qū)間上,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減; 4分在區(qū)間上,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增; 5分即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.()因為,所以曲線在點處切線為:. 7分切線與軸的交點為,與軸的交點為, 9分因為,所以, 10分, 12分在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.13分所以,當(dāng)時,有最大值,此時,所以,的最大值為. 14分19、(本小題滿分14分)xyODBE解:()由已知,. 2分解得, 4分所以,橢圓的方程為. 5分()由()得過點的直線為,由 得, 6分所以,所以, 8分依題意,.因為成等比數(shù)列,所以, 9分所以,即, 10分當(dāng)時,無解, 11分當(dāng)時,解得, 12分所以,解得,所以,當(dāng)成等比數(shù)列時,. 14分20.(本小題滿分13分)()證明:函數(shù)具有性質(zhì). 1分,因為, 3分即,此函數(shù)為具有性質(zhì).函數(shù)不具有性質(zhì). 4分例如,當(dāng)時, 5分所以,此函數(shù)不具有性質(zhì).()假設(shè)為中第一個大于的值, 6分則,因為函數(shù)具有性質(zhì),所以,對于任意,均有,所以,所以,與矛盾, 所以,對任意的有. 9分()不成立.例如 10分證明:當(dāng)為有理數(shù)時,均為有理數(shù),當(dāng)為無理數(shù)時,均為無理數(shù),所以,函數(shù)對任意的,均有,即函數(shù)具有性質(zhì). 12分而當(dāng)()且當(dāng)為無理數(shù)時,.所以,在()的條件下,“對任意均有”不成立.13分(其他反例仿此給分.如,等.)北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷數(shù)學(xué)(理科) 2011.5第卷(選擇題 共40分)一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.已知集合,且,則等于(A)(B)(C)(D)2.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點落在(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3.在中,“”是“為鈍角三角形”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分又不必要條件4.已知六棱錐的底面是正六邊形,平面.則下列結(jié)論不正確的是(A)平面(B)平面(C)平面(D)平面5.雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線離心率為(A)(B)(C)(D)xABPyO6.函數(shù)的部分圖象如右圖所示,設(shè)是圖象的最高點,是圖象與軸的交點,則(A)(B)(C)(D)7已知數(shù)列的通項公式為,那么滿足的整數(shù)(A)有3個(B)有2個(C)有1個(D)不存在8設(shè)點,如果直線與線段有一個公共點,那么(A)最小值為(B)最小值為(C)最大值為(D)最大值為第卷(非選擇題 共110分)二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.OABPDC9在中,若,則_.10.在的展開式中,的系數(shù)是_.11如圖,是圓的直徑,在的延長線上,切圓于點.已知圓半徑為,則_;的大小為_.開始輸入否結(jié)束輸出是12.在極坐標(biāo)系中,點關(guān)于直線的對稱點的一個極坐標(biāo)為_.13定義某種運算,的運算原理如右圖所示.設(shè).則_;在區(qū)間上的最小值為_.14.數(shù)列滿足,其中,當(dāng)時,_;若存在正整數(shù),當(dāng)時總有,則的取值范圍是_.三、解答題:本大題共6小題,共80分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)已知函數(shù).()求函數(shù)的定義域;()若,求的值.16.(本小題滿分13分)如圖,已知菱形的邊長為,,.將菱形沿對角線折起,使,得到三棱錐.()若點是棱的中點,求證:平面;()求二面角的余弦值;()設(shè)點是線段上一個動點,試確定點的位置,使得,并證明你的結(jié)論.M17.(本小題滿分13分)甲班有2名男乒乓球選手和3名女乒乓球選手,乙班有3名男乒乓球選手和1名女乒乓球選手,學(xué)校計劃從甲乙兩班各選2名選手參加體育交流活動.()求選出的4名選手均為男選手的概率.()記為選出的4名選手中女選手的人數(shù),求的分布列和期望.18.(本小題滿分14分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).()當(dāng)時,求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積;()若函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點,且極大值與極小值的積為,求的值.19.(本小題滿分14分)已知橢圓的離心率為,且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為()求橢圓的方程;()設(shè)直線與橢圓交于兩點,且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求面積的最大值20.(本小題滿分13分)若為集合且的子集,且滿足兩個條件:;對任意的,至少存在一個,使或.則稱集合組具有性質(zhì).如圖,作行列數(shù)表,定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為.()當(dāng)時,判斷下列兩個集合組是否具有性質(zhì),如果是請畫出所對應(yīng)的表格,如果不是請說明理由;集合組1:;集合組2:.()當(dāng)時,若集合組具有性質(zhì),請先畫出所對應(yīng)的行3列的一個數(shù)表,再依此表格分別寫出集合;()當(dāng)時,集合組是具有性質(zhì)且所含集合個數(shù)最小的集合組,求的值及的最小值.(其中表示集合所含元素的個數(shù))北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)學(xué)(理科) 2011.5一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 題號12345678答案CCADCBBA二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分. 9. 10. 11.;12.(或其它等價寫法) 13.; 14.;.注:11、13、14題第一問2分,第二問3分.三、解答題:本大題共6小題,共80分.若考生的解法與本解答不同,正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分.15.(本小題滿分13分)解:()由題意, 2分所以, 3分所以, 4分函數(shù)的定義域為. 5分() 7分 8分. 10分因為,所以. 11分所以, 12分 . 13分16.(本小題滿分13分)()證明:因為點是菱形的對角線的交點,所以是的中點.又點是棱的中點,所以是的中位線,. 1分因為平面,平面,所以平面. 3分ABCODxyzM()解:由題意,因為,所以,. 4分又因為菱形,所以,.建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.所以 6分設(shè)平面的法向量為,則有即:令,則,所以. 7分因為,所以平面. 平面的法向量與平行,所以平面的法向量為. 8分,因為二面角是銳角,所以二面角的余弦值為. 9分()解:因為是線段上一個動點,設(shè),則,所以, 10分則,由得,即,11分解得或, 12分所以點的坐標(biāo)為或. 13分(也可以答是線段的三等分點,或)17.(本小題滿分13分)解:()事件表示“選出的4名選手均為男選手”.由題意知 3分. 5分()的可能取值為. 6分, 7分, 9分, 10分. 11分的分布列:12分. 13分18、(本小題滿分14分)解:(), 3分當(dāng)時,所以曲線在處的切線方程為, 5分切線與軸、軸的交點坐標(biāo)分別為, 6分所以,所求面積為. 7分()因為函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點,所以,方程在內(nèi)存在兩個不等實根, 8分則 9分所以. 10分設(shè)為函數(shù)的極大值點和極小值點,則, 11分因為,所以, 12分即,解得,此時有兩個極值點,所以. 14分19.(本小題滿分14分)解:()因為橢圓上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為,所以, 1分又橢圓的離心率為,即,所以, 2分所以,. 4分所以,橢圓的方程為. 5分()方法一:不妨設(shè)的方程,則的方程為.由得, 6分設(shè),因為,所以, 7分同理可得, 8分所以, 10分, 12分設(shè),則, 13分當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以面積的最大值為. 14分方法二:不妨設(shè)直線的方程.由 消去得, 6分設(shè),則有,. 7分因為以為直徑的圓過點,所以 .由 ,得 . 8分將代入上式,得 . 將 代入上式,解得 或(舍). 10分所以(此時直線經(jīng)過定點,與橢圓有兩個交點),所以. 12分設(shè),則.所以當(dāng)時,取得最大值. 14分20.(本小題滿分13分)()解:集合組1具有性質(zhì). 1分011000011001所對應(yīng)的數(shù)表為:3分集合組2不具有性質(zhì). 4分因為存在,有,與對任意的,都至少存在一個,有或矛盾,所以集合組不具有性質(zhì). 5分111111111111000000000() 7分. 8分 (注:表格中的7行可以交換得到不同的表格,它們所對應(yīng)的集合組也不同)()設(shè)所對應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表,因為集合組為具有性質(zhì)的集合組,所以集合組滿足條件和,由條件:,可得對任意,都存在有,所以,即第行不全為0,所以由條件可知數(shù)表中任意一行不全為0. 9分由條件知,對任意的,都至少存在一個,使或,所以一定是一個1一個0,即第行與第行的第列的兩個數(shù)一定不同.所以由條件可得數(shù)表中任意兩行不完全相同. 10分因為由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個,去掉全是的元有序數(shù)組,共有個,又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同,所以,所以.又時,由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個,去掉全是的數(shù)組,共個,選擇其中的個數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表,則數(shù)表對應(yīng)的集合組滿足條件,即具有性質(zhì).所以. 12分因為等于表格中數(shù)字1的個數(shù),所以,要使取得最小值,只需使表中1的個數(shù)盡可能少,而時,在數(shù)表中,的個數(shù)為的行最多行;的個數(shù)為的行最多行;的個數(shù)為的行最多行;的個數(shù)為的行最多行;因為上述共有行,所以還有行各有個,所以此時表格中最少有個.所以的最小值為. 14分
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2011
西城區(qū)
高三二模
數(shù)學(xué)試卷
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文理科
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