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成才之路 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,人教A版 選修1-1 1-2,推理與證明,第二章,2.1 合情推理與演繹推理,第二章,2.1.2 演繹推理,學(xué)習(xí)目標(biāo)解讀 結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理． 通過(guò)具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．,重點(diǎn)：演繹推理的含義及演繹推理規(guī)則． 難點(diǎn)：演繹推理的應(yīng)用．,思維導(dǎo)航 日常生活中我們經(jīng)常接觸這樣的推理形式：“所有金屬都導(dǎo)電，因?yàn)殍F是金屬，所以鐵導(dǎo)電”，它是合情推理嗎？這種推理形式正確嗎？,演繹推理,新知導(dǎo)學(xué) 1．演繹推理 從______________出發(fā)，推出__________情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由____________的推理． 2．三段論 “三段論”是演繹推理的一般模式，包括： (1)大前提——已知的__________； (2)小前提——所研究的__________； (3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的______．,一般性的原理,某個(gè)特殊,一般到特殊,一般原理,特殊情況,判斷,其一般推理形式為 大前提：M是P. 小前提：S是M. 結(jié) 論：__________. 利用集合知識(shí)說(shuō)明“三段論”：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的一個(gè)子集，那么________________________. 3．在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么________必定是正確的．因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具，而合情推理的結(jié)論__________正確．,S是P,S中所有元素也都具有性質(zhì)P,結(jié)論,不一定,牛刀小試 1．演繹推理是( ) A．部分到整體，個(gè)別到一般的推理 B．特殊到特殊的推理 C．一般到特殊的推理 D．一般到一般的推理 [答案] C,2．(2015廈門高二檢測(cè))“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故該奇數(shù)是3的倍數(shù)．”上述推理( ) A．小前提錯(cuò) B．結(jié)論錯(cuò) C．正確 D．大前提錯(cuò) [答案] C [解析] 9＝33，所以大前提是正確的，又小前提和推理過(guò)程都正確，所以結(jié)論也正確，故上述推理正確．,3．在三段論中，M、P、S的包含關(guān)系可表示為( ) [答案] A [解析] 三段論中，S是M的子集，M可能是P的子集，即具有這種性質(zhì)，也可能不是P的子集，即不具有這種性質(zhì)．,,4．給出下列結(jié)論： ①演繹推理的特征為，前提為真時(shí)，結(jié)論一定為真； ②演繹推理的特征為，前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真； ③由合情推理得到的結(jié)論一定為真； ④演繹推理和合情推理都可以用于證明； ⑤合情推理不能用于證明，演繹推理可用于證明． 其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________. [答案] ①⑤,5．判斷下列推理是否正確？為什么？ “因?yàn)檫^(guò)不共線的三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面(大前提)，而A、B、C為空間三點(diǎn)(小前提)，所以過(guò)A、B、C三點(diǎn)只能確定一個(gè)平面(結(jié)論)．” [解析] 不正確，因?yàn)榇笄疤嶂械摹叭c(diǎn)”不共線，而小前提中的“三點(diǎn)”沒(méi)有不共線的限制條件．,將下列推理寫(xiě)成“三段論”的形式： (1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的對(duì)角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對(duì)角線相等；,把演繹推理寫(xiě)成三段論形式,[分析] 首先分析出每個(gè)題的大前提、小前提及結(jié)論，再寫(xiě)成三段論的形式． [解析] (1)向量是既有大小又有方向的量，大前提 零向量是向量，小前提 所以零向量也有大小和方向．結(jié)論 (2)每一個(gè)矩形的對(duì)角線都相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的對(duì)角線相等．結(jié)論,[方法規(guī)律總結(jié)] 1.分析演繹推理的構(gòu)成時(shí)，要正確區(qū)分大前提、小前提、結(jié)論，省略大前提的要補(bǔ)出來(lái)． 2．判斷演繹推理是否正確的方法 (1)看推理形式是否為由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演繹推理，這是最易出錯(cuò)的地方； (2)看大前提是否正確，大前提往往是定義、定理、性質(zhì)等，注意其中有無(wú)前提條件； (3)看小前提是否正確，注意小前提必須在大前提范圍之內(nèi)； (4)看推理過(guò)程是否正確，即看由大前提，小前提得到的結(jié)論是否正確．,(1)判斷下面推理是否正確？為什么？ ∵奇數(shù)3,5,7,11是質(zhì)數(shù)，9是奇數(shù)，∴9是質(zhì)數(shù)． (2)“一切奇數(shù)都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇數(shù)．”把此演繹推理寫(xiě)成三段論的形式為： 大前提：________________________________________ 小前提：________________________________________ 結(jié)論：________________________________________,[解析] (1)錯(cuò)誤．推理形式錯(cuò)誤，演繹推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇數(shù)的一部分，是特殊事例． (2)根據(jù)題意可知，此三段論的大前提、小前提和結(jié)論分別為：不能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)；35不能被2整除；35是奇數(shù)．,已知在梯形ABCD中(如圖)，DC＝DA，AD∥BC． 求證：AC平分∠BCD．(用三段論證明),三段論在證明幾何問(wèn)題中的應(yīng)用,,[解析] ∵等腰三角形兩底角相等，大前提 △ADC是等腰三角形，∠1和∠2是兩個(gè)底角，小前提 ∴∠1＝∠2.結(jié)論 ∵兩條平行線被第三條直線截得的內(nèi)錯(cuò)角相等，大前提 ∠1和∠3是平行線AD、BC被AC截得的內(nèi)錯(cuò)角，小前提 ∴∠1＝∠3.結(jié)論 ∵等于同一個(gè)角的兩個(gè)角相等，大前提 ∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提 ∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD．結(jié)論,[方法規(guī)律總結(jié)] 應(yīng)用演繹推理證明時(shí)，必須確切知道每一步推理的依據(jù)(大前提)，驗(yàn)證條件是否滿足(小前提)，然后得出結(jié)論．,用三段論分析下題的證明過(guò)程． 如圖，D、E、F分別是BC、CA、AB上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF. 證明過(guò)程如下： ∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE， 又∵DE∥BA， ∴四邊形AFDE是平行四邊形， ∴ED＝AF.,,[解析] 上述推理過(guò)程應(yīng)用了三次三段論．第一次省略大前提和小前提的部分內(nèi)容；第二次省略大前提并承前省了其中一組對(duì)邊平行的條件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演繹推理過(guò)程如下： 因?yàn)橥唤窍嗟龋瑑蓷l直線平行，大前提 ∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提 所以FD∥AE.結(jié)論,因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提 DE∥BA，且FD∥AE，小前提 所以四邊形AFDE為平行四邊形．結(jié)論 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，大前提 ED和AF為平行四邊形AFDE的對(duì)邊，小前提 所以ED＝AF.結(jié)論,演繹推理在代數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用,[方法規(guī)律總結(jié)] 在幾何、代數(shù)證題過(guò)程中，如果每一次都按三段論寫(xiě)出解答過(guò)程會(huì)很繁瑣，也不必要．因此實(shí)際證題中，那些公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)，已知的公理、定理等大前提條件可以省略，那些前面證得的結(jié)論也可省略，但必須要保證證題過(guò)程的嚴(yán)密規(guī)范．,(2015鄭州高二檢測(cè))已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： ①對(duì)任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若“當(dāng)x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1時(shí)，有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立”，則稱f(x)為“友誼函數(shù)”．,(1)若已知f(x)為“友誼函數(shù)”，求f(0)的值． (2)函數(shù)g(x)＝2x－1在區(qū)間[0,1]上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由． (3)已知f(x)為“友誼函數(shù)”，且0≤x1x2≤1，求證：f(x1)≤f(x2)． [解題思路探究] 第一步，審題． 審條件，挖掘解題信息． ①定義域[0,1]，在研究函數(shù)過(guò)程中不能超出這個(gè)范圍； ②“友誼函數(shù)”新定義包含三個(gè)條件，尤其條件③需嚴(yán)格證明后才能確定．,審結(jié)論，明確解題目標(biāo)． 第(1)問(wèn)已知f(x)為友誼函數(shù)，求f(0)可用賦值法求解； 第(2)問(wèn)給出f(x)解析式和定義區(qū)間，判斷f(x)是否為友誼函數(shù)，需緊扣定義驗(yàn)證f(x)是否滿足三個(gè)條件． 第(3)問(wèn)要證f(x1)≤f(x2)，需依據(jù)條件③進(jìn)行變換，注意條件①在變形中的應(yīng)用． 第二步，建聯(lián)系，確定解題步驟． 先用賦值法求第(1)問(wèn)，再依次驗(yàn)證(2)中函數(shù)滿足友誼函數(shù)的三個(gè)條件，最后，利用恒等變換技巧借助條件①③推證第(3)問(wèn)． 第三步，規(guī)范解答．,[解析] (1)取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)， 又由f(0)≥0，得f(0)＝0. (2)顯然g(x)＝2x－1在[0,1]上滿足①g(x)≥0； ②g(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1， 則有g(shù)(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)] ＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)] ＝(2x1－1)(2x2－1)≥0. 故g(x)＝2x－1滿足條件①②③， 所以g(x)＝2x－1為“友誼函數(shù)”． (3)因?yàn)?≤x1x2≤1，則0x2－x1≤1， 所以f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)．,不要張冠李戴 如圖所示，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB邊上的高，求證∠ACD＞∠BCD． [錯(cuò)解] 在△ABC中，因?yàn)锳CBC，CD⊥AB，所以AD＞BD，所以∠ACD＞∠BCD．,,[辨析] 錯(cuò)誤的原因在于雖然運(yùn)用的大前提正確，即在同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，但AD與BD并不是在同一個(gè)三角形內(nèi)的兩條邊，即小前提不成立，所以推理過(guò)程錯(cuò)誤． [正解] 因?yàn)镃D⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90， 所以∠A＋ACD＝∠B＋∠BCD＝90， 在△ABC中，AC＞BC，∴∠B＞∠A， ∴∠ACD＞∠BCD．,