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2019年高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 雙曲線的簡單性質學業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1 一、選擇題 1．等軸雙曲線的一個焦點是F1(－6,0)，則它的標準方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 【解析】　設等軸雙曲線方程為－＝1(a＞0)． ∴a2＋a2＝62，∴a2＝18. 故雙曲線方程為－＝1. 【答案】　B 2．若雙曲線x2＋ky2＝1的離心率是2，則實數k的值是(　　) A．－3 B． C．3 D．－ 【解析】　雙曲線x2＋ky2＝1可化為＋＝1，故離心率e＝＝2，解得k＝－. 【答案】　D 3．雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點的坐標為(0,2)，則雙曲線的標準方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 【解析】　由頂點在y軸上得該雙曲線焦點位于y軸，排除A、D，B項，a＝2，b＝2，c＝2，∴2a＋2b＝2c符合題意． 【答案】　B 4．雙曲線－＝1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，則r＝(　　) A. B．2 C．3 D．6 【解析】　雙曲線的漸近線方程為y＝x，圓心坐標為(3,0)，由點到直線的距離公式與漸近線與圓相切得，圓心到漸近線的距離為r，且r＝＝. 【答案】　A 5．雙曲線－＝1和橢圓＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的離心率互為倒數，那么以a、b、m為邊長的三角形是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 【解析】　雙曲線的離心率e1＝，橢圓的離心率e2＝，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形為直角三角形． 【答案】　B 二、填空題 6．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m＝________. 【解析】　∵2a＝2,2b＝2，∴ ＝2， ∴m＝－. 【答案】?。? 7．若雙曲線中心在原點，焦點在y軸，離心率e＝，則其漸近線方程為________． 【解析】　由于焦點在y軸，則漸近線方程為y＝x. 而e＝＝，則＝－1＝，＝， ∴漸近線方程為y＝x. 【答案】　y＝x 8．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作等邊△MF1F2.若雙曲線恰好平分三角形的另兩邊，則雙曲線的離心率為________． 【解析】　如圖，點N為MF2的中點，且在雙曲線上，利用雙曲線的定義即可求解． |F1N|＝c，|NF2|＝c. 又∵|NF1|－|NF2|＝2a， 即c－c＝2a.∴e＝＝＝＋1. 【答案】　＋1 三、解答題 9．求適合下列條件的雙曲線標準方程： (1)頂點間距離為6，漸近線方程為y＝x； (2)求與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程． 【解】　(1)設以y＝x為漸近線的雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)， 當λ>0時，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝； 當λ<0時，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1. ∴雙曲線的標準方程為－＝1和－＝1. (2)設與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)， 將點(2，－2)代入雙曲線方程， 得λ＝－(－2)2＝－2. ∴雙曲線的標準方程為－＝1. 10．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 【解】　橢圓D的兩個焦點為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5. 設雙曲線G的方程為－＝1(a＞0，b＞0)， ∴漸近線方程為bxay＝0，且a2＋b2＝25， 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3. ∴＝3，得a＝3，b＝4， ∴雙曲線G的方程為－＝1. [能力提升] 1．設a，b是關于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的兩個不等實根，則過A(a，a2)，B(b，b2)兩點的直線與雙曲線－＝1的公共點的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　由根與系數的關系，得a＋b＝－tan θ，ab＝0，則a，b中必有一個為0，另一個為－tan θ.不妨設A(0,0)，B(－tan θ，tan2 θ)，則直線AB的方程為y＝－xtan θ.根據雙曲線的標準方程，得雙曲線的漸近線方程為y＝xtan θ，顯然直線AB是雙曲線的一條漸近線，所以直線與雙曲線沒有公共點． 【答案】　A 2．設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(　　) A.　　B.　　C.　　D. 【解析】　設雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，而kBF＝－， ∴＝－1，整理得b2＝ac. ∴c2－a2－ac＝0，兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0， 解得e＝或e＝(舍去)，故選D. 【答案】　D 3．設雙曲線－＝1的右頂點為A，右焦點為F.過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB面積為________. 【解析】　A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，取過F平行于漸近線y＝x的直線，則方程為y＝(x－5)． 由得B. ∴△AFB的面積S＝(5－3)＝. 【答案】　 4．已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過右焦點F2，且傾斜角為45，與雙曲線交于A、B兩點，試問A、B兩點是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長． 【解】　雙曲線方程可化為－＝1， c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2. ∴F2(2,0)，又l的斜率為1. ∴直線l的方程為y＝x－2， 代入雙曲線方程，得2x2＋4x－7＝0. 設A(x1，y1)、B(x2，y2)， ∵x1x2＝－<0， ∴A、B兩點不位于雙曲線的同一支上． ∵x1＋x2＝－2，x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝6.