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第九章 平面解析幾何,§9.3 圓的方程,,,內(nèi)容索引,,,,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎知識 自主學習,1.圓的定義 在平面內(nèi)，到 的距離等于 的點的 叫圓. 2.確定一個圓最基本的要素是 和 . 3.圓的標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中 為圓心， 為半徑. 4.圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是 ，其中圓心為 ___________，半徑r＝_______________.,定長,集合,定點,圓心,半徑,(a，b),r,D2＋E2－4F0,,知識梳理,1,,答案,5.確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為： (1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程； (2)根據(jù)條件列出關于a，b，r或D、E、F的方程組； (3)解出a、b、r或D、E、F代入標準方程或一般方程.,6.點與圓的位置關系 點和圓的位置關系有三種. 圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0) (1)點在圓上：__________________； (2)點在圓外： __________________ ； (3)點在圓內(nèi)： __________________.,(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2,(x0－a)2＋(y0－b)2r2,(x0－a)2＋(y0－b)2r2,,答案,判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.( ) (2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( ) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.( ) (4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圓.( ),√,√,√,×,,答案,思考辨析,×,√,,答案,1.(教材改編)x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是__________.,∴圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心為(2，－3).,(2，－3),,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,4,5,2.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是_______.,解析 由題意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)0，,,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015·北京改編)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是_________________.,∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.,(x－1)2＋(y－1)2＝2,,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為______________. 解析 設圓心坐標為C(a,0)， ∵點A(－1,1)和B(1,3)在圓C上， ∴CA＝CB，,解得a＝2，,∴圓心為C(2,0)，,∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.,(x－2)2＋y2＝10,,解析答案,1,2,3,4,5,5.(2015·湖北)如圖，已知圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且AB＝2. (1)圓C的標準方程為__________________；,解析 由題意，設圓心C(1，r)(r為圓C的半徑)，,,解析答案,1,2,3,4,5,(2)圓C在點B處的切線在x軸上的截距為________.,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,例1 根據(jù)下列條件，求圓的方程. (1)經(jīng)過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6；,,,題型一 求圓的方程,,解析答案,解 設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，,又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. ③,設x1，x2是方程③的兩根， 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36， ④ 由①②④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.,(2)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2).,,解析答案,思維升華,解 方法一 如圖，設圓心(x0，－4x0)，,故圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.,方法二 設所求方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，,,解析答案,思維升華,,因此所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.,思維升華,,思維升華,(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程. (2)待定系數(shù)法 ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值.,(1)(2014·陜西)若圓C的半徑為1，其圓心與點(1,0)關于直線y＝x對稱，則圓C的標準方程為______________.,解析 由題意知圓C的圓心為(0,1)，半徑為1， 所以圓C的標準方程為x2＋(y－1)2＝1.,x2＋(y－1)2＝1,跟蹤訓練1,,解析答案,(2)過點A(4,1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點B(2，1)，則圓C的方程為______________.,解析 由已知kAB＝0， 所以AB的中垂線方程為x＝3. ① 過B點且垂直于直線x－y－1＝0的直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0， ②,所以圓心坐標為(3,0)，,所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2.,(x－3)2＋y2＝2,,解析答案,命題點1 斜率型最值問題,,,題型二 與圓有關的最值問題,,解析答案,,則圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.,,解析答案,,命題點2 截距型最值問題,例3 在例2條件下，求y－x的最小值和最大值. 解 設y－x＝b，則y＝x＋b， 僅當直線y＝x＋b與圓切于第四象限時，截距b取最小值，,,解析答案,命題點3 距離型最值問題,例4 在例2條件下，求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方， 由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點 處取得最大值和最小值(如圖).,,解析答案,思維升華,,思維升華,與圓有關的最值問題的常見類型及解題策略 (1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數(shù)形結合求解. (2)與圓上點(x，y)有關代數(shù)式的最值的常見類型及解法.①形如u＝ 型的最值問題，可轉化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題； ③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉化為動點到定點(a，b)的距離平方的最值問題.,(1)設P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則PQ的最小值為 ________.,解析 PQ的最小值為圓心到直線的距離減去半徑. 因為圓的圓心為(3，－1)，半徑為2， 所以PQ的最小值d＝3－(－3)－2＝4.,4,跟蹤訓練2,,解析答案,(2)已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2,3). ①求MQ的最大值和最小值；,解 由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， 所以圓心C的坐標為(2,7)，,,解析答案,設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，,,解析答案,例5 設定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.,,,題型三 與圓有關的軌跡問題,,解析答案,思維升華,解 如圖所示，設P(x，y)，N(x0，y0)，,,解析答案,又N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，,,思維升華,,思維升華,求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程. ②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程. ③幾何法：利用圓的幾何性質列方程. ④代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等.,已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點. (1)求線段AP中點的軌跡方程；,解 設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x－2,2y). 因為P點在圓x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.,跟蹤訓練3,,解析答案,(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程.,解 設PQ的中點為N(x，y)，連結BN. 在Rt△PBQ中，PN＝BN. 設O為坐標原點，連結ON，則ON⊥PQ， 所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.,,解析答案,返回,,思想與方法系列,典例 在平面直角坐標系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程. 思維點撥 本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法.,19.利用幾何性質巧設方程求半徑,,思想與方法系列,,溫馨提醒,巧妙解法,解析答案,思維點撥,返回,規(guī)范解答 解 一般解法 (代數(shù)法)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，,故圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.,設圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F0)，,,溫馨提醒,巧妙解法,所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.,,溫馨提醒,,返回,,(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的三個交點，設圓的方程為一般式，代入點的坐標求解析式. (2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質，知道圓心一定在圓上兩點連線的垂直平分線上，從而設圓的方程為標準式，簡化計算.顯然幾何法比代數(shù)法的計算量小，因此平時訓練多采用幾何法解題.,溫馨提醒,,思想方法 感悟提高,1.確定一個圓的方程，需要三個獨立條件.“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設條件恰當選擇圓的方程的形式，進而確定其中的三個參數(shù). 2.解答圓的問題，應注意數(shù)形結合，充分運用圓的幾何性質，簡化運算.,方法與技巧,1.求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程. 2.過圓外一定點，求圓的切線，應該有兩個結果，若只求出一個結果，應該考慮切線斜率不存在的情況.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是_________.,解析 AB的中點坐標為(0,0)，,∴圓的方程為x2＋y2＝2.,x2＋y2＝2,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.設圓的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，則原點與圓的位置關系是___________. 解析 將圓的一般方程化成標準方程為(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a， 因為0＜a＜1， 所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，,所以原點在圓外.,原點在圓外,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4. 答案 (x＋1)2＋y2＝4,解析 由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,0)，a＞－2，半徑為r，,4.點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是________ _________. 解析 設圓上任一點坐標為(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(x－2)2＋,(y＋1)2＝1,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,又圓與直線2x＋y＋1＝0相切，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以圓心坐標為(1,2)，,則所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5.,答案 (x－1)2＋(y－2)2＝5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.若圓C經(jīng)過坐標原點和點(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是 __________________.,,解析答案,7.(2015·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為 ______________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，,故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2.,(x－1)2＋y2＝2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.(2014·湖北)已知圓O：x2＋y2＝1和點A(－2,0)，若定點B(b,0)(b≠－2)和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點M，都有MB＝λMA，則 (1)b＝________；,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 因為點M為圓O上任意一點， 所以不妨取圓O與x軸的兩個交點(－1,0)和(1,0). 當M點取(－1,0)時，由MB＝λMA，得|b＋1|＝λ； 當M點取(1,0)時，由MB＝λMA，得|b－1|＝3λ. 消去λ，得|b－1|＝3|b＋1|. 兩邊平方，化簡得2b2＋5b＋2＝0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)λ＝________.,,解析答案,9.一圓經(jīng)過A(4,2)，B(－1,3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E. 由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0. ① 又因為圓過點A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0. ② 1＋9－D＋3E＋F＝0. ③ 解①②③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解 設P(x，y)，圓P的半徑為r. 則y2＋2＝r2，x2＋3＝r2. ∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1. ∴P點的軌跡方程為y2－x2＝1.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 設P的坐標為(x0，y0)，,∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,∴圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3.,∴圓P的方程為x2＋(y＋1)2＝3. 綜上所述，圓P的方程為x2＋(y±1)2＝3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,(x－2)2＋(y－1)2＝4,,解析答案,12.設P為直線3x＋4y＋3＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為___.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 依題意，圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心是點C(1,1)，半徑是1，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.若圓x2＋(y－1)2＝1上任意一點(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______________.,,解析答案,解析 據(jù)題意圓x2＋(y－1)2＝1上所有的點都在直線x＋y＋m＝0的右上方，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知實數(shù)x、y滿足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值.,解 設x＋y＝t，則直線y＝－x＋t與圓(x－3)2＋(y－3)2＝6有公共點.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.如圖，經(jīng)過B(1,2)作兩條互相垂直的直線l1和l2，l1交y軸正半軸于點A，l2交x軸正半軸于點C. (1)若A(0,1)，求點C的坐標；,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 由直線l1經(jīng)過兩點A(0,1)，B(1,2)， 得l1的方程為x－y＋1＝0. 由直線l2⊥l1，且直線l2經(jīng)過點B， 得l2的方程為x＋y－3＝0. 所以，點C的坐標為(3,0).,(2)試問是否總存在經(jīng)過O，A，B，C四點的圓？若存在，求出半徑最小的圓的方程；若不存在，請說明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,返回,解 因為AB⊥BC，OA⊥OC，所以總存在經(jīng)過O，A，B，C四點的圓，且該圓以AC為直徑.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,②若l1與y軸不垂直，則兩條直線斜率都存在.,所以直線l1的方程為y－2＝k(x－1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以直線l1的方程為y－2＝k(x－1)，,,解析答案,從而A(0,2－k)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,注意到k≠0，,,返回,