高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 1.1 橢圓及其標準方程課件 北師大版選修2-1.ppt
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第三章 1 橢圓,1.1 橢圓及其標準方程,1.掌握橢圓的定義,會用橢圓的定義解決實際問題. 2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標準方程. 3.理解橢圓標準方程的推導過程,并能運用標準方程解決相關問題.,學習目標,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,欄目索引,知識梳理 自主學習,知識點一 橢圓的定義 平面內到兩個定點F1,F(xiàn)2的 的點的集合叫做 .這兩個定點叫做橢圓的 ,兩焦點間的距離叫做橢圓的 . 知識點二 橢圓的標準方程,答案,c2a2b2,焦距,距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|),橢圓,焦點,(c,0),(c,0),(0,c),(0,c),c2a2b2,返回,思考 (1)橢圓定義中,將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常數(shù),其他條件不變,點的軌跡是什么? 答案 當距離之和等于|F1F2|時,動點的軌跡就是線段F1F2;當距離之和小于|F1F2|時,動點的軌跡不存在. (2)確定橢圓的方程需要知道哪些量? 答案 a,b的值及焦點所在的位置.,答案,題型探究 重點突破,題型一 用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程 例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程: (1)兩個焦點的坐標分別是(4,0),(4,0),橢圓上一點P到兩焦點的距離的和是10; 解 因為橢圓的焦點在x軸上,,解析答案,因為2a10,所以a5. 又因為c4,所以b2a2c252429.,(2)焦點在y軸上,且經過兩個點(0,2)和(1,0). 解 因為橢圓的焦點在y軸上,,解析答案,反思與感悟,因為橢圓經過點(0,2)和(1,0),,反思與感悟,求橢圓的標準方程時,要“先定型,再定量”,即要先判斷焦點位置,再用待定系數(shù)法設出適合題意的橢圓的標準方程,最后由條件確定待定系數(shù)即可.當所求橢圓的焦點位置不能確定時,應按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論,但要注意ab0這一條件.當已知橢圓經過兩點,求橢圓的標準方程時,把橢圓的方程設成Ax2By21(A0,B0,AB)的形式有兩個優(yōu)點:列出的方程組中分母不含字母;不用討論焦點所在的坐標軸,從而簡化求解過程.,解析答案,解析答案,解 方法一 (1)當焦點在x軸上時,,(2)當焦點在y軸上時,,此時不符合ab0,所以方程組無解.,方法二 設所求橢圓的方程為Ax2By21(A0,B0且AB),,解析答案,題型二 橢圓定義的應用 例2 已知兩定點F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),動點P滿足|PF1|PF2|2|F1F2|. (1)求點P的軌跡方程; 解 依題意知|F1F2|2, |PF1|PF2|2|F1F2|42|F1F2|, 點P的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓,,解析答案,反思與感悟,(2)若F1PF2120,求PF1F2的面積. 解 設m|PF1|,n|PF2|,則mn2a4. 在PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2m2n22mncosF1PF2, 4(mn)22mn(1cos 120),解得mn12.,PF1F2,反思與感悟,在橢圓中,由橢圓上的點與兩個焦點組成的焦點三角形引出的問題很多.要解決這些題目,我們經常利用橢圓的定義、正弦定理、余弦定理及三角形面積公式,這就需要我們在解題時,要充分理解題意,分析條件,利用橢圓定義、正弦定理、余弦定理及三角形面積公式之間的聯(lián)系建立三角形中的邊角之間的關系.在解題中,經常把|PF1|PF2|看作一個整體來處理.,解析答案,所以a5, 故有|AF1|AF2|2a10,|BF1|BF2|2a10,|AF2|BF2|AB|, 所以AF1B的周長為|AF1|BF1|AB| |AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|) 2a2a20.,題型三 與橢圓有關的軌跡問題 例3 已知B、C是兩個定點,|BC|8,且ABC的周長等于18.求這個三角形的頂點A的軌跡方程.,解析答案,反思與感悟,反思與感悟,解 以過B、C兩點的直線為x軸,線段BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy,如圖所示. 由|BC|8可知點B(4,0),C(4,0). 由|AB|AC|BC|18得|AB|AC|108|BC|, 因此,點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓,這個橢圓上 的點與兩焦點的距離之和2a10,但點A不在x軸上. 由a5,c4, 得b2a2c225169.,反思與感悟,利用橢圓的定義求軌跡方程,是先由題意找到動點所滿足的條件,看其是否符合橢圓的定義,再確定橢圓的方程.,解析答案,返回,跟蹤訓練3 已知圓A:(x3)2y2100,圓A內一定點B(3,0),圓P過點B且與圓A內切,求圓心P的軌跡方程.,解 如圖,設圓P的半徑為r,又圓P過點B, |PB|r. 又圓P與圓A內切,圓A的半徑為10, 兩圓的圓心距|PA|10r, 即|PA|PB|10(大于|AB|6). 圓心P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓. 2a10,2c|AB|6. a5,c3,b2a2c225916.,返回,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.設F1,F(xiàn)2為定點,|F1F2|6,動點M滿足|MF1|MF2|6,則動點M的軌跡是( ) A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段 解析 |MF1|MF2|6|F1F2|, 動點M的軌跡是線段.,D,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,2.已知橢圓4x2ky24的一個焦點坐標是(0,1),則實數(shù)k的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,B,解析答案,B,解析 根據(jù)橢圓的定義知|PF1|PF2|8. 又|PF1|PF2|2,所以|PF1|5,|PF2|3. 而|F1F2|4, 所以|F1F2|2|PF2|2|PF1|2, 所以PF1F2是直角三角形,故選B.,A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形,1,2,3,4,5,解析答案,4.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦點在y軸上的橢圓”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,1,2,3,4,5,C,解析答案,1,2,3,4,5,由于PF1PF2,所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2, 即|PF1|2|PF2|2100. 又由橢圓定義知|PF1|PF2|2a14, (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100, 即1962|PF1|PF2|100. 解得|PF1|PF2|48.,48,課堂小結,1.平面內到兩定點F1,F(xiàn)2的距離之和為常數(shù),即|MF1|MF2|2a, 當2a|F1F2|時,軌跡是橢圓; 當2a|F1F2|時,軌跡是一條線段F1F2; 當2a0,B0,AB)求解,避免分類討論,達到了簡化運算的目的.,返回,- 配套講稿:
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