高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 第8講 數(shù)學(xué)歸納法課件 理.ppt
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第8講,數(shù)學(xué)歸納法,1掌握“歸納猜想證明”這一基本思路 2了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理,3能利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,1運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步,第一步是歸納奠基 (或遞推基礎(chǔ)),第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè)),兩步缺一不可 2用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題, 其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、整除性問題、幾何 問題等,條時(shí),第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值 n0 等于(,),A1,B2,C3,D4,且 n1)時(shí),在第二步證明從 nk 到 nk1 成立時(shí),左邊增加,的項(xiàng)數(shù)是(,),A2k B2k1 C2k1 D2k1,C,A,3.凸 n 邊形有 f(n)條對(duì)角線,則凸 n1 邊形有對(duì)角線數(shù) f(n,1)為(,),C,5,Af(n)n1 Cf(n)n1,Bf(n)n Df(n)n2,4若不等式 2nn21對(duì)于nn0的正整數(shù) n 都成立,則 n0 的最小值為_.,考點(diǎn)1,對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識(shí),上述證法(,),A過程全都正確 Bn1 驗(yàn)得不正確 C歸納假設(shè)不正確 D從 nk 到 nk1 的推理不正確 解析:上述證明過程中,在由nk 變化到nk1 時(shí),不 等式的證明使用的是放縮法而沒有使用歸納假設(shè)故選 D. 答案:D,答案:B,【規(guī)律方法】用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),要注意觀察下列幾個(gè) 方面:n 的范圍以及遞推的起點(diǎn);觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù)(或 其他),確定nk 時(shí)命題的形式f(k);從f(k1)和f(k)的差異, 尋找由k 到 k1 遞推中,左邊要加(或乘)的式子.,【互動(dòng)探究】,1用數(shù)學(xué)歸納法證明 1aa2an,1an1 (a1, 1a,nN*)時(shí),在驗(yàn)證 n1 時(shí),左邊計(jì)算所得的式子是(,),B,A1 C1aa2,B1a D1aa2a4,解析:n1 時(shí),左邊的最高次數(shù)為1,即最后一項(xiàng)為a, 左邊是 1a., 的,2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,1 1 n1 n2,1 13 nn 24,過 程中 , 由 k 推 導(dǎo)到 k 1 時(shí) ,不等式左 邊增加 的 式子 是,.,答案:,n(n1) ,(an2bnc)對(duì)一切正整數(shù) n 都成立?證明你,考點(diǎn)2,用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式命題,例2:是否存在常數(shù) a,b,c,使等式 122232,2,n(n1) 12,的結(jié)論 思維點(diǎn)撥:從特殊入手,探求a,b,c 的值,考慮到有 3 個(gè)未知數(shù),先取 n1,2,3,列方程組求得,然后用數(shù)學(xué)歸納法 對(duì)一切 nN*,等式都成立,(3n211n,abc24, 解:把 n1,2,3 代入得方程組 4a2bc44, 9a3bc70, a3, 解得 b11, c10.,猜想:等式122232n(n1)2,n(n1) 12,10)對(duì)一切 nN*都成立,(3k211k10),,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng) n1 時(shí),由上面可知等式成立 (2)假設(shè) nk 時(shí)等式成立, 即 122232k(k1)2,k(k1) 12,k(k1),k(k1),則122232k(k1)2(k1)(k2)2,12,(3k211k10)(k1)(k2)2,12,(3k5)(k2)(k1)(k2)2,(k1)(k2) 12,k(3k5)12(k2),(k1)(k2) 12,3(k1)211(k1)10,當(dāng) nk1 時(shí),等式也成立 綜合(1)(2),對(duì)nN*等式都成立,【規(guī)律方法】這是一個(gè)探索性命題,“歸納猜想證明” 是一個(gè)完整的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維模式.對(duì)于探索命題 特別有效,要求善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,敢于提出更一般的結(jié)論,最后 進(jìn)行嚴(yán)密的論證.從特殊入手,探求a,b,c 的值,考慮到有3 個(gè)未知數(shù),先取n1,2,3,列方程組求得,然后用數(shù)學(xué)歸納 法對(duì)一切nN*,等式都成立., ,, ,左邊右邊,所以等式成立,【互動(dòng)探究】,3用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng) nN*時(shí),,1 13,1 35,1 n (2n1)(2n1) 2n1,.,證明:(1)當(dāng)n1 時(shí),左邊,1 1 13 3,右邊,1 211,1 3,k1 k1,(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立,即有,1 13,1 35,1 (2k1)(2k1),k 2k1,,,則當(dāng) nk1 時(shí),,1 13,1 35,1 (2k1)(2k1),1 (2k1)(2k3),k 1 2k1 (2k1)(2k3),k(2k3)1 (2k1)(2k3),2k23k1 (2k1)(2k3), 2k3 2(k1)1,,,所以當(dāng) nk1 時(shí),等式也成立 由(1)(2)可知,對(duì)一切nN*等式都成立,考點(diǎn)3 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性命題,例3:試證:當(dāng)n 為正整數(shù)時(shí),f(n)32n28n9能被 64,整除,證明:方法一:(1)當(dāng)n1時(shí),f(1)348964, 命題顯然成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時(shí), f(k)32k28k9能被64整除 由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1), 即f(k1)9f(k)64(k1), nk1時(shí)命題也成立 根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)任意的nN*,命題都成立,方法二:(1)當(dāng)n1時(shí),f(1)348964,命題顯然成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時(shí),f(k)32k28k9能被64整除 由歸納假設(shè),設(shè)32k28k964m(m為大于1的自然數(shù)),將32k264m8k9代入到f(k1)中, 得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1), 當(dāng)nk1時(shí)命題成立 根據(jù)(1)(2)可知,nN*,命題都成立,【互動(dòng)探究】,4求證:二項(xiàng)式 x2ny2n(nN*)能被 xy 整除,證明:(1)當(dāng)n1時(shí), x2y2(xy)(xy),能被xy整除,命題成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時(shí),x2ky2k能被xy整除,那么當(dāng)nk1時(shí), x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2x2kx2y2kx2y2ky2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2), 顯然x2k2y2k2能被xy整除, 即當(dāng)nk1時(shí)命題成立 由(1)(2)知,對(duì)任意的正整數(shù)n命題均成立,難點(diǎn)突破,數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,例題:(2014年廣東)設(shè)數(shù)列an的前n和為Sn,滿足Sn2nan13n24n,nN*,且S315. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式,則Sk357(2k1),3(2k1) 2,kk(k2),解:S24a320,S3S2a35a320. 又S315,a37,S24a3208. 又S2S1a2(2a27)a23a27, a25,a1S12a273. 綜上所述,a13,a25,a37. (2)由(1)猜想an2n1, 當(dāng)n1時(shí),結(jié)論顯然成立; 假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí),ak2k1,,又Sk2kak13k24k, k(k2)2kak13k24k.解得ak12k3. ak12(k1)1,即當(dāng)nk1時(shí),結(jié)論成立 由知,nN*,an2n1. 【規(guī)律方法】猜想an2n1;根據(jù)猜想求出Sk;再利用Sk2kak13k24k求出ak1;驗(yàn)證ak1也滿足猜想,得出結(jié)論.,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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