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第 2章 推理與證明,章末復習提升,1.了解推理的概念. 2.理解合情推理與演繹推理的概念、思維形式、應用等. 3.掌握直接證明與間接證明. 4.理解數學歸納法，并會用數學歸納法證明問題.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 合情推理與演繹推理 1.歸納和類比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用于猜想，推理的結論不一定為真，有待進一步證明. 2.演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數學中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性.,知識點二 直接證明與間接證明 直接證明和間接證明是數學證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導出結論的證明方法；分析法是由結論追溯到條件的證明方法，在解決數學問題時，常把它們結合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法.,,思考 反證法通常適用于哪些問題？ 答案 反證法是高中數學的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經常用到，它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題.,答案,,知識點三 數學歸納法 數學歸納法主要用于解決與正整數有關的數學問題.證明時，它的兩個步驟缺一不可.它的第一步(歸納奠基)n＝n0時結論成立.第二步(歸納遞推)假設n＝k時，結論成立，推得n＝k＋1時結論也成立.數學歸納法原理建立在歸納公理的基礎上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立. 思考 何為探索性命題？其解題思路是什么？ 答案 探索性命題是試題中經常出現的一種題型，此類問題未給出問題結論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結論的問題稱為探求規(guī)律性問題，它的解題思想是：從給出的條件出發(fā)，通過觀察、試驗、歸納、猜想，探索出結論，然后再對歸納、猜想的結論進行證明.,答案,返回,題型探究 重點突破,,解析答案,題型一 合情推理及應用 例1 觀察下列各式： a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝_____. 解析 記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11. 通過觀察不難發(fā)現f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)， 則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47； f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123. 所以a10＋b10＝123.,123,反思與感悟,,反思與感悟,歸納推理和類比推理是常用的合情推理，兩種推理的結論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴格證明.盡管如此，合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用. 運用合情推理時，要認識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯系的.在解決問題時，可以先從觀察入手，發(fā)現問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納、類比的方法進行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進行驗證.,,解析答案,跟蹤訓練1 自然數按下表的規(guī)律排列 則上起第2 014行，左起第2 015列的數 為________. ①2 0142; ②2 0152； ③2 0132 014; ④2 0142 015.,解析 經觀察可得這個自然數表的排列特點： (1)第一列的每個數都是完全平方數，并且恰好等于它所在行數的平方， 即第n行的第1個數為n2； (2)第一行第n個數為(n－1)2＋1； (3)第n行從第1個數至第n個數依次遞減1； (4)第n列從第1個數至第n個數依次遞增1. 故上起第2 014行，左起第2 015列的數，應是第2 015列的第2 014個數， 即為[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 0142 015. 答案 ④,,解析答案,題型二 直接證明與間接證明,反思與感悟,,反思與感悟,,反思與感悟,直接證明方法可具體分為比較法、代換法、放縮法、判別式法、構造函數法等，應用綜合法證明問題時，必須首先想到從哪里開始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實際證明問題時，應當把分析法和綜合法結合起來使用.,,解析答案,跟蹤訓練2 已知等差數列{an}中，首項a1＞0，公差d＞0.,解 ∵{an}是等差數列，a1＝1，d＝2， ∴a4＝7，am＝2m－1.,即2m－1＝49.∴m＝25.,,解析答案,又∵a1＞0，d＞0，∴an＋1＝a1＋nd＞d，,因此假設不成立，故命題得證.,,解析答案,題型三 數學歸納法及應用 例3 已知ai＞0(i＝1,2，…，n)，考察：,歸納出對a1，a2，…，an都成立的類似不等式，并用數學歸納法加以證明.,反思與感悟,,證明：①當n＝1時，顯然成立. ②假設當n＝k時，不等式成立，,由①②可知，不等式對任意正整數n都成立.,反思與感悟,,反思與感悟,數學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明“當n＝k＋1時結論正確”的過程中，必須用“歸納假設”，否則就是錯誤的.,,解析答案,跟蹤訓練3 數列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*). (1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；,解 當n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；,當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝24－a4，,,解析答案,(2)證明(1)中的猜想. 證明 ①當n＝1時，a1＝1，結論成立. ②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時，結論成立，,那么n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak.,∴當n＝k＋1時，結論成立.,,例4 已知x，y∈R，且x2＋y2＝0，求證x，y全為0. 錯解 假設結論不成立，則x，y全不為0，即x≠0且y≠0， ∴x2＋y2＞0，與x2＋y2＝0矛盾，故x，y全為0. 錯因分析 x，y全為0的否定應為x，y不全為0，即至少有一個不是0， 得x2＋y2＞0與已知矛盾. 正解 假設x，y不全為0，則有以下三種可能： ①x＝0，y≠0，得x2＋y2＞0，與x2＋y2＝0矛盾； ②x≠0，y＝0，得x2＋y2＞0, 與x2＋y2＝0矛盾； ③x≠0，y≠0，得x2＋y2＞0，與x2＋y2＝0矛盾. ∴假設是錯誤的，∴x，y全為0.,易錯易混,應用反證法證明問題時，因對結論否定不正確致誤,解析答案,返回,防范措施,,應用反證法證明問題時，首先要否定結論，假設結論的反面成立，當結論的反面呈現多樣性時，需羅列出各種可能情形，否定一定要徹底.,,返回,防范措施,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.下列推理正確的是_____. ①把a(b＋c)與loga(x＋y)類比，則loga(x＋y)＝logax＋logay； ②把a(b＋c)與sin(x＋y)類比，則sin(x＋y)＝sin x＋sin y； ③把(ab)n與(x＋y)n類比，則(x＋y)n＝xn＋yn； ④把(a＋b)＋c與(xy)z類比，則(xy)z＝x(yz).,④,答案,,解析答案,1,2,3,4,5,2.在△ABC中，若sin Asin C＞cos Acos C，則△ABC形狀為________. 解析 由sin Asin C＞cos Acos C， 得cos(A＋C)＜0，即cos B＞0, 所以B為銳角，但并不能確定角A和C的情況.,不確定,,1,2,3,4,5,解析答案,,解析答案,1,2,3,4,5,4.如圖是由花盆擺成的圖案，根據圖中花盆擺放的規(guī)律，第n個圖形中的花盆數an＝___________. 解析 觀察知每一個圖案中間一行的花盆數 為1,3,5，…，其中第n個圖案中間一行的花盆 數為2n－1，往上一側花盆數依次是2n－2,2n－3，…，,3n2－3n＋1,,解析答案,1,2,3,4,5,(1)求f2(x)，f3(x)；,,(2)猜想fn(x)的表達式，并證明.,下面用數學歸納法證明： ①當n＝1時，命題顯然成立；,這就是說當n＝k＋1時命題也成立.,解析答案,1,2,3,4,5,,課堂小結,,返回,轉化與化歸的思想方法是數學最基本的思想方法，數學中一切問題的解決都離不開轉化與化歸，轉化與化歸是數學思想方法的靈魂.在本章中，合情推理與演繹推理體現的是一般與特殊的轉化，數學歸納法體現的是一般與特殊、有限與無限的轉化，反證法體現的是對立與統(tǒng)一的轉化. 從特殊到一般的思想方法即由特殊情況入手，通過觀察、試驗、歸納、猜想，探索出結論，然后再對歸納、猜想的結論進行證明.與正整數n有關的命題，經常要用到歸納猜想，然后用數學歸納法證明，這體現了從特殊到一般的探求規(guī)律的思想.,