《高考數學一輪復習 第三章 導數及其應用 3.4 定積分與微積分基本定理課件 文 北師大版.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學一輪復習 第三章 導數及其應用 3.4 定積分與微積分基本定理課件 文 北師大版.ppt（31頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

3.4 定積分與微積分基本定理,考綱要求:1.了解定積分的實際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念. 2.了解微積分基本定理的含義.,1.定積分的定義和相關概念 一般地,給定一個在區(qū)間[a,b]上的函數y=f(x),其圖像如圖所示. 將[a,b]區(qū)間分成n份,分點為:a=x0x1x2…xn-1xn=b. 第i個小區(qū)間為[xi-1,xi],設其長度為Δxi,在這個小區(qū)間上取一點ξi,使f(ξi)在區(qū)間[xi-1,xi]上的值最大,設S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn. 在這個小區(qū)間上取一點ζi,使f(ζi)在區(qū)間[xi-1,xi]上的值最小,設s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.,如果每次分割后,最大的小區(qū)間的長度趨于0,S與s的差也趨于0,此時,S與s同時趨于某一個固定的常數A,容易驗證,在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點δi,S'=f(δ1)Δx1+f(δ2)Δx2+…+f(δi)Δxi+…+f(δn)Δxn的值也趨于該常數A,我們稱A是函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作 其中∫叫作積分號,a叫作積分的下限,b叫作積分的上限,f(x)叫作被積函數.,,,,,,,2.定積分的幾何意義 (1)當函數f(x)在區(qū)間[a,b]上恒為正時,定積分 的幾何意義是由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖①中陰影部分).,(2)一般情況下,定積分 的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊梯形面積的代數和(圖②中陰影所示),其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值,在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數.,,,,,,2,3,4,1,5,√,√,√,×,√,2,3,4,1,5,2.定積分 的值為( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1,答案,解析,2,3,4,1,5,3.直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為( ),答案,解析,2,3,4,1,5,4.(2015湖南,理11) = .,答案,解析,2,3,4,1,5,5.一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度 (t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位:m)為 .,答案,解析,2,3,4,1,5,自測點評 1.定積分基本思想的核心是“以直代曲”,其方法是“分割求近似,求和取極限”.定積分只與積分區(qū)間和被積函數有關,與積分變量無關. 2.由微積分基本定理可知,求定積分的關鍵是求導函數的原函數,由此可知,求導與積分是互為逆運算. 3.重視定積分性質在求值中的應用.區(qū)分定積分與曲邊梯形面積間的關系,定積分可正、可負,也可以為0,是曲邊梯形面積的代數和;而曲邊梯形面積非負.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1定積分的計算 例1計算下列定積分:,答案,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:計算定積分有哪些步驟? 解題心得:計算定積分的解題的步驟: (1)把被積函數變形為冪函數、正弦函數、余弦函數、指數函數與常數的積的和或差. (2)把定積分變形為求被積函數為上述函數的定積分. (3)分別用求導公式的逆運算找到一個相應的原函數. (4)利用微積分基本定理求出各個定積分的值,然后求其代數和.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2利用定積分求平面圖形的面積 例2(1)由曲線y= ,直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)(2015天津,理11)曲線y=x2與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為 .,答案,解析,思考:用定積分求平面圖形的面積的步驟有哪些? 解題心得:利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟: (1)畫出圖形;(2)確定被積函數;(3)求出交點坐標,并確定積分的上、下限;(4)運用微積分基本定理計算定積分,求出平面圖形的面積.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練2 (1)直線l過拋物線C:x2=4y的焦點且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3定積分在物理中的應用 例3(1)從空中自由下落的一物體,在第一秒末恰經過電視塔頂,在第二秒末物體落地,已知自由落體的運動速度為v=gt(g為常數),則電視塔高為( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)(2015杭州模擬)設變力F(x)作用在質點M上,使M沿x軸正向從x=1運動到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x軸正向相同,則變力F(x)對質點M所做的功為 J(x的單位:m;力的單位:N).,答案,解析,思考:利用定積分解決變速運動問題和變力做功問題的關鍵是什么? 解題心得:利用定積分解決變速運動問題和變力做功問題時,關鍵是求出物體做變速運動的速度函數和變力與位移之間的函數關系,確定好積分區(qū)間,得到積分表達式,再利用微積分基本定理計算即得所求.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練3 (1)一物體做變速直線運動,其v-t曲線如圖所示,則該物體在 ~6 s間的運動路程為 m.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)一物體受到與它運動方向相反的力F(x)= ex+x的作用,則它從x=0運動到x=1時,F(x)所做的功等于 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.求定積分的方法: (1)利用定義求定積分(定義法),可操作性不強. (2)利用微積分基本定理求定積分步驟如下: ①求被積函數f(x)的一個原函數F(x); ②計算F(b)-F(a). (3)利用定積分的幾何意義求定積分.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,3.定積分在物理中的兩個應用: (1)變速直線運動的路程:如果變速直線運動物體的速度為v=v(t),那么從時刻t=a到t=b所經過的路程 (2)變力做功:一物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同方向從x=a移動到x=b時,力F(x)所做的功是,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.被積函數若含有絕對值號,應去掉絕對值號,再分段積分. 2.若積分式子中有幾個不同的參數,則必須先分清誰是被積變量. 3.定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限. 4.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積,但要注意:面積非負,而定積分的結果可以為負.,