高中數(shù)學 1.3第1課時輾轉相除法與更相減損術、秦九韶算法課件 新人教A版必修3.ppt
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成才之路 數(shù)學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,人教A版 必修3,算法初步,第一章,1.3 算法案例,第一章,第1課時 輾轉相除法與更相減損術、秦九韶算法,雞兔同籠問題是中國古代數(shù)學名著孫子算法中的一道名題,題目是這樣的:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何?”書中給出的解法是:雞有兩只腳,兔有四只腳,把腳數(shù)除以2,共有47對腳由于雞有1對腳,兔有2對腳,所以從47中減去25,得12即為兔子數(shù)因為如要籠子里的動物每只都只有1對腳,就會多出12對腳來,把這12對腳分別加到有2對腳的動物身上,就有12只腳動物,即兔子數(shù)整個解題過程可以簡單地寫作:,知識銜接,1輾轉相除法與更相減損術 (1)輾轉相除法 算法步驟: 第一步,給定兩個正整數(shù)m,n. 第二步,計算m除以n所得的余數(shù)r. 第三步,mn,nr. 第四步,若r_,則m,n的最大公約數(shù)等于m;否則返回 第_步,自主預習,0,二,程序框圖如圖所示,程序: INPUT m,n DO rm MOD n mn nr LOOP UNTIL _ PRINT _ END,r0,m,(2)更相減損術 算法步驟: 第一步,任意給定兩個正整數(shù),判斷它們是否都是_若是,用_約簡;若不是,執(zhí)行第二步 第二步,以較大的數(shù)_去較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以_數(shù)減_數(shù)繼續(xù)這個操作,直到所得的差與減數(shù)相等為止,則這個數(shù)(等數(shù))或這個數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù),偶數(shù),2,減,大,小,2秦九韶算法 (1)概念:求多項式f(x)anxnan1xn1a1xa0的值時,常用秦九韶算法,這種算法的運算次數(shù)較少,是多項式求值比較先進的算法,其實質是轉化為求n個_多項式的值,共進行_次乘法運算和_次加法運算其過程是: 改寫多項式為: f(x)anxnan1xn1a1xa0 (anxn1an1xn2a1)xa0 (anxn2an1xn3a2)xa1)xa0 (anxan1)xan2)xa1)xa0. 設v1_,,一次,n,n,anxan1,v2v1xan2, v3v2xan3, , vn_.,vn1xa0,(2)算法步驟: 第一步,輸入多項式的次數(shù)n、最高次項的系數(shù)an和x的值 第二步,將v的值初始化為an,將i的值初始化為n1. 第三步,輸入i次項的系數(shù)ai. 第四步,vvxai,i_. 第五步,判斷i是否大于或等于_.若是,則返回第三步;否則,輸出多項式的值_.,i1,0,v,(3)程序框圖如圖所示,(4)程序: INPUT “n”;n INPUT “an”;a INPUT “x”;x va in1 WHILE _ PRINT “i”;i INPUT “ai”;a,i0,v_ ii1 WEND PRINT _ END,v*xa,v,1用輾轉相除法求36與134的最大公約數(shù),第一步是( ) A1343698 B13436326 C先除以2,得到18與67 D3626110 答案 B 解析 求36與134的最大公約數(shù),第一步是13436326,第二步是3626110,故選D.,預習自測,2(2015河北省廊坊一中月考)用輾轉相除法求294和84的最大公約數(shù)時,需要做除法的次數(shù)是( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 本題考查輾轉相除法的過程.29484342,84422,故選B.,3設計程序框圖,用秦九韶算法求多項式的值,所選用的結構是( ) A順序結構 B條件結構 C循環(huán)結構 D以上都有 答案 D 4用更相減損術求294和84的最大公約數(shù)時,第一步是_ 答案 用2約簡 解析 由于294和84都是偶數(shù),先用2約簡,5(2015云南省景洪一中月考)用秦九韶算法計算多項式f(x)3x62x54x45x37x28x1在x0.5時的值,需做乘法和加法的次數(shù)分別是_ 答案 6次乘法,6次加法 解析 將多項式改寫為f(x)(3x2)x4)x5)x7)x8)x1,化為6個一次因式求解,故只做了6次乘法和6次加法,用輾轉相除法求80和36的最大公約數(shù),并用更相減損術檢驗所得結果 探究 1.輾轉相除法與更相減損術的主要區(qū)別是什么? 2將80作為大數(shù),36作為小數(shù),執(zhí)行輾轉相除法和更相減損術的步驟即可,輾轉相除法和更相減損術的應用,互動探究,解析 用輾轉相除法: 803628, 36844, 8420. 故80和36的最大公約數(shù)是4.,用更相減損術檢驗: 803644, 44368, 36828, 28820, 20812, 1284, 844. 故80和36的最大公約數(shù)是4.,規(guī)律總結 更相減損術與輾轉相除法都能求兩個數(shù)的最大公約數(shù),二者的區(qū)別與聯(lián)系如下表.,(1)用輾轉相除法求288與123的最大公約數(shù) (2)用更相減損術求57與93的最大公約數(shù) (3)求567與405的最小公倍數(shù) 解析 (1)288123242,12342239, 423913,39313, 288和123的最大公約數(shù)是3. (2)(93,57)(36,57)(36,21)(15,21)(15,6)(9,6)(3,6)(3,3), 93與57的最大公約數(shù)是3.,(3)5674051162 405162281 1628120 81是567與405的最大公約數(shù),從而567與405的最小公倍數(shù)為567405812835.,(1)(2015三明高一檢測)用秦九韶算法計算多項式f(x)3x64x55x46x37x28x1,當x0.4時的值時,需要做乘法和加法的次數(shù)分別是( ) A6,6 B5,6 C5,5 D6,5 (2)已知一個五次多項式f(x)2x54x33x25x1,用秦九韶算法求這個多項式當x3是的值,用秦九韶算法求多項式的值,探究 1.用秦九韶算法求多項式的值時,幾次多項式就做幾次乘法運算,對嗎? 2用秦九韶算法求多項式f(x)anxnan1xn1a1xa0在xx0時的值時,v0是什么?v1呢? 解析 (1)將多項式改寫成如下形式f(x)(3x4)x5)x6)x7)x8)x1,顯然,把x0.4代入計算其值時,共做了6次乘法,6次加法,(2)因為f(x)(2x0)x4)x3)x5)x1, v02, v12306, v263414, v3143345, v44535130, v513031391, 所以f(3)391. 答案 (1)A (2)391,規(guī)律總結 用秦九韶算法時要正確將多項式的形式進行改寫,然后由內向外依次計算當多項式函數(shù)中間出現(xiàn)空項時,要以系數(shù)為零的齊次項補充,用秦九韶算法求多項式f(x)7x76x65x54x43x32x2x當x3時的值 探究 解決本題首先需要將原多項式化成f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x的形式,其次再弄清v0,v1,v2,v7分別是多少,再針對這些式子進行計算,解析 f(x)(7x6)x5)x4)x3)x2)x1)x,所以有 v07; v173627; v2273586; v38634262; v426233789; v5789322369; v62369317108; v77108321324. 故當x3時,多項式f(x)7x76x65x54x43x32x2x的值為21324.,試用輾轉相除法求325、130、270的最大公約數(shù) 探究 應用輾轉相除法去除,即依據(jù)mnqr反復執(zhí)行,直到r0為止,求多個數(shù)的最大公約數(shù),探索延拓,解析 325130265,130652, 325與130的最大公約數(shù)是65. 27065410,651065,10652, 65與270的最大公約數(shù)是5, 故325、130、270三個數(shù)的最大公約數(shù)為5. 規(guī)律總結 理解輾轉相除法的實質,從計算結果上看,輾轉相除法是以相除余數(shù)為零而得到結果的,求三個數(shù)175,100,75的最大公約數(shù) 探究 求三個數(shù)的最大公約數(shù)時,可以先求出其中兩個數(shù)的最大公約數(shù),再求這個最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù),所得的結果就是這三個數(shù)的最大公約數(shù),解析 先求175與100的最大公約數(shù): 175100175,10075125, 75253, 175與100的最大公約數(shù)是25. 再求25與75的最大公約數(shù): 752550,502525, 75和25的最大公約數(shù)是25. 175,100,75的最大公約數(shù)是25. 點評 本題的解法可以推廣到求多個數(shù)的最大公約數(shù),只需依次計算即可,已知f(x)3x42x24x2,利用秦九韶算法求f(2)的值 錯解 f(x)(3x22)x4)x2, v13(2)2214; v214(2)424; v324(2)250. 故f(2)50. 錯因分析 所求f(2)的值是正確的,但是錯解中沒有抓住秦九韶算法原理的關鍵,正確改寫多項式,并使每一次計算只含有一次項,誤區(qū)警示,正解 f(x)3x40x32x24x2(3x0)x2)x4)x2, v03, v13(2)06; v26(2)214; v314(2)424; v424(2)250. 故f(2)50.,(2015貴陽高一檢測)用秦九韶算法計算多項式f(x)1235x8x279x36x45x53x6在x4的值時,v3的值為_ 答案 57,解析 多項式變形為f(x)3x65x56x479x38x235x12(3x5)x6)x79)x8)x35)x12, 當x4時, v03, v13(4)57, v27(4)634, v334(4)7957, v457(4)8220, v5220(4)35845, v6845(4)123392.,1下列有關輾轉相除法的說法正確的是( ) A它和更相減損術一樣是求多項式值的一種方法 B基本步驟是用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到除式mnqr,直至rn為止 C基本步驟是用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到除式mqnr(0rn)反復進行,直到r0為止 D以上說法均不正確 答案 C,2更相減損術的理論依據(jù)是( ) A每次操作所得的兩數(shù)和前兩數(shù)具有相同的最小公倍數(shù) B每次操作所得的兩數(shù)和前兩數(shù)具有相同的最大公約數(shù) C每次操作所得的兩數(shù)和前兩數(shù)的最小公倍數(shù)不同 D每次操作所得的兩數(shù)和前兩數(shù)的最大公約數(shù)不同 答案 B,3用更相減損術求123與51的最大公約數(shù)時,需做減法的次數(shù)是( ) A3 B5 C6 D8 答案 D,解析 1235172, 725121, 512130, 30219, 21912, 1293, 936, 633, 所以共做了8次減法,4(2015山西省太原五中月考)用秦九韶算法求多項式f(x)7x66x53x22當x4時的值時,先算的是( ) A4416 B7428 C44464 D74634 答案 D 解析 本題考查秦九韶算法的計算原理因為f(x)anxnan1xn1a1xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0,所以用秦九韶算法求多項式f(x)7x66x53x22當x4時的值時,先算的是74634,故選D.,5分別用輾轉相除法和更相減損術求357和105的最大公約數(shù),并求最小公倍數(shù) 解析 輾轉相除法:357105342,10542221,42212. 故105與357的最大公約數(shù)為21. 更相減損術:357105252,252105147,14710542,1054263, 634221,422121. 故105與357的最大公約數(shù)為21.最小公倍數(shù)為105357211785.,- 配套講稿:
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