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2019年高考數(shù)學一輪復習第十一章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布列課時達標檢測五十七二項分布與正態(tài)分布理 1．若同時拋擲兩枚骰子，當至少有5點或6點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功，則在3次試驗中至少有1次成功的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　一次試驗中，至少有5點或6點出現(xiàn)的概率為1－＝1－＝，設X為3次試驗中成功的次數(shù)，則X～B，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C03＝，故選C. 2．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點的概率是，則μ＝(　　) A．1 B．4 C．2 D．不能確定 解析：選B　根據(jù)題意函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點時， Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4.根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，當函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點的概率是時，μ＝4. 3．為向國際化大都市目標邁進，某市今年新建三大類重點工程，它們分別是30項基礎設施類工程、20項民生類工程和10項產業(yè)建設類工程．現(xiàn)有3名民工相互獨立地從這60個項目中任選一個項目參與建設，則這3名民工選擇的項目所屬類別互異的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　記第i名民工選擇的項目屬于基礎設施類、民生類、產業(yè)建設類分別為事件Ai、Bi、Ci，i＝1、2、3.由題意知，事件Ai、Bi、Ci(i＝1、2、3)相互獨立，則P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝(i＝1、2、3)，故這3名民工選擇的項目所屬類別互異的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6＝.選D. 4．某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定．小王到該銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試．若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定． (1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望． 解：(1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”為事件A，則P(A)＝＝. (2)依題意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝1＝.所以X的分布列為 X 1 2 3 P 5．甲、乙兩支籃球隊賽季總決賽采用7場4勝制，每場必須分出勝負，場與場之間互不影響，只要有一隊獲勝4場就結束比賽．現(xiàn)已比賽了4場且甲籃球隊勝3場，已知甲球隊第5,6場獲勝的概率均為，但由于體力原因，第7場獲勝的概率為. (1)求甲隊以4∶3獲勝的概率； (2)設X表示決出冠軍時比賽的場數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望． 解：(1)設甲隊以4∶3獲勝的事件為B， ∵甲隊第5,6場獲勝的概率均為，第7場獲勝的概率為， ∴甲隊以4∶3獲勝的概率P(B)＝2＝， ∴甲隊以4∶3獲勝的概率為. (2)隨機變量X的可能取值為5,6,7，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝2＋2＝，∴隨機變量X的分布列為 X 5 6 7 P E(X)＝5＋6＋7＝. [中檔難度題——學優(yōu)生做] 1．某公司甲、乙、丙三位員工參加某項專業(yè)技能測試，每人有兩次機會，當且僅當?shù)谝淮尾贿_標時進行第二次測試．根據(jù)平時經(jīng)驗，甲、乙、丙三位員工每次測試達標的概率分別為，，，各次測試達標與否互不影響． (1)求甲、乙兩位員工均需測試兩次才達標的概率； (2)記甲、乙、丙三位員工中達標的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望． 解：(1)甲員工需測試兩次才達標的概率為＝；乙員工需測試兩次才達標的概率為＝.因為各次測試達標與否互不影響，所以甲、乙兩位員工均需測試兩次才達標的概率為＝. (2)由題意可知，甲員工測試達標的概率為＋＝， 乙員工測試達標的概率為＋＝， 丙員工測試達標的概率為＋＝. 隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＋＋＝， P(X＝2)＝＋＋＝， P(X＝3)＝＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 2．為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100 km/h的有40人，不超過100 km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過100 km/h的有20人，不超過100 km/h的有25人． (1)完成下面22列聯(lián)表，并判斷有多大的把握認為“平均車速超過100 km/h與性別有關”？ 平均車速超過100 km/h 平均車速不超過100 km/h 總計 男性駕駛員 女性駕駛員 總計 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)在被調查的駕駛員中，從平均車速不超過100 km/h的人中隨機抽取2人，求這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率； (3)以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過100 km/h且為男性駕駛員的車輛數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望E(X)． 解：(1)完成的22列聯(lián)表如下： 平均車速超過100 km/h 平均車速不超過100 km/h 總計 男性駕駛員 40 15 55 女性駕駛員 20 25 45 總計 60 40 100 K2＝≈8.249>7.879，所以有99.5%的把握認為“平均車速超過100 km/h與性別有關”． (2)平均車速不超過100 km/h的駕駛員有40人，從中隨機抽取2人的方法總數(shù)為C，記“這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事件A，則事件A所包含的基本事件數(shù)為CC，所以所求的概率P(A)＝＝＝. (3)根據(jù)樣本估計總體的思想，從總體中任取1輛車，平均車速超過100 km/h且為男性駕駛員的概率為＝，故X～B. 所以P(X＝0)＝C03＝； P(X＝1)＝C2＝； P(X＝2)＝C2＝； P(X＝3)＝C30＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝. [較高難度題——學霸做] 1．甲、乙兩俱樂部舉行乒乓球團體對抗賽．雙方約定： ①比賽采取五場三勝制(先贏三場的隊伍獲得勝利，比賽結束)； ②雙方各派出三名隊員，前三場每位隊員各比賽一場．已知甲俱樂部派出隊員A1，A2，A3，其中A3只參加第三場比賽，另外兩名隊員A1，A2比賽場次未定；乙俱樂部派出隊員B1，B2，B3，其中B1參加第一場與第五場比賽，B2參加第二場與第四場比賽，B3只參加第三場比賽． 根據(jù)以往的比賽情況，甲俱樂部三名隊員對陣乙俱樂部三名隊員獲勝的概率如下表： A1 A2 A3 B1 B2 B3 (1)若甲俱樂部計劃以3∶0取勝，則應如何安排A1，A2兩名隊員的出場順序，使得取勝的概率最大？ (2)若A1參加第一場與第四場比賽，A2參加第二場與第五場比賽，各隊員每場比賽的結果互不影響，設本次團體對抗賽比賽的場數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望 E(X)． 解：(1)設A1，A2分別參加第一場，第二場，則P1＝＝，設A2，A1分別參加第一場、第二場，則P2＝＝，∴P1>P2，∴甲俱樂部安排A1參加第一場，A2參加第二場，則以3∶0取勝的概率最大． (2)比賽場數(shù)X的所有可能取值為3,4,5，P(X＝3)＝＋＝，P(X＝4)＝C＋3＋C＋3＝，P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝，∴X的分布列為 X 3 4 5 P ∴E(X)＝3＋4＋5＝. 2．(xx東北三省四市一模)近兩年雙11網(wǎng)購受到廣大市民的熱捧．某網(wǎng)站為了答謝老顧客，在雙11當天零點整，每個金冠買家都可以免費抽取200元或者500元代金券一張，中獎率分別是和.每人限抽一次，100%中獎．小張、小王、小李、小趙4個金冠買家約定零點整抽獎． (1)試求這4人中恰有1人抽到500元代金券概率； (2)這4人中抽到200元、500元代金券的人數(shù)分別用X、Y表示，記ξ＝XY，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學期望． 解：(1)設“這4人中恰有i人抽到500元代金券”為事件Ai，其中i＝0,1,2,3,4，則P(A1)＝C13＝. (2)易知ξ可取0,3,4， P(ξ＝0)＝P(A0)＋P(A4)＝C04＋C40＝＋＝， P(ξ＝3)＝P(A1)＋P(A3)＝C13＋C31＝＋＝. P(ξ＝4)＝P(A2)＝C22＝. ξ的分布列為 ξ 0 3 4 P E(ξ)＝0＋3＋4＝.