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2019-2020年高中數學 2.2.1《雙曲線的定義和標準方程》教案 湘教版選修1-1 教學背景分析 本小節(jié)是雙曲線的定義和標準方程，通過對橢圓的定義的類比聯想，很容易想到研究到兩個定點的距離之差為定值的點的軌跡問題.要充分注意雙曲線定義中“”，“絕對值”的詞匯的定性描述，正確理解概念，注重思維的嚴密性.雙曲線定義的理解以及標準方程的形式，三個量的關系都可以與橢圓進行類比學習，從而理解兩種曲線的聯系與區(qū)別. 雙曲線的標準方程的推導可以在橢圓的標準方程的推導經驗中類比完成.突破難點的關鍵是初步研究雙曲線的對稱性，建立恰當的直角坐標系，注重方程化簡過程中的合理變形.對于“以方程的解為坐標的點都在雙曲線上”的證明，有條件的還是需要的，使方程的推導更完備. 教學過程設計 一、復習回顧 思考并回答下列問題 1、橢圓的定義是什么？ 2、橢圓定義中有哪些注意點？ 3、橢圓的標準方程是怎樣的？ 二、講授新課 1、概念引入 問題引入：如果把橢圓定義中的和改成差: 或,即: ，其中動點的軌跡會發(fā)生什么變化呢？ ①若，則軌跡是線段的延長線；若，則軌跡是線段的延長線； ②若，則無軌跡； ③在條件下軌跡是存在的，我們把這時得到的軌跡叫做雙曲線. [說明]通過對橢圓定義的類比，啟發(fā)學生思考并發(fā)現與的大小關系與動點的軌跡的變化規(guī)律.此時可設計探究實驗：學生用筆、細繩等工具試驗畫出滿足條件的軌跡圖形（可以讓學生在上課前做一些實驗的設計準備），教師利用多媒體演示（并加以說明）.通過學生的動手操作，增加學生的感性認識，提高學生學習的參與度. 2、概念形成 n 雙曲線定義 定義：平面內到兩定點的距離的差的絕對值等于常數（小于）的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩個焦點間的距離叫做焦距. n 雙曲線定義中的注意點 在概念的理解中要注意： （1）是平面內到兩定點的距離之差的絕對值是一個非零正常數，且這個常數小于 . （2）當時，動點的軌跡是與對應的雙曲線的一支， 時為雙曲線的另一支. 3、雙曲線的標準方程的推導 可以仿照求橢圓的標準方程的做法，求雙曲線的標準方程． 如圖8-12建系，設，取過點的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標系，則，設是所求軌跡上的點. 依已知條件有，，，， 移項得：， 平方得： （*） 再平方得：， 即，令 則，即 反之：設是上的點，則， =，， ∴當時， ，，有； 當時，，，有 綜上：焦點在軸上雙曲線的標準方程是①，其中，焦點. 同樣如果雙曲線的焦點在y軸上(圖8－13)，那么，此時的雙曲線的標準方程又是怎樣的呢？ 焦點是F1(0，－c)、F2(0，c)時，a、b的意義同上，那么只要將方程①的x、y互換，就可以得到焦點在軸上雙曲線的標準方程是，其中，焦點. 思考：將方程推導過程中的方程（*）做變形可得，即，且，那么其中又蘊涵著怎樣的幾何意義呢？ 思考其幾何意義可知，雙曲線上的點滿足到定點的距離與到定直線的距離之比是一個大于1的常數，這是雙曲線的一個幾何性質.反之，如果一個點滿足，且，即點P到定點的距離與到定直線的距離之比是一個大于1的常數，則點P的軌跡是雙曲線嗎？這個問題留給課后思考. 教學反思 1、用類比聯想的方法從橢圓的定義中提出新的問題，到兩個定點的距離之差為正常數的點的軌跡是什么？再通過探究解答問題，并提出雙曲線的定義，這樣可以使學生正確理解雙曲線的概念，并能在學習中主動加強知識間的聯系.特別注意雙曲線定義中“”，“絕對值”的詞匯的定性描述，當沒有絕對值時，通常表示為雙曲線的一支.在問題的探究過程中，可以設計學生的動手實驗，增加學生的感性認識，培養(yǎng)學習的興趣和主動參與的精神. 2、由于前一節(jié)學生接觸了橢圓的標準方程的推導，對建、設、列、化、證等步驟有所熟悉，則雙曲線的標準方程的推導過程可以在教師的引導下由學生嘗試完成.特別是證明“以方程的解為坐標的點都在雙曲線上”的過程可以由師生共同完成，以培養(yǎng)思維、論證的嚴密性. 3、本解課可以安排兩節(jié)課時，第一節(jié)主要是理解雙曲線的定義和正確推導雙曲線的標準方程.可以完成例1、例3，課后作業(yè)完成1.第二節(jié)課主要是學習根據已知條件確定雙曲線的標準方程，以及利用雙曲線的方程解決簡單幾何問題.完成例2、例4和鞏固練習.課后作業(yè)完成2. 4、運用對比教學的方法，使學生區(qū)分橢圓與雙曲線的概念、標準方程、圖形、三個量的異同.