《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 7.2 空間幾何體的表面積與體積課件(理).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 7.2 空間幾何體的表面積與體積課件(理).ppt（71頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積,【知識梳理】 1.多面體的表面積與側(cè)面積 多面體的各個面都是平面,則多面體的側(cè)面積就是所有 側(cè)面的_________,表面積是側(cè)面積與_________之和.,面積之和,底面面積,2.旋轉(zhuǎn)體的表面積與側(cè)面積,2πr(l+r),πrl,π(r1+r2)l,4πR2,3.空間幾何體的體積(h為高,S為下底面積,S′為上底面積) (1)V柱體=___.特別地,V圓柱=πr2h(r為底面半徑). (2)V錐體=____.特別地,V圓錐= πr2h(r為底面半徑). (3)V臺體= h(S+ +S′).特別地,V圓臺= πh(r2+rr′+ r′2)(r,r′分別為上、下底面半徑). (4)V球=____(球半徑是R).,Sh,【特別提醒】 1.長方體的外接球 (1)球心:體對角線的交點. (2)半徑:r= (a,b,c為長方體的長、寬、高).,2.正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球 (1)外接球:球心是正方體中心;半徑r= (a為正方體 的棱長). (2)內(nèi)切球:球心是正方體中心;半徑r= (a為正方體的 棱長). (3)與各條棱都相切的球:球心是正方體中心;半徑r= (a為正方體的棱長).,3.正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分) (1)外接球:球心是正四面體的中心;半徑r= (a為正四面體的棱長). (2)內(nèi)切球:球心是正四面體的中心;半徑r= (a為正四面體的棱長).,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(必修2P28習(xí)題1.3A組T3改編)如圖,將 一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平 面截出一個棱錐,則該棱錐的體積與剩下 的幾何體體積的比為________.,【解析】設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a,b,c,它截 出棱錐的體積為V1= 剩下的幾 何體的體積V2=abc- abc= abc,所以V1∶V2=1∶47. 答案:1∶47,2.(必修2P36A組T10改編)一直角三角形的三邊長分別 為6cm,8cm,10cm,繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積 為________. 【解析】旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以 cm為半徑的兩個 同底面的圓錐,其表面積為S=π 6+π 8= π(cm2). 答案: πcm2,感悟考題 試一試 3.(2015浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是( ),A.8cm3 B.12cm3 C. cm3 D. cm3 【解析】選C.由題意得,該幾何體為一正方體與四棱錐 的組合,所以體積V=,4.(2015陜西高考)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 ( ) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4,【解析】選D.該幾何體為圓柱體的一半,可得上下兩個 半圓的表面積S1=πr2=π,側(cè)面積S2=22+ 2πr2 =2π+4,所以此幾何體的表面積S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.,5.(2014山東高考)一個六棱錐的體積為2 ,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為________.,【解析】設(shè)六棱錐的高為h,斜高為h′, 則由體積 得: 所以側(cè)面積為 2h′6=12. 答案:12,考向一 空間幾何體的側(cè)面積與表面積 【典例1】(1)(2015安徽高考) 一個四面體的三視圖如圖所示, 則該四面體的表面積是 ( ),(2)(2015全國卷Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r= ( ) (本題源于教材A版必修2P15練習(xí)2(2)),A.1 B.2 C.4 D.8,【解題導(dǎo)引】(1)先根據(jù)三視圖還原幾何體,弄清三視圖與直觀圖之間量的對應(yīng)關(guān)系,再求各個面的面積. (2)根據(jù)正視圖和俯視圖想象出其直觀圖,然后根據(jù)表面積列方程求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.由該四面體的三 視圖可知,該四面體的直觀圖如圖所示: 其中側(cè)面PAC⊥底面ABC,且△PAC≌△BAC,由三視圖中 所給數(shù)據(jù)可知PA=PC=AB=BC= ,取AC的中點O,連接PO, BO,則在Rt△POB中,PO=BO=1,可得PB= ,所以,(2)選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個 圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱 的高為2r,其表面積為 4πr2+πr2r+πr2+2r2r =5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.,【易錯警示】解答本例題(1)會出現(xiàn)以下錯誤: 根據(jù)三視圖還原直觀圖時,三視圖中的各數(shù)值與直觀圖中的數(shù)值對應(yīng)不正確,從而造成錯解.,【規(guī)律方法】幾何體表面積的求法 (1)多面體:其表面積是各個面的面積之和. (2)旋轉(zhuǎn)體:其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和. 計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時,一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行,即將側(cè)面展開化為平面圖形來解決. (3)簡單組合體:應(yīng)搞清各構(gòu)成部分,并注意重合部分的處理.,(4)若以三視圖的形式給出,解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進行分析,從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解. 易錯提醒:求組合體的表面積時,組合體的銜接部分的面積要減去.,【變式訓(xùn)練】(2015北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是 ( ),【解析】選C.還原幾何體如圖所示, S△BCD= BCDE= 22=2, S△ACD=S△ABD= 1= , S△ABC= BCAE= 2 = , 所以表面積為2+2 .,【加固訓(xùn)練】 1.如圖所示,某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形,側(cè) 視圖是平行四邊形,則該幾何體的表面積為 ( ) A.15+3 B.9 C.30+6 D.18,【解析】選C.圖中所示的三視圖對應(yīng)的是一個橫放的 四棱柱,該四棱柱四個側(cè)面都是矩形,上、下兩個底面 是平行四邊形,其表面積為233+232+23 =30+6 .,2.(2016武漢模擬)已知一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 ( ) A.10π+96 B.9π+96 C.8π+96 D.9π+80,【解析】選C.圖中所示的三視圖對應(yīng)的是一個由一個圓柱和一個正方體構(gòu)成的簡單組合體,其表面積S=644+2π14=96+8π.,3.某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是____________.,【解析】由幾何體的三視圖可知,該幾何體 是底面為直角梯形的直四棱柱(如圖所示). 在四邊形ABCD中,作DE⊥AB,垂足為E,則DE=4,AE=3, 則AD=5.所以其表面積為2 (2+5)4+24+4 5+45+44=92. 答案:92,考向二 空間幾何體的體積 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:根據(jù)幾何體的三視圖計算體積 【典例2】(2015全國卷Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為 ( ),【解題導(dǎo)引】依據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖,利用割補法求解.,【規(guī)范解答】選D.由三視圖得,在正方體ABCD-A1B1C1D1 中,截去四面體A-A1B1D1, 如圖所示, 設(shè)正方體棱長為a,則 故剩余幾何 體體積為 所以截去部分體積與剩余部分體 積的比值為,命題方向2:根據(jù)幾何體的直觀圖計算體積 【典例3】(2015全國卷Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體 積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約 有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛,【解題導(dǎo)引】由米堆底部的弧長可求出圓錐底面半徑, 進而求得米堆的體積. 【規(guī)范解答】選B.設(shè)圓錐底面半徑為r,則 23r=8, 所以r= 所以米堆的體積為 故堆 放的米約為 1.62≈22.,【技法感悟】 求幾何體體積的常見類型及解題策略 (1)以三視圖為載體的幾何體體積問題:將三視圖還原為幾何體,利用空間幾何體的體積公式求解. (2)直觀圖中幾何體的體積問題: ①錐體、柱體的體積問題:根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高,直接套用公式求解;,②球的體積問題:直接利用球的體積公式求解,在實際問題中要根據(jù)題意作出圖形,構(gòu)造直角三角形確定球的半徑; ③不規(guī)則幾何體的體積問題:常用分割或補形的思想,若幾何體的底不規(guī)則,也需采用同樣的方法,將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形,易于求解.,【題組通關(guān)】 1.(2015山東高考)在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC, BC=2AD=2AB=2,將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而 形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( ),【解析】選C.如圖,所得幾何體為一個圓柱 挖去一個小圓錐,其體積,2.(2015天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為________m3.,【解析】該幾何體是由兩個高為1的圓錐與一個高為 2的圓柱組合而成,所以該幾何體的體積為2 π 121+π122= (m3). 答案:,3.(2015江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個,則新的底面半徑為__________.,【解析】由圓錐與圓柱的體積公式可知,V圓錐= πr2h = π524= ,V圓柱=πr2h=π228=32π,所以 圓錐與圓柱的總體積為 +32π.設(shè)制作后新的圓錐 與圓柱的底面半徑為r′,由題知 πr′24+πr′28 = +32π,解得r′= .所以新的底面半徑為 . 答案:,考向三 球與幾何體的切、接問題 【典例4】(1)(2015全國卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面 上兩點,∠AOB=90,C為該球面上的動點,若三棱錐 O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為 ( ) A.36π B.64π C.144π D.256π,(2)(2014湖南高考)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解題導(dǎo)引】(1)△AOB的面積是定值,根據(jù)VO-ABC=VC-AOB,當點C到平面AOB的距離最大,即CO⊥平面AOB時,VO-ABC最大. (2)先由三視圖畫出直觀圖,判斷這個幾何體是底面的邊長為6,8,10的直角三角形,高為12的水平放置的直三棱柱,底面的內(nèi)切圓的半徑就是得到的最大球的半徑.,【規(guī)范解答】(1)選C.如圖所示,當點C位于垂直于面 AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,設(shè)球O的 半徑為R,此時VO-ABC=VC-AOB= R2R= R3=36,故R=6, 則球O的表面積為S=4πR2=144π.,(2)選B.由三視圖畫出直觀圖如圖,判斷這個幾何體是 底面的邊長為6,8,10的直角三角形,高為12的水平放置 的直三棱柱,直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為r= =2,這就是得到的最大球的半徑.,【母題變式】1.若本例題(1)條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC- A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”,若AB=3,AC=4, AB⊥AC,AA1=12,求球O的半徑. 【解析】因為直三棱柱中AB=3,AC=4, AA1=12,AB⊥AC, 所以BC=5,且BC為過底面ABC的截面圓的直徑.,取BC中點D,則OD⊥底面ABC, 則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi), 矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑, 所以2R= 即R=,2.若本例題(1)條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,求該球的體積.,【解析】如圖,設(shè)球心為O,半徑為r, 則在Rt△AOF中,(4-r)2+( )2=r2, 解得r= , 則球O的體積V球=,【規(guī)律方法】空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時,一般過球心 及接、切點作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題, 再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解. (2)若球面上四點P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩 兩互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有關(guān)元素“補 形”成為一個球內(nèi)接長方體,利用4R2=a2+b2+c2求解.,【變式訓(xùn)練】(2016張掖模擬)如圖是一個空間幾何體的三視圖,該幾何體的外接球的體積記為V1,俯視圖繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積記為V2,則V1∶V2= ( ),【解析】選D.三視圖復(fù)原的幾何體如圖,它是底面為等 腰直角三角形,一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐,它的外接 球,就是擴展為長方體的外接球,外接球的直徑是2 , 該幾何體的外接球的體積V1= V2= 所以V1∶V2=,【加固訓(xùn)練】 1.(2015內(nèi)江模擬)在三棱錐A-BCD中,側(cè)棱AB,AC,AD 兩兩垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面積分別為 則三棱錐A-BCD的外接球的體積為 ( ),【解析】選A.三棱錐A-BCD中,側(cè)棱AB,AC,AD兩兩垂直,補成長方體,兩者的外接球是同一個,長方體的體對角線就是球的直徑. 設(shè)長方體同一頂點處的三條棱長分別為a,b,c, 由題意得:,解得 所以球的直徑為 它的半徑為 ,球的體積為,2.(2015西安模擬)如圖,已知球O是棱 長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球, 則平面ACD1截球O的截面面積為 ( ),【解析】選C.平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓. 因為正方體的棱長為1, 所以AC=CD1=AD1= , 所以內(nèi)切圓的半徑r= , 所以S=πr2=,