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2019-2020年高中數學 1.6微積分基本定理教案 新人教A版選修1-2 一、教學目標　 知識與技能目標　 通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分 過程與方法 通過實例體會用微積分基本定理求定積分的方法 情感態(tài)度與價值觀 通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統(tǒng)一的辯證關系，培養(yǎng)學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。 二、教學重難點　　 重點 通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分。 難點　了解微積分基本定理的含義　 三、教學過程 1、復習： 定積分的概念及用定義計算 2、引入新課 我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較復雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比較一般的方法。 變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯(lián)系 設一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（）， 則物體在時間間隔內經過的路程可用速度函數表示為。 另一方面，這段路程還可以通過位置函數S（t）在上的增量來表達，即 = 而。 對于一般函數，設，是否也有 若上式成立，我們就找到了用的原函數（即滿足）的數值差來計算在上的定積分的方法。 注：1：定理 如果函數是上的連續(xù)函數的任意一個原函數，則 證明：因為=與都是的原函數，故 -=C（） 其中C為某一常數。 令得-=C，且==0 即有C=，故=+ =-= 令，有 此處并不要求學生理解證明的過程 為了方便起見，還常用表示，即 該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉化成求原函數的問題，是微分學與積分學之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯(lián)系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發(fā)展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果。 例1．計算下列定積分： （1）； （2）。 解：（1）因為， 所以。 （2））因為， 所以 。 練習：計算 解：由于是的一個原函數，所以根據牛頓—萊布尼茲公式有 === 例2．計算下列定積分： 。 由計算結果你能發(fā)現(xiàn)什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結論。 解：因為， 所以 ， ， . 可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0: ( l ）當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時（圖1.6一3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積； 圖1 . 6 一 3 ( 2 ） （2）當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時（圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數； ( 3）當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積． 例3．汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度=1.8米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？ 解:首先要求出從剎車開始到停車經過了多少時間。當t=0時，汽車速度=32公里/小時=米/秒8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為當汽車停住時,速度,故從解得秒 于是在這段時間內,汽車所走過的距離是 =米,即在剎車后,汽車需走過21.90米才能停住. 微積分基本定理揭示了導數和定積分之間的內在聯(lián)系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠的學科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果． 四、課堂小結 本節(jié)課借助于變速運動物體的速度與路程的關系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進而推廣到了一般的函數，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運用這種方法的關鍵是找到被積函數的原函數，這就要求大家前面的求導數的知識比較熟練，希望，不明白的同學，回頭來多復習！ 五、教學后記 從教以來，一直困惑于一個問題：課堂上如何突出重點并突破難點。當然，理論方面自己早已爛熟于心，關鍵是缺乏實踐方面的體驗及感悟。在今天的課堂上，當自己在生物化學班重點及難點均未解決，相反將更多時間糾纏在細節(jié)方面，而物理班級恰好相反，教學效果的強烈反差，終于讓自己對這個問題有了實踐的切身的認識。記得當實習生時，本來一個相當簡單的問題，可在課堂上卻花費了大量時間，更嚴重的是學生卻聽得更為糊涂。一個主要原因在于，對相關知識結構理解不到位，眉毛胡子一把抓，而難點又無法解決。