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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 不等式的證明 有關(guān)高考不等式證明 證明不等式的主要方法是： 一、基本方法：比較法，綜合法，分析法 二、其他方法：反證法，放所法，判別式，換元法，函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法，參數(shù)法，構(gòu)造法，數(shù)學(xué)歸納法. 一 比較法（比差法，比商法） u 1.設(shè)，求證： 證明：左-右= 2.已知，，求證： 證明：法一：時(shí) 時(shí) 時(shí) 法二： 3.，，求證： 證明： 4.已知，求證： 證明： 二 綜合法 5.設(shè)，求證： 證明：法一： 法二： +〕———————————————— 法三： 6.已知，求證： 證明： 同理： +〕———————————————————— 7.設(shè),求證： 證明： +〕—————————— 8.設(shè)，求證： 證明：法一： 即 同理： +〕------------------------------------------ 法二： 法三： 9.設(shè)，求證： 證明：左 10.設(shè)實(shí)數(shù)滿足,,求證： 證明： ① ② ①“=”成立 ②“=”成立 此時(shí) ∴①②“=”不同時(shí)成立 ∴ 三、分析法 11.已知，求證： 證明： 12.設(shè),,求證： 證明： 成立 13.已知，且，求證： 1） 2） 證明：1） ④ ③ ② ① 成立 ∴①②③④ 即 2） ∵ ∴原不等式等價(jià)于證明 成立 只需證 ∵ ∴ 14.已知 ，求證： 證明： 四、反證法 15.已知，，，求證：，，中至少有一個(gè)小于等于. 證明：假設(shè) 則有 〔＊〕 又∵ 與〔＊〕矛盾 16.設(shè)都是小于1的正數(shù)，求證： 這四個(gè)數(shù)不可能都大于1. 證明：同15題 17.設(shè)，求證： 證明：假設(shè) 與矛盾 ∴ 18.設(shè)，，求證： 證明：假設(shè) 則 而與矛盾. ∴ 五、放縮法 19.，求證： 證明： +〕—————————————— 20.設(shè)，，求證： 證明： 21.求證： 證明： ① ② ③ ①②③得 22.設(shè)，求證： 證明： 六 換元法 23.已知，求證： 證明：，設(shè) 24.已知，求證： 證明： 令 25.已知，，求證： 證明： 26.求證： 證明：設(shè) 27.已知，且，求證： 證明：設(shè) ∴ 28.設(shè)，且，求證： 證明：設(shè) 29.已知，求證： 證明：令 +〕 原不等式 法一： 法二： 30.已知，且，求證： 證明：∵ ∴ 設(shè) 解得 ∴ 31.，求證： 證明：令 左 七、函數(shù)法 32.設(shè)，，求證： 證明：令 ∴ 33.求證 證明：令 34.，求證： 證明：令 a) 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù) b) 當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù) c) 當(dāng)時(shí)， 35.設(shè)，且，求證： 證明： 36.設(shè)，對任意的正整數(shù)，求證： 證明： 37.已知，求證： 證明： 八、參數(shù)法 38.已知，， 求證： 證明： +〕———————————————— ∴ ∴ 39.設(shè)，且，求證： 證明： 即 +〕———————————————— “=” 40 設(shè)，求證： 證明： 即 +〕 ﹙＊﹚ 代入﹙＊﹚得 41 設(shè)，求證：. 證明： +〕 令 得 ∴ 42 設(shè) 且，求證： 證明： +〕 ∵ ∴ 只要令 即 43 若均為銳角，且滿足，求證： 證明：令 ，則 左 左 令 得 九 導(dǎo)數(shù)法 44 已知為正整數(shù) （1）設(shè)，證明： （2）設(shè)，對任意，證明：證明：（1） （2） ∴ 當(dāng)時(shí)， ∴ 當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù) ∴ 當(dāng)時(shí) ∴ 即當(dāng)時(shí)， 45 設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且， （1）證明： （2）證明： （3）若函數(shù)，證明：當(dāng)，且時(shí)， 證明：（1） 的兩根為 即 （2） 時(shí) 為增函數(shù) 時(shí) 為減函數(shù) ∴ ∴ （3） 46 已知函數(shù) （1） 求函數(shù)的最大值. （2） 設(shè)，證明. 證明：（1）函數(shù)的定義域?yàn)? 令得 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ∴ （2） 由⑴知 得 ∴ ∴ 又 ∴ 47 設(shè)函數(shù) （1）證明 （2）設(shè)為的一個(gè)極值，證明： （3）設(shè)在內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為 證明： 證明：（1） （2） 知 ∴ 又 ∴ （3） 設(shè)是的任意正實(shí)數(shù)根.即 則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)，使 即在第Ⅱ或第Ⅳ象限. x 的符號 K為奇數(shù) – 0 + K為偶數(shù) + 0 – ∴ 滿足的正根都為的極值點(diǎn) 由題設(shè)條件為方程的全部正實(shí)根且滿足 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 在第Ⅱ象限即 綜上 48 已知函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) （1） 求實(shí)數(shù)a的取值范圍. （2） 若數(shù)列滿足 證明：. 解：（1） 在上為增函數(shù) ∴ 在上恒成立 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）當(dāng)時(shí)， 設(shè)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 記 當(dāng)時(shí) 在上為增函數(shù) 又∵ ∴ ∴ ∴ 綜上 即 ∴ 十 構(gòu)造法 49 已知 ， 求證 證明：設(shè) 左= 其中為以1為邊長的正方形OBCA 內(nèi)任一點(diǎn) 圖像沒有畫 50 已知，求證 證明： 構(gòu)造一個(gè)三棱錐A-BCD，使 圖像沒有畫 在中，BC+CD>BD 51 求證 證明： ∴ 是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 又 ，故該方程有兩個(gè)大于c的不等實(shí)根 設(shè) 解得 52 設(shè)，且， 求證. 證明：構(gòu)造輔助命題：若則 令 ∵ ∴ 左邊 53 求證： 證明： ∵ ∴在上為增函數(shù) ∴ 54 已知 為實(shí)數(shù)，求證 證明： 55 已知，求證： 證明： 56 求證： 證明: 設(shè) 十一 數(shù)學(xué)歸納法 57 已知正項(xiàng)數(shù)列{}滿足 求證： 證明：①當(dāng)時(shí)， ②設(shè)時(shí)，不等式成立有 ；那么當(dāng)時(shí)， 即 時(shí)，命題正確 ∴ 由①②得 58 設(shè)且，求證： 證明：①當(dāng)時(shí)，左右 當(dāng)時(shí)， ∴當(dāng)時(shí) 命題成立 ②設(shè)時(shí)命題成立 有 當(dāng)時(shí)，不失一般性，設(shè) 即 ∴ ∵ ∴ ∴ 即時(shí)，命題成立. 59 數(shù)列{}由下列條件決定： （1） 證明：對 總有 （2） 證明：對 總有 證明：（1）先證 ①當(dāng)時(shí)，有 ②設(shè)時(shí)，有 當(dāng)時(shí)，成立 由①②得 ∴ 對 總有 （2） ∴ 對 總有 60 數(shù)列滿足 （1）用數(shù)學(xué)歸納法證明 （2）已知不等式對成立.證明： 證明：（1） ① 當(dāng)時(shí)，不等式成立 ② 設(shè)時(shí)，不等式成立 有 不等式成立 由①②得 時(shí) （2） 即 ∴ 61 設(shè)函數(shù) （1）求的最小值 （2） 設(shè)正數(shù)滿足證明： . 證明：（1） 令 得 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù) 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù) ∴ （2）法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明 ①當(dāng)n=1時(shí)，由（1）知命題成立 ②設(shè)n=k時(shí)命題成立，有 當(dāng)n=k+1時(shí)，時(shí)，滿足 令則有 由歸納假設(shè)知 ① 同理： ② ①+②得： 即 n=k+1時(shí)命題成立 法二：先證不等式： 構(gòu)造函數(shù) （常數(shù)） 由（1）知：當(dāng) 即時(shí)， ∴ 對都有 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題成立 ① 當(dāng)n=1時(shí)，命題成立 ② 設(shè)n=k時(shí)，命題成立.即若正數(shù) 滿足 有 當(dāng)n=k+1時(shí) 令 ∵ 由歸納假設(shè)得： ∴ 即 n=k+1時(shí)命題成立. 附錄 △中的不等式 1 設(shè)的三邊為，求證： 證明： 2 的三邊為，求證： 證明： 3 的三邊為，求證： 證明： 4 在銳角中，求證 證明： 5 在中，已知的面積為，外接圓半徑為，三邊長為求證 證明： 又 即 同理： ∴ “=” 若 矛盾 ∴ 等式不成立 ∴ 6 已知的三邊長為的三邊為，面積為 求證： 證明： ① +） ①成立