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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 第八篇 第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系限時訓(xùn)練 新人教A版 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的 (　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 解析　若兩條直線無公共點，則兩條直線可能異面，也可能平行．若兩條直線是異面直線，則兩條直線必?zé)o公共點． 答案　A 2．若兩條直線和一個平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是 (　　)． A．平行 B．異面 C．相交 D．平行、異面或相交 解析　經(jīng)驗證，當(dāng)平行、異面或相交時，均有兩條直線和一個平面相交成等角的情況出現(xiàn)，故選D. 答案　D 3．以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是 (　　)． ①不共面的四點中，其中任意三點不共線； ②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則A、B、C、D、E共面； ③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 解析?、僬_，可以用反證法證明；②從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因為此時所得的四邊形四條邊可以不在一個平面上． 答案　B 4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論錯誤的是 (　　)． A．A1、M、O三點共線 B．M、O、A1、A四點共面 C．A、O、C、M四點共面 D．B、B1、O、M四點共面 解析　因為O是BD1的中點．由正方體的性質(zhì)知，點O在直線A1C上，O也是A1C的中點，又直線A1C交平面AB1D1于點M，則A1、M、O三點共線，A正確；又直線與直線外一點確定一個平面，所以B、C正確． 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a，b在α上的射影有可能是： ①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點． 在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是________(寫出所有正確結(jié)論的編號)． 解析　只有當(dāng)a∥b時，a，b在α上的射影才可能是同一條直線，故③錯，其余都有可能． 答案?、佗冖? 6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確的結(jié)論為________(注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上)． 解析　直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤． 答案?、邰? 三、解答題(共25分) 7．(12分)如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90，BC綉AD，BE綉FA，G、H分別為FA、FD的中點． (1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？ (1)證明　由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綉AD. 又BC綉AD，∴GH綉B(tài)C，∴四邊形BCHG為平行四邊形． (2)解　由BE綉AF，G為FA中點知，BE綉FG， ∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面． 又D∈FH，∴C、D、F、E四點共面． 8．(13分)在長方體ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一點P(如圖所示，其中P點不在對角線B1D1)上． (1)過P點在空間作一直線l，使l∥直線BD，應(yīng)該如何作圖？并說明理由； (2)過P點在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成α角，其中α∈，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？ 解　(1)連接B1D1，BD，在平面A1C1內(nèi)過P作直線l，使l∥B1D1，則l即為所求作的直線，如圖(a)． ∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l(xiāng)∥直線BD. 圖(a) (2)∵BD∥B1D1，∴直線m與直線BD也成α角，即直線m為所求作的直線，如圖(b)．由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角α∈. 當(dāng)α＝時，這樣的直線m有且只有一條，當(dāng)α≠時，這樣的直線m有兩條． 圖(b) B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(xx吉林一模)一個正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中 (　　)． A．AB∥CD B．AB與CD相交 C．AB⊥CD D．AB與CD所成的角為60 解析　如圖，把展開圖中的各正方形按圖(a)所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖(b)所示的直觀圖，可見選項A、B、C不正確．∴正確選項為D.圖(b)中，DE∥AB，∠CDE為AB與CD所成的角，△CDE為等邊三角形，∴∠CDE＝60. 答案　D 2.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是 (　　)． A．45 B．60 C．90 D．120 解析　如圖，連接AB1，易知AB1∥EF，連接B1C交BC1于點G，取AC的中點H，連接GH，則GH∥AB1∥EF.設(shè)AB＝BC＝AA1＝a，連接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故兩直線所成的角即為∠HGB＝60. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 3.如圖所示，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則 當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形，當(dāng)AC，BD滿足條件________________時，四邊形EFGH是正方形． 解析　易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，顯然四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EF＝EH，即AC＝BD；要使四邊形EFGH為正方形需滿足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD. 答案　AC＝BD　AC＝BD且AC⊥BD 4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條． 解析　法一　在EF上任意取一點M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點N，而直線MN與這3條異面直線都有交點．如圖所示． 法二　在A1D1上任取一點P，過點P與直線EF作一個平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交． 答案　無數(shù) 三、解答題(共25分) 5．(12分)如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長線交于M，RQ、DB的延長線交于N，RP、DC的延長線交于K，求證：M、N、K三點共線． 證明　∵M∈PQ，直線PQ?平面PQR，M∈BC，直線BC?面BCD，∴M是平面PQR與平面BCD的一個公共點，即M在面PQR與面BCD的交線l上． 同理可證：N、K也在l上．∴M、N、K三點共線． 6．(13分)在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60. (1)求四棱錐的體積； (2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值． 解　(1)在四棱錐P－ABCD中， ∵PO⊥面ABCD， ∴∠PBO是PB與面ABCD所成的角， 即∠PBO＝60，在Rt△POB中， ∵BO＝ABsin 30＝1， 又PO⊥OB，∴PO＝BOtan 60＝， ∵底面菱形的面積S菱形ABCD＝2. ∴四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝2＝2. (2)取AB的中點F，連接EF，DF， ∵E為PB中點，∴EF∥PA， ∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補角)．在Rt△AOB中， AO＝ABcos 30＝＝OP， ∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝. 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝， ∴cos∠DEF＝＝＝＝. 即異面直線DE與PA所成角的余弦值為. 特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.