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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《集合》 集合的劃分反映了集合與子集之間的關(guān)系，這既是一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是數(shù)學(xué)中的解題策略——分類思想的基礎(chǔ)，在近幾年來(lái)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，日益受到重視，本講主要介紹有關(guān)的概念、結(jié)論以及處理集合、子集與劃分問(wèn)題的方法。 1． 集合的概念 集合是一個(gè)不定義的概念，集合中的元素有三個(gè)特征： （1） 確定性 設(shè)是一個(gè)給定的集合，是某一具體對(duì)象，則或者是的元素，或者不是的元素，兩者必居其一，即∈與僅有一種情況成立。 （2） 互異性 一個(gè)給定的集合中的元素是指互不相同的對(duì)象,即同一個(gè)集合中不應(yīng)出現(xiàn)同一個(gè)元素。 （3） 無(wú)序性 2． 集合的表示方法 主要有列舉法、描述法、區(qū)間法、語(yǔ)言敘述法。常用數(shù)集如：應(yīng)熟記。 3． 實(shí)數(shù)的子集與數(shù)軸上的點(diǎn)集之間的互相轉(zhuǎn)換，有序?qū)崝?shù)對(duì)的集合與平面上的點(diǎn)集可以互相轉(zhuǎn)換。對(duì)于方程、不等式的解集，要注意它們的幾何意義。 4． 子集、真子集及相等集 （1）或＝； （2）且≠； （3）＝且。 5． 一個(gè)階集合（即由個(gè)元素組成的集合）有個(gè)不同的子集，其中有－1個(gè)非空子集，也有－1個(gè)真子集。 6． 集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算 ={且}；={或} 且} 要掌握有關(guān)集合的幾個(gè)運(yùn)算律： （1） 交換律 ＝，＝； （2） 結(jié)合律（）＝（）， （）＝()； （3） 分配律 （）＝（）（） （）＝ () （） （4）0—1律 ＝，＝，＝，＝ （5）等冪律 ＝，＝ （6）吸收律 ()＝，（）＝ （7）求補(bǔ)律 CIA＝，CIA＝ （8）反演律 7． 有限集合所含元素個(gè)數(shù)的幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì) 設(shè)表示集合所含元素的個(gè)數(shù),（1）, 當(dāng)時(shí)， （2）－ 例題講解 元素與集合的關(guān)系 1． 設(shè)＝{|＝,}，求證：（1）∈()； （2） 2． 以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質(zhì)：①中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)； ②中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；③－1；④若，∈,則＋∈試判斷實(shí)數(shù)0和2與集合的關(guān)系。 3． 設(shè)為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：①若∈，∈，則+∈， ；②對(duì)任一個(gè)有理數(shù)，三個(gè)關(guān)系∈，－∈，＝0有且僅有一個(gè)成立。證明：是由全體正有理數(shù)組成的集合。 兩個(gè)集合之間的關(guān)系 在兩個(gè)集合之間的關(guān)系中，我們感興趣的是“子集”、“真子集”、“相等”這三種特殊關(guān)系。這些關(guān)系是通過(guò)元素與集合的關(guān)系來(lái)揭示的，因而判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系通?？蓮呐袛嘣嘏c這兩個(gè)集合的關(guān)系入手。 4． 設(shè)函數(shù)，集合， 。 （1） 證明：； （2） 當(dāng)時(shí)，求。 （3） 當(dāng)只有一個(gè)元素時(shí)，求證：． 5．為非空集合，對(duì)于1，2，3的任意一個(gè)排列，若，則 （1） 證明：三個(gè)集合中至少有兩個(gè)相等。 （2） 三個(gè)集合中是否可能有兩個(gè)集無(wú)公共元素？ 6．已知集合： 問(wèn) （1） 當(dāng)取何值時(shí)，為含有兩個(gè)元素的集合？ （2） 當(dāng)取何值時(shí)，為含有三個(gè)元素的集合？ 7．設(shè)且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，，且 ={1，2，3，…，}。證明：或者中必有兩個(gè)不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。 課后練習(xí) 1．下列八個(gè)關(guān)系式:①{0}= ②=0 ③ {} ④{}⑤{0} ⑥0 ⑦{0} ⑧{} 其中正確的個(gè)數(shù) （ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 2．設(shè)A、B是全集U的兩個(gè)子集，且AB，則下列式子成立的是 （ ） （A）CUACUB （B）CUACUB=U （C）ACUB= （D）CUAB= 3．已知M=，且，設(shè)，則 （ ） （A）M （B）N （C）P （D） 4．設(shè)集合，則 （ ） （A） （B） （C） （D） 5．設(shè)M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且滿足條件: 當(dāng)x∈A時(shí),15xA，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是_______________. 6．集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，當(dāng)且僅當(dāng)A≠B時(shí)，(A,B)與(B,A)視為不同的對(duì)，則這樣的(A,B)對(duì)的個(gè)數(shù)有_________________. 7．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22},則能使AA∩B成立的a的取值范圍是_______________. 8．若A={x|0≤x2+ax+5≤4}為單元素集合，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)__________________. 9．設(shè)A={n|100≤n≤600,n∈N}，則集合A中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____________. 10．己知集合A={x|x=f(x)}，B={x|x=f(f(x))},其中f(x)=x2+ax+b (a,b∈R)， 證明：（1）AB （2）若A只含有一個(gè)元素，則A=B . 11．集合A={（x,y）},集合B={（x,y）,且0}， 又A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 課后練習(xí)答案 1-4 C C B A 5．解：由于1995=15133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超過(guò)1995的整數(shù). 由于這時(shí)己取出了159=135, … 15133=1995. 故9至133的整數(shù)都不能再取，還可取1至8這8個(gè)數(shù)，即共取出1995—133+8=1870個(gè)數(shù), 這說(shuō)明所求數(shù)≥1870。 另一方面，把k與15k配對(duì)，（k不是15的倍數(shù)，且1≤k≤133）共得133—8=125對(duì)，每對(duì)數(shù)中至多能取1個(gè)數(shù)為A的元素，這說(shuō)明所求數(shù)≤1870，綜上可知應(yīng)填1870 6．解：A=φ時(shí)，有1種可能；A為一元集時(shí)，B必須含有其余2元，共有6種可能；A為二元集時(shí)，B必須含有另一元.共有12種可能；A為三元集時(shí)，B可為其任一子集.共8種可能.故共有1+6+12+8=27個(gè). 7．解：由A非空知2a+1≤3a-5，故a≥6. 由AAB知AB. 即3≤2a+1且3a-5≤22, 解之，得1≤a≤9. 于是知6≤a≤9 8．解：由.若，則A有無(wú)數(shù)個(gè)元，若，則A為空集，只有當(dāng)即時(shí)，A為單元素集或.所以 9．解：被7除余2的數(shù)可寫(xiě)為7k+2. 由100≤7k+2≤600.知14≤k≤85. 又若某個(gè)k使7k+2能被57整除，則可設(shè)7k+2=57n. 即. 即n-2應(yīng)為7的倍數(shù). 設(shè)n=7m+2代入，得k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. m=0,1.于是所求的個(gè)數(shù)為85-(14-1)-2=70 10．證明：（1） (2)設(shè)A={c}，即二次方程f(x)-x=0有惟一解c，即c為 f(x)-x=0的重根. ∴ f(x)-x=(x-c)2 即f(x)=(x-c)2+x,于是f(f(x))=(f(x)-c)2+f(x), f(f(x))-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=[(x-c)2+x-c]2+(x-c)2=0 ∴ 故f(f(x))=x也只有惟一解x=c，即B={c}. 所以A=B 11．解：由得 設(shè) 由數(shù)形結(jié)合得: 解得： 例題答案： 1．分析：如果集合＝{|具有性質(zhì)}，那么判斷對(duì)象是否是集合的元素的基本方法就是檢驗(yàn)是否具有性質(zhì)。 解：（1）∵,∈且＝,故∈； （2）假設(shè)，則存在，使＝ 即 (*) 由于與具有相同的奇偶性，所以（*）式左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或4的倍數(shù)，另一方面，（*）式右邊只能被4除余2的數(shù)，故（*）式不能成立。由此，。 2．解：由④若，∈,則＋∈可知，若∈，則 （1） 由①可設(shè)，∈，且＞0，＜0，則－＝|| (||∈) 故,－∈,由④,0＝(－)+∈。 （2）2。若2∈，則中的負(fù)數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當(dāng)－（）∈（）時(shí)，－1＝（－）＋∈，與③矛盾。于是，由②知中必有正奇數(shù)。設(shè)，我們?nèi)∵m當(dāng)正整數(shù)，使 ，則負(fù)奇數(shù)。前后矛盾。 3．證明：設(shè)任意的∈，≠0,由②知∈，或－∈之一成立。再由①，若∈，則；若－∈，則?？傊?，。 取=1，則1∈。再由①，2=1+1∈，3=1+2∈，…，可知全體正整數(shù)都屬于。 設(shè)，由①，又由前證知，所以∈。因此，含有全體正有理數(shù)。 再由①知，0及全體負(fù)有理數(shù)不屬于。即是由全體正有理數(shù)組成的集合。 4．解：（1）設(shè)任意∈，則＝.而 故∈,所以. （2） 因，所以 解得 故 。由得 解得 ＝{。 5．證明：（1）若，則 所以每個(gè)集合中均有非負(fù)元素。 當(dāng)三個(gè)集合中的元素都為零時(shí)，命題顯然成立。 否則，設(shè)中的最小正元素為，不妨設(shè)，設(shè)為中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè)則－∈。 若＞0,則0≤－＜，與的取法矛盾。所以=0。 任取因0∈,故－0＝∈。所以，同理。 所以=。 （3） 可能。例如=={奇數(shù)}，={偶數(shù)}顯然滿足條件，和與都無(wú)公共元素。 6．解：=。與分別為方程組 （Ⅰ） （Ⅱ） 的解集。由（Ⅰ）解得（）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得 （）=（1，0），（，） （1） 使恰有兩個(gè)元素的情況只有兩種可能： ① ② 由①解得=0；由②解得=1。 故=0或1時(shí)，恰有兩個(gè)元素。 （2） 使恰有三個(gè)元素的情況是：= 解得，故當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)元素。 7．證明：由題設(shè)，{1，2，3，…，}的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一。 假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的{1，2，3，…，}的真子集，使得無(wú)論是還是中的任兩個(gè)不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù)。 不妨設(shè)1∈，則3，否則1+3=，與假設(shè)矛盾，所以3∈。同樣6，所以6∈，這時(shí)10，，即10∈。因≥15，而15或者在中，或者在中，但當(dāng)15∈時(shí)，因1∈，1+15=，矛盾；當(dāng)15∈時(shí)，因10∈，于是有10+15=，仍然矛盾。因此假設(shè)不真。即結(jié)論成立。