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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案（1） 湘教版選修1-1 一、知識(shí)點(diǎn) 通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，掌握橢圓的性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率），并能正確畫出橢圓的圖形。 二、能力訓(xùn)練點(diǎn) 結(jié)合對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的討論，掌握利用方程研究曲線的基本方法，加深對(duì)曲線與方程關(guān)系的理解，同時(shí)提高分析問題、解決問題的能力。 三、德育滲透點(diǎn) 由于通過方程研究曲線，以初中代數(shù)中數(shù)與式的知識(shí)為基礎(chǔ)研究幾何問題，綜合運(yùn)用方程（組）理論，提高代數(shù)運(yùn)算能力，提高綜合分析能力，揭示透過現(xiàn)象看本質(zhì)的辯證唯物主義觀念。 四、美育滲透點(diǎn) 用美學(xué)的眼光審視數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)中處處閃耀著美的光彩，橢圓代數(shù)方程閃耀著數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美、方程形式的對(duì)稱性顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱、均衡美.用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美去研究曲線幾何性質(zhì)的形象美，是學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)。 五、學(xué)法指導(dǎo) 根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)，并能正確畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一.根據(jù)曲線的條件列出方程，如果說是解析幾何的手段，那么根據(jù)曲線的方程研究它的性質(zhì)，畫圖就可以說是解析幾何的目的，通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的性質(zhì)這是第一次系統(tǒng)地用代數(shù)方法研究曲線。 研究橢圓的范圍，意在考察方程中x、y的取值范圍；討論橢圓的對(duì)稱性，應(yīng)明確初中學(xué)過的對(duì)稱概念和關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后說明以－x代x，或以－y代y方程不變，則圖形關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的道理；關(guān)于曲線的截距，相當(dāng)于求曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；離心率的概念比較抽象，它是焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值，它反映了橢圓的圓扁程度，這是圓錐曲線的重要性質(zhì)。 六、重點(diǎn)與難點(diǎn) 1、重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用 2、難點(diǎn)：通過方程研究曲線比較抽象，需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。 七、課時(shí)安排　五課時(shí) 第一課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1、掌握橢圓的范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率這四個(gè)幾何性質(zhì)； 2、掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c、e的幾何意義及其相互關(guān)系； 3、明確怎樣用代數(shù)的方法研究曲線的幾何性質(zhì)。 教學(xué)過程 1、情境設(shè)置 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了求軌跡方程的一種方法――代入法（利用中間變量求點(diǎn)的軌跡），同學(xué)們回憶一下，求點(diǎn)的軌跡方程何時(shí)用代入法？ 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)隨著另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，而主動(dòng)點(diǎn)又在某一固定曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程用代入法。 代入法的關(guān)鍵是什么？ 建立主動(dòng)點(diǎn)與被動(dòng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系。 代入法的實(shí)質(zhì)是什么？ 代入法的實(shí)質(zhì)就是將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到有規(guī)律的曲線上，進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 研究橢圓方程就是想進(jìn)一步認(rèn)識(shí)橢圓的幾何性質(zhì)。 2、探索研究 ⑴研究曲線幾何特征有何幾何意義？ 研究曲線的幾何性質(zhì)可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置。 怎樣來研究曲線的幾何特征呢？ 通過對(duì)曲線方程的討論來研究曲線的幾何特征。 ⑵下面利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2＋y2/b2＝1(a＞b＞0)來研究橢圓的性質(zhì)。 ①范圍： 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2＋y2/b2＝1，兩個(gè)變量x、y互相依賴，由于兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于1，所以橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)適合不等式：x2/a2≤1, y2/b2≤1，即－a≤x≤a，－b≤y≤b,這說明橢圓位于直線x＝a,y＝b所圍成的矩形內(nèi)。 換個(gè)角度看：如果將橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變形為，則這個(gè)橢圓方程可以分成與兩個(gè)函數(shù)式，討論橢圓的范圍，就是討論這兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域。 ②對(duì)稱性 回憶點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；奇函數(shù)與偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性。 點(diǎn)P(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(a,－b)；點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(－a,b)；點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(－a,－b)；點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(b, a)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即點(diǎn)(a,b)在函數(shù)的圖象上，那么點(diǎn)(―a,―b)也在函數(shù)的圖象上；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即點(diǎn)(a,b)在函數(shù)的圖象上，那么點(diǎn)(―a, b)也在函數(shù)的圖象上。 如果以－y代y方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上，它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(x,－y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；同理，如果以－x代x方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上，它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(－x,y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；如果同時(shí)以－y代y，以－x代x方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲線上，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q(－x,－y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 我們來看橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以－x代x，或以－y代y，或同時(shí)以－y代y，以－x代x方程是否改變？ 沒有改變。 所以橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸；坐標(biāo)原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心。 注意：標(biāo)準(zhǔn)方程表示的橢圓，它的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，那么能不能說橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)呢？不能。 ③頂點(diǎn) 研究曲線上某些特殊點(diǎn)的位置，可以確定曲線的位置，要確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常常需要求出曲線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。同學(xué)們看一看，標(biāo)準(zhǔn)方程表示的橢圓與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是怎樣的？ 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2＋y2/b2＝1里，令x＝0得y＝b，所以橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(0,b)或(0,－b),同理令y＝0得x＝a，所以橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(a,0)或(－a,0). ∵x軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，∴橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)，即橢圓與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)。 線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸與短軸。它們的長(zhǎng)分別是2a、2b，其中a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)。 觀察橢圓圖形，找出與a、b、c相等的線段？ |OB1|＝|OB2|＝b,|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F2|＝|B2F1|＝|OA1|＝|OA2|＝a,|OF1|＝|OF2|＝c。 a、b、c的幾何意義是什么？它們分別是長(zhǎng)半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距。 ④離心率 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比2c/2a＝c/a＝e。 橢圓離心率e的范圍是怎樣的？ ∵a＞c＞0,∴0＜e＜1 觀察動(dòng)畫，考察e的變化，對(duì)橢圓的影響？ e越接近1，則c就越接近a，從而就越小，橢圓就越扁，反之，e越接近0，則c就越接近于0，從而b就越接近于a，橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)c＝0時(shí)，a＝b，此時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，這時(shí)橢圓變成圓，方程為x2＋y2＝a2，因此圓可以看成橢圓的特例；橢圓可以看成是圓向同一方向均勻壓縮（拉長(zhǎng)）得到的。 練習(xí)：說出橢圓y2/a2＋x2/b2＝1的范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率。 3、反思應(yīng)用 例1　求橢圓16x2＋25y2＝400的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形。 分析：將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解，列表只要在0≤x≤5的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形然后利用對(duì)稱性作出整個(gè)圖形。 解：把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2/52＋y2/42＝1，這里a＝5，b＝4，所以c＝3。 因此長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝10,短軸長(zhǎng)2b＝8,離心率e＝c/a＝3/5,焦點(diǎn)F1(－3,0)和F2(3,0),橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是A1(－5,0)、A2(5,0)、B1(0,－4)、B2(0,4) x 0 1 2 3 4 5 y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 將已知方程變形為，根據(jù)在0≤x≤5的范圍內(nèi)算出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)： 先描點(diǎn)畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓。 例2　求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ⑴經(jīng)過點(diǎn)P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于20，離心率3/5。 ⑴分析一：設(shè)方程為mx2＋ny2＝1，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。 二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，于是焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)P、Q分別是橢圓長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故a＝3，b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/,9＋y2/4＝1。 ⑵由已知2a＝20，e＝3/5，∴a＝10，c＝6，b＝8，由于焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/100＋y2/64＝1或x2/64＋y2/100＝1 隨堂練習(xí) ⑴在下列方程所表示的曲線中，關(guān)于x軸、y軸都對(duì)稱的是（　）D A、x2＝y(tǒng)　　　B、x2＋2xy＋y＝0　　　　C、x2－4y2＝5x　　　　D、9x2＋y2＝4 ⑵求下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo) ①x2＋4y2＝16；　 2a=8,2b=4,,A1(－4,0),A2(4,0),B1(0,－2),B2(0,2) ②9x2＋y2＝81 2a=18,2b=6,,A1(0,－9),A2(0，9),B1(－3,0),B2(3,0) ⑶在下列每組橢圓中，哪一個(gè)更接近于圓？ ①9x2＋y2＝36與x2/16＋y2/12＝1； ②x2＋9y2＝36與x2/6＋y2/10＝1 ①x2/16＋y2/12＝1；②x2/6＋y2/10＝1 ⑷已知橢圓mx2＋5y2＝5m的離心率，求m的值。 分析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2/5＋y2/m＝1(m＞0，m≠5) 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，即0＜m＜5時(shí)，，解得m＝3當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，即m＞5時(shí)，，解得m＝25/3 ⑸若橢圓的離心率是1/2，求m的值。m＝－5/4，m＝5/3 4、歸納總結(jié) 數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比的思想、特殊到一般 數(shù)學(xué)方法：圖象法、公式法、待定系數(shù)法、 知識(shí)點(diǎn)：范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率 5、作業(yè) 預(yù)習(xí)： ⑴橢圓的第二定義是什么？ ⑵什么叫做橢圓的準(zhǔn)線？ ⑶對(duì)于一個(gè)確定的橢圓，它有幾條準(zhǔn)線？ ⑷中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的準(zhǔn)線方程是什么？中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的準(zhǔn)線方程是什么？