高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第八節(jié) 函數(shù)與方程課件 理.ppt
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第八節(jié) 函數(shù)與方程,1.函數(shù)的零點的概念 對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.,2.函數(shù)零點與方程根的關系 方程f(x)=0有實數(shù)根 函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點 函數(shù)y=f(x)有零點. 3.函數(shù)零點的判斷 (1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有 f(a)f(b)0)的圖象與零點的關系,a,(3)有關函數(shù)零點常見的結論 若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù),則f(x)至多有一個零點; 連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號; 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時,函數(shù)值可能變號也可能不變號. 4.二分法的概念 對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 f(a)f(b)0 的函數(shù)f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.,5.用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步聚 (1)確定區(qū)間a,b,驗證 f(a)f(b)0 ,給定精確度; (2)求區(qū)間(a,b)的中點c; (3)計算 f(c) ; 若 f(c)=0 ,則c就是函數(shù)的零點; 若 f(a)f(c)0 ,則令b=c(此時零點x0(a,c); 若 f(c)f(b)0 ,則令a=c(此時零點x0(c,b). (4)判斷是否達到精確度:即若 |a-b| ,則得到零點近似值a(或b);否則重復(2)(4). 6.常用的數(shù)學方法與思想 函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法,函數(shù)與方程、轉化與化歸、數(shù)形結合思想.,1.判斷下列說法是否正確(打“”或“”). (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.( ) (1) (2)若函數(shù)y=f(x),xD在區(qū)間(a,b)D內有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a)f(b)0.( ) (2) (3)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內單調,且f(a)f(b)0,則在區(qū)間(a,b)內有且僅有一個零點.( ) (3),2.(2015安徽高考)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點的是 ( ) A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1 2.A 【解析】y=cos x是偶函數(shù)且有無數(shù)多個零點,y=sin x為奇函數(shù),y=ln x既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),y=x2+1是偶函數(shù),但沒有零點. 3.方程2-x+x2=3的實數(shù)解的個數(shù)為( ) A.2 B.3 C.1 D.4 3.A 【解析】構造函數(shù)y=2-x與y=3-x2,在同一坐標系中作出它們的圖象,可知有兩個交點,故方程2-x+x2=3的實數(shù)解的個數(shù)為2. 4.若函數(shù)f(x)=2x+m存在零點,則m的取值范圍是 . 4.(-,0) 【解析】由于y=2x在x軸上方,當x越小時,圖象越接近y軸,所以m(-,0)時圖象與x軸有且僅有一個交點,故m的取值范圍是(-,0).,【解題思路】函數(shù)y=x2和y=x3的交點為(0,0),(1,1),函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點,則f(x)-b=0有兩個根,即直線y=b與y=f(x)有兩個交點.作出y=x2與y=x3的圖象,如圖(1),觀察圖象,可知當a1時,存在實數(shù)b使f(x)-b=0有兩個根,如圖(3);當0a1時,f(x)-b=0只有一個根或無根,如圖(4).綜上,當a1時,g(x)=f(x)-b有兩個零點.,【參考答案】 (-,0)(1,+),若存在實數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點, 則a的取值范圍是 .,【變式訓練】,(2015福州八中質檢)對于函數(shù)f(x)=x2+mx+n,若f(a)0,f(b)0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內 ( ) A.一定有零點 B.一定沒有零點 C.可能有兩個零點 D.至多有一個零點 C 【解析】由于函數(shù)f(x)=x2+mx+n,圖象開口向上,當=m2-4n0時,圖象與x軸有兩個交點,結合題干條件知選項C正確.,命題角度2:利用函數(shù)的零點研究函數(shù)的根的大小或方程(不等式)的解 典例4 已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+2(ab),若,()是方程f(x)=0的兩個根,則實數(shù)a,b,之間的大小關系是( ) A.ab B.ab C.ab D.ab 【解題思路】利用g(x)=(x-a)(x-b)的零點為a,b,作出圖象,利用平移變換,數(shù)形結合思想考查.令g(x)=(x-a)(x-b),顯然函數(shù)g(x)=(x-a)(x-b)的兩個零點是a,b,而函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+2的兩個零點是,又函數(shù)f(x)的圖象是將函數(shù)g(x)=(x-a)(x-b)圖象向上平移2個單位得到,因此數(shù)形結合易知ab. 【參考答案】 B,【變式訓練】 1.設函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若實數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則( ) A.00,f(a)=0,由零點的存在性定理知,a(0,1),同理可知,b(1,2).由于函數(shù)f(x)和g(x)都在定義域上單調遞增,則g(a)f(1)=e-10,于是有g(a)0f(b).,分類討論思想在函數(shù)零點問題中的應用 分類討論思想在解決函數(shù)的零點與定區(qū)間的關系中起關鍵作用,這也是學生最易出錯的地方. 典例 (2014天津高考)已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,xR.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個互異的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍為 . 【解題思路】方程f(x)-a|x-1|=0恰有4個互異的實數(shù)根,即函數(shù)y=f(x),y=a|x-1|恰有4個互異的交點.當a0.當y=a(x-1)與y=x2+3x的圖象相切時,方程x2+3x=a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0有兩個相等的根,所以(3-a)2-4a=0,解得a=1(舍去)或9,所以當a9時滿足題意;當y=-a(x-1)與y=-x2-3x的圖象相切時,方程x2+3x=a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0有兩個相等的根,所以(3-a)2-4a=0,解得a=1或9(舍去),所以當0a1時滿足題意,故實數(shù)a的取值范圍是(0,1)(9,+). 【參考答案】 (0,1)(9,+),【針對訓練】,- 配套講稿:
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