課題：解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例一、教材分析本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計算之后的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課，可以說是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計的，因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實(shí)際的重要作用。在本節(jié)課的教學(xué)中，用方程的思想作支撐，以具體問題具體分析作指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識問題、分析問題并最終解決問題。 二、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題，了解測量的方法和意義會在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題和基本圖形和基本等量關(guān)系，理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）2、過程與方法采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學(xué)生在溫故知新中學(xué)會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識框架通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實(shí)際問題的能力；通過解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，要求學(xué)生體會具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，以及數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用3、情感態(tài)度價值觀激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1、重點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化掌握運(yùn)用正、余弦定理等知識方法解三角形的方法2、難點(diǎn)：實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定四、教學(xué)方法與手段本節(jié)課的重點(diǎn)是正確運(yùn)用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正確運(yùn)用兩個定理的關(guān)鍵是要結(jié)合圖形，明確各已知量、未知量以及它們之間的相互關(guān)系。通過問題的探究，要讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際問題，畫出相關(guān)圖形，學(xué)會分析問題情景，確定合適的求解順序，明確所用的定理；其次，在教學(xué)中讓學(xué)生分析討論，在方程求解繁與簡的基礎(chǔ)上選擇解題的思路，以提高學(xué)生觀察、識別、分析、歸納等思維能力。五、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程設(shè)計意圖引言“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測量問題的真實(shí)背景下，上述方法存在特殊性，不能完全實(shí)施。今天我們就來學(xué)習(xí)更一般的在實(shí)踐中使用正弦定理和余弦定理解決實(shí)際問題。通過引言，讓學(xué)生體會解三角形在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對于本堂課內(nèi)容的濃厚興趣例題講解基于例題變式講解例題變式例1、如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用哪個定理比較適當(dāng)？啟發(fā)提問2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得=AB= 65.7(m)答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？解略：a km例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得AC=BC=計算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點(diǎn)間的距離AB=分組討論：還沒有其它的方法？師生一起對不同方法進(jìn)行對比、分析。變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20例3、AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長的關(guān)鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測角儀器測得A的仰角分別是、，CD = a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC = AB = AE + h= AC+ h= + h例4、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理，AC= = 113.15根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0 75- CAB =56.0答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile練習(xí)：（對例3的變式）在某點(diǎn)B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4 = 因?yàn)閟in4=2sin2cos2cos2=, 得 2=30=15在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= 在RtADE中，sin4=, 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m啟發(fā)式教學(xué)老師引導(dǎo)學(xué)生畫圖解題。體會數(shù)學(xué)建模的思想方法。對于例1的變式練習(xí)變式教學(xué)，使得課堂延展性增強(qiáng)在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。仍然是距離問題，由測量長度變?yōu)闇y量高度，讓學(xué)生感受不同類型的問題。解三角形在航海問題中的應(yīng)用實(shí)際問題中需要掌握近似估計、運(yùn)算通過變式，讓學(xué)生體會該數(shù)學(xué)模型的在不同問題中的應(yīng)用一題多解、挑戰(zhàn)思維提升學(xué)生專研數(shù)學(xué)的興趣課堂小結(jié)（采用提問形式，學(xué)生闡述，老師適當(dāng)補(bǔ)充）1、解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解2、利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學(xué)會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?、解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和學(xué)后反思的習(xí)慣及歸納總結(jié)的能力。六、課后作業(yè)1、必做題：自學(xué)課本第三節(jié)中的4個例子，寫出你的解題步驟課本習(xí)題2-3 A組 第2、4題 2、選做題： 課本習(xí)題2-3 B組 第1、2題 七、教學(xué)反思本節(jié)課，我是一些實(shí)例來探索關(guān)于解三角形在實(shí)際應(yīng)用中的思維方法，具體解三角形時，所選例題突出了數(shù)學(xué)建模的思想及函數(shù)與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關(guān)系。