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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題10.4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題（含解析） 【三年高考】 1. 【xx江蘇高考，18】（本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于 點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程. 【答案】（1）（2）或． 【解析】 試題解析：（1）由題意，得且， 解得，，則， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）當(dāng)軸時，，又，不合題意． 當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，，， 將的方程代入橢圓方程，得， 則，的坐標(biāo)為，且 ． 若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意． 從而，故直線的方程為， 則點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而． 因?yàn)?，所以，解得? 此時直線方程為或． 【考點(diǎn)定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系 2．【xx江蘇，理17】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連接. （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程； （2）若，求橢圓離心率的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般要找到關(guān)系的兩個等量關(guān)系，本題中橢圓過點(diǎn)，可把點(diǎn)的坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程，得到一個關(guān)于的方程，另外，這樣兩個等量關(guān)系找到了；（2）要求離心率，就是要列出關(guān)于的一個等式，題設(shè)條件是，即，，要求，必須求得的坐標(biāo)，由已知寫出方程，與橢圓方程聯(lián)立可解得點(diǎn)坐標(biāo)，則，由此可得，代入可得關(guān)于的等式，再由可得的方程，可求得. 試題解析：（1）由題意，，，，又，∴，解得．∴橢圓方程為． （2）直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，又，由得，即，∴，化簡得． 3. 【xx課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。 (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。 【答案】(1) 。 (2)證明略。 【解析】 （2）由題意知。設(shè),則 ， 。 由得，又由（1）知，故 。 所以，即。又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F。 【考點(diǎn)】 軌跡方程的求解；直線過定點(diǎn)問題。 【名師點(diǎn)睛】求軌跡方程的常用方法有： (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0。 (2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程。 (3)定義法：先根據(jù)條件得出動點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程。 (4)代入(相關(guān)點(diǎn))法：動點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而運(yùn)動，常利用代入法求動點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程?！? 4.【xx山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）如圖，動直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率. 【答案】（I）. （Ⅱ）的最大值為，取得最大值時直線的斜率為. （Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程 得，由題意知，且， 所以 . 由題意可知圓的半徑為 由題設(shè)知，所以因此直線的方程為. 聯(lián)立方程得，因此 . 【考點(diǎn)】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等. 5. 【xx課標(biāo)3，文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時，解答下列問題： （1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； （2）證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值. 【答案】（1）不會；（2）詳見解析 【解析】試題分析：（1）設(shè)，由AC⊥BC得；由韋達(dá)定理得，矛盾，所以不存在（2）可設(shè)圓方程為,因?yàn)檫^，所以 ，令 得，即弦長為3. 令得，所以過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為，所以 所以過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值 解法2：設(shè)過A，B，C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個交點(diǎn)為D， 由可知原點(diǎn)O在圓內(nèi)，由相交弦定理可得， 又，所以， 所以過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為，為定值. 【考點(diǎn)】圓一般方程，圓弦長 【名師點(diǎn)睛】：直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略 (1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式： (2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題． 6. 【xx天津，文20】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為. （I）求橢圓的離心率； （II）設(shè)點(diǎn)在線段上，，延長線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為. （i）求直線的斜率； （ii）求橢圓的方程. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（?。?（ⅱ） 【解析】 試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得.又由，可得，即.又因?yàn)?，解? 所以，橢圓的離心率為. （Ⅱ）（?。┮李}意，設(shè)直線FP的方程為，則直線FP的斜率為. 由（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為. 【考點(diǎn)】1.橢圓方程；2.橢圓的幾何性質(zhì)；3.直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題重點(diǎn)考察了計算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓離心率是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，一般都是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題，但本題需求解交點(diǎn)坐標(biāo)，再求解過程逐步發(fā)現(xiàn)四邊形的幾何關(guān)系，從而求解面積，計算結(jié)果，本題計算量比較大. 7. 【xx北京，文19】已知橢圓C的兩個頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）詳見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)條件可知，以及 ，求得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)，則，根據(jù)條件求直線的方程，并且表示直線的方程，并求兩條直線的交點(diǎn)，根據(jù) ，根據(jù)坐標(biāo)表示面積比值. 試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為. 由題意得解得. 所以. 所以橢圓的方程為. 由點(diǎn)在橢圓上，得. 所以. 又， ， 所以與的面積之比為. 【考點(diǎn)】1.橢圓方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】本題對考生計算能力要求較高，重點(diǎn)考察了計算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力，解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，一般都是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解題，但本題需求解交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)面積的幾何關(guān)系，從而求解面積比值，計算結(jié)果，本題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等. 8. 【xx浙江，21】（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，，拋物線上的點(diǎn)．過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q． （Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）由兩點(diǎn)求斜率公式可得AP的斜率為，由，得AP斜率的取值范圍；（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程，得Q的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)與的長度，通過函數(shù)求解的最大值． 解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，因?yàn)閨PA|== |PQ|= ，所以|PA||PQ|= 令，因?yàn)椋?f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時，取得最大值． 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力，通過表達(dá)與的長度，通過函數(shù)求解的最大值． 9．【xx高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. （I）證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程； （II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）（）（II） 【解析】 試題分析：根據(jù)可知軌跡為橢圓,利用橢圓定義求方程；（II）分斜率是否存在設(shè)出直線方程,當(dāng)直線斜率存在時設(shè)其方程為,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式把面積表示為x斜率k的函數(shù),再求最值. 試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?,故, 所以,故. 又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,從而,所以. 由題設(shè)得,,,由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為： （）. （Ⅱ）當(dāng)與軸不垂直時,設(shè)的方程為,,. 由得. 則,. 所以. 過點(diǎn)且與垂直的直線：,到的距離為,所以 .故四邊形的面積 . 可得當(dāng)與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為. 當(dāng)與軸垂直時,其方程為,,,四邊形的面積為12. 綜上,四邊形面積的取值范圍為. 考點(diǎn)：圓錐曲線綜合問題 【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成, .其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用. 10．【xx高考山東理數(shù)】（本小題滿分14分） 平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個頂點(diǎn). （I）求橢圓C的方程； （II）設(shè)P是E上的動點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M. （i）求證：點(diǎn)M在定直線上; （ii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求 的最大值及取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo). 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）見解析；（ii）的最大值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；（Ⅱ）（i）由點(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；（ii）分別列出，面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時點(diǎn)P的坐標(biāo). 試題解析： （Ⅰ）由題意知，可得：. 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以， 所以橢圓C的方程為. （Ⅱ）（i）設(shè)，由可得， 所以直線的斜率為， 因此直線的方程為，即. 設(shè)，聯(lián)立方程 得， 由，得且， 因此, 將其代入得， 因?yàn)?，所以直線方程為. 聯(lián)立方程，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 即點(diǎn)在定直線上. （ii）由（i）知直線方程為， 令得，所以， 又， 所以， ， 所以， 令，則， 當(dāng)，即時，取得最大值，此時，滿足， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此的最大值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為. 考點(diǎn)：1.橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3. 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等. 11．【xx高考北京文數(shù)】已知橢圓C：過點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn). （I）求橢圓C的方程及離心率； （Ⅱ）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知a,b的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（Ⅱ）四邊形的面積等于對角線乘積的一半，分別求出對角線的值求乘積為定值即可. 試題解析：（I）由題意得，，． 所以橢圓的方程為． 又， 所以離心率． （II）設(shè)（，），則． 又，，所以， 直線的方程為． 令，得，從而． 直線的方程為． 令，得，從而． 所以四邊形的面積 ． 從而四邊形的面積為定值． 考點(diǎn)：橢圓方程，直線和橢圓的關(guān)系，運(yùn)算求解能力. 【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡化運(yùn)算. 12.【xx高考江蘇卷】（本小題滿分10分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線，拋物線 （1）若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程； （2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)P和Q. ①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為； ②求p的取值范圍. 【答案】（1）（2）①詳見解析，② 【解析】 試題分析：（1）先確定拋物線焦點(diǎn)，再將點(diǎn)代入直線方程（2）①利用拋物線點(diǎn)之間關(guān)系進(jìn)行化簡，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求證，②利用直線與拋物線位置關(guān)系確定數(shù)量關(guān)系：，解出p的取值范圍. 試題解析：解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為 由點(diǎn)在直線上，得，即 所以拋物線C的方程為 （2）設(shè)，線段PQ的中點(diǎn) 因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線對稱，所以直線垂直平分線段PQ, 于是直線PQ的斜率為，則可設(shè)其方程為 ①由消去得 因?yàn)镻 和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以 從而，化簡得. 方程（*）的兩根為，從而 因?yàn)樵谥本€上，所以 因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ②因?yàn)樵谥本€上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范圍為 考點(diǎn)：直線與拋物線位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】在利用代數(shù)法解決范圍問題時常從以下五個方面考慮： (1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 13.【xx高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分） 設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化簡條件：，即M再OA中垂線上，，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系解出直線斜率.取值范圍 試題解析：（1）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為. （2）（Ⅱ）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得. 解得，或，由題意得，從而. 由（Ⅰ）知，，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為. 設(shè)，由方程組消去，解得.在中，，即，化簡得，即，解得或. 所以，直線的斜率的取值范圍為. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程 【名師點(diǎn)睛】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮： (1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 14.【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)． （I）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明； （II）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程. 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）設(shè)出與軸垂直的兩條直線，然后得出的坐標(biāo)，然后通過證明直線與直線的斜率相等即可證明結(jié)果了；（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積可求得，設(shè)出的中點(diǎn)，根據(jù)與軸是否垂直分兩種情況結(jié)合求解． 試題解析：由題設(shè).設(shè)，則，且 . 記過兩點(diǎn)的直線為，則的方程為. .....3分 （Ⅰ）由于在線段上，故. 記的斜率為，的斜率為，則， 所以. ......5分 （Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為， 則. 由題設(shè)可得，所以（舍去），. 設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為. 當(dāng)與軸不垂直時，由可得. 而，所以. 當(dāng)與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為. ....12分 考點(diǎn)：1、拋物線定義與幾何性質(zhì)；2、直線與拋物線位置關(guān)系；3、軌跡求法． 【方法歸納】（1）解析幾何中平行問題的證明主要是通過證明兩條直線的斜率相等或轉(zhuǎn)化為利用向量證明；（2）求軌跡的方法在高考中最?？嫉氖侵苯臃ㄅc代入法（相關(guān)點(diǎn)法），利用代入法求解時必須找準(zhǔn)主動點(diǎn)與從動點(diǎn)． 15.【xx高考浙江理數(shù)】（本題滿分15分）如圖，設(shè)橢圓（a＞1）. （I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）； （II）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值 范圍. 【答案】（I）；（II）． 【解析】 試題分析：（I）先聯(lián)立和，可得，，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（II）先假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個，再利用對稱性及已知條件可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個公共點(diǎn)時，的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍． 試題解析：（I）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得 ， 故 ，． 因此 ． （II）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個，由對稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點(diǎn)，，滿足 ． 記直線，的斜率分別為，，且，，． 由（I）知， ，， 故 ， 所以． 由于，，得 ， 因此 ， ① 因?yàn)棰偈疥P(guān)于，的方程有解的充要條件是 ，所以． 因此，任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個公共點(diǎn)的充要條件為 ， 由得，所求離心率的取值范圍為． 考點(diǎn)：1、弦長；2、圓與橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的離心率． 【思路點(diǎn)睛】（I）先聯(lián)立和，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（II）利用對稱性及已知條件可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個公共點(diǎn)時，的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍． 16．【xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，． （Ⅰ）當(dāng)時，求的面積； （Ⅱ）當(dāng)時，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先求直線的方程，再求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后求的面積；（Ⅱ）設(shè)，，將直線的方程與橢圓方程組成方程組，消去，用表示，從而表示，同理用表示，再由求. 試題解析：（I）設(shè)，則由題意知，當(dāng)時，的方程為，. 由已知及橢圓的對稱性知，直線的傾斜角為.因此直線的方程為. 將代入得.解得或，所以. 因此的面積. （II）由題意，，. 將直線的方程代入得. 由得，故. 由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得， 由得，即. 當(dāng)時上式不成立， 因此.等價于， 即.由此得，或，解得. 因此的取值范圍是. 考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】由直線(系)和圓錐曲線(系)的位置關(guān)系，求直線或圓錐曲線中某個參數(shù)(系數(shù))的范圍問題，常把所求參數(shù)作為函數(shù)，另一個元作為自變量求解． 17【xx年高考北京理數(shù)】（本小題14分） 已知橢圓C： （）的離心率為 ，，，，的面積為1. （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)M，直線PB與軸交于點(diǎn)N. 求證：為定值. 【答案】（1）；（2）詳見解析. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)離心率為，即，的面積為1，即，橢圓中列方程求解；（2）根據(jù)已知條件分別求出，的值，求其乘積為定值. 試題解析：（1）由題意得解得. 所以橢圓的方程為. （2）由（Ⅰ）知，， 設(shè)，則. 當(dāng)時，直線的方程為. 令，得.從而. 直線的方程為. 令，得.從而. 所以 . 當(dāng)時，， 所以. 綜上，為定值. 考點(diǎn)：1.橢圓方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡化運(yùn)算. 18．【xx年高考四川理數(shù)】（本小題滿分13分） 已知橢圓E：的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角三角形的三個頂點(diǎn)，直線與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)T. （Ⅰ）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)； （Ⅱ）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l’平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)，使得，并求的值. 【答案】（Ⅰ），點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）；（Ⅱ）. 【解析】 試題解析：（I）由已知，，即，所以，則橢圓E的方程為. 由方程組 得.① 方程①的判別式為，由，得， 此方程①的解為， 所以橢圓E的方程為. 點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）. （II）由已知可設(shè)直線 的方程為， 有方程組 可得 所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ），. 設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為 . 由方程組 可得.② 方程②的判別式為，由，解得. 由②得. 所以 ， 同理， 所以 . 故存在常數(shù)，使得. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想.在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點(diǎn)問題時，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，同時把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得，再把用表示出來，并代入剛才的，這種方法是解析幾何中的“設(shè)而不求”法．可減少計算量，簡化解題過程． 19．【xx高考上海理數(shù)】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn)。 （1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程； （2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率. 【答案】（1）．（2）. 【解析】 試題分析：（1）設(shè)．根據(jù)是等邊三角形，得到，解得． （2）（2）設(shè)，，直線與雙曲線方程聯(lián)立，得到一元二次方程，根據(jù)與雙曲線交于兩點(diǎn)，可得，且． 設(shè)的中點(diǎn)為．由，計算，從而． 得出的方程求解． 試題解析：（1）設(shè)． 由題意，，，， 因?yàn)槭堑冗吶切危裕? 即，解得． 故雙曲線的漸近線方程為． （2）由已知，，． 設(shè)，，直線．顯然． 由，得． 因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，且． 設(shè)的中點(diǎn)為． 由即，知，故． 而，，， 所以，得，故的斜率為． 考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線與雙曲線的位置關(guān)系；3.平面向量的數(shù)量積. 【名師點(diǎn)睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定雙曲線（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與雙曲線（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法---如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等. 20. 【xx高考陜西，文20】如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為. (I)求橢圓的方程； (II)經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），證明：直線與的斜率之和為2. 【解析】 (I)由題意知，綜合，解得，所以，橢圓的方程為. 【xx年高考命題預(yù)測】 縱觀xx各地高考試題，由定義法求曲線的方程、由已知條件直接求曲線的方程、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為中檔題或難題，主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的知識點(diǎn)多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，是高考中區(qū)分度較大的題目.xx年求曲線的方程和研究曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等仍是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為仍中檔題或難題，仍主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系仍是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的知識點(diǎn)仍然較多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，仍是高考中區(qū)分度較大的題目，在備考時，熟練掌握求曲線方程的常用方法，掌握直線與圓錐曲線問題的常見題型與解法，加大練習(xí)力度，提高運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識分析解決問題能力，要特別關(guān)注與向量、導(dǎo)數(shù)等知識的結(jié)合，關(guān)注函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用． 【xx年高考考點(diǎn)定位】 高考對圓錐曲線綜合問題的考查有三種主要形式：一是考查求曲線方程；二是考查圓錐曲線間的知識運(yùn)用；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，這是高考中考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，主要涉及的題型為中點(diǎn)弦問題、最值與取值范圍問題、定點(diǎn)與定值問題、探索性問題，從涉及的知識上講，常與平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識相聯(lián)系，考查知識點(diǎn)多，運(yùn)算量大，能力要求高，難度大是這種題型的一大特征. 【考點(diǎn)1】求軌跡方程 【備考知識梳理】 1．曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．那么，這個方程叫做這條曲線的方程；這條曲線叫做這個方程的曲線. 2．直接法求動點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系． (2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)． (3)列式——列出動點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式． (4)代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡． (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程． 【規(guī)律方法技巧】 1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類，一類是已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)——待定系數(shù)法；另一類是不知曲線類型常用的方法有： (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)＝0； (2)定義法：先根據(jù)條件得出動點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程； (3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； (4)參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點(diǎn)可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程． 2. 求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1.A和B是拋物線上除去原點(diǎn)以外的兩個動點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)且滿足，，則動點(diǎn)的軌跡方程為_______________. 【答案】 【解析】設(shè)，，，則，①，，②，當(dāng)直線垂直于x軸時，，當(dāng)直線的斜率存在時，由題意可知斜率k不會為0，設(shè)， 聯(lián)立，得，∴，，，∵，∴，即，③， ∵，即，④，又∵點(diǎn)M滿足，⑤，由③④⑤得：， 而滿足上式，∴點(diǎn)M的軌跡方程為：． 2.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，動點(diǎn)滿足:直線與直線的斜率之積為． （1）求動點(diǎn)的軌跡方程； （2）設(shè)為動點(diǎn)的軌跡的左右頂點(diǎn)，為直線上的一動點(diǎn)（點(diǎn)不在x軸上），連[交的軌跡于點(diǎn)，連并延長交的軌跡于點(diǎn)，試問直線是否過定點(diǎn)？若成立，請求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不成立，請說明理由． 【解析】（1）已知，設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)，所以直線的斜率，直線的斜率（），又，所以，即． （2）設(shè)，又，則，故直線的方程為：，代入橢圓方程并整理得：.由韋達(dá)定理：即，，同理可解得： 故直線的方程為，即，故直線恒過定點(diǎn)． 【考點(diǎn)2】圓錐曲線間的綜合 【備考知識梳理】 1.要熟記橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 2.要熟練掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 3.要熟練掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 【規(guī)律方法技巧】 1. 解圓錐曲線間的綜合問題時，要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)不同曲線間基本量的轉(zhuǎn)化. 2.熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1.已知橢圓（）與雙曲線（，）有相同的焦點(diǎn)和，若是、的等比中項(xiàng)，是與的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率是_______________. 【答案】 【解析】根據(jù)題意，橢圓（）與雙曲線（，）有相同的焦點(diǎn)和，所以有又是、的等比中項(xiàng)，所以 是與的等差中項(xiàng)，所以由（1），（3）得代入（1）得代入（2）得：則橢圓的離心率是 2.已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則 ． 【答案】4 【解析】設(shè)，，則，又，所以，，即，，因此 【考點(diǎn)3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合問題 【備考知識梳理】 1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程. (1) 若≠0，當(dāng)△＞0時，直線與圓錐曲線有兩個交點(diǎn). 當(dāng)△=0時，直線與圓錐曲線有且只有一個公共點(diǎn)，此時直線與雙曲線相切. 當(dāng)△＜0時，直線與圓錐曲線無公共點(diǎn). （2）當(dāng)=0時，若圓錐曲線為雙曲線，則直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)，此時直線與雙曲線的漸近線平行；若圓錐曲線為拋物線，則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，此時直線與拋物線的對稱軸平行. （3）設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)A（，），B（，），則，. 2. 直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 【規(guī)律方法技巧】 1.在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，常用設(shè)而不求法，即常將圓錐曲線與直線聯(lián)立，消去（或）化為關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，則交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)即為上述一元二次方程的解，利用根與系數(shù)關(guān)系，將，表示出來，注意判別式大于零不能丟，然后根據(jù)問題，再通過配湊將其化為關(guān)于與的式子，將，代入再用有關(guān)方法取處理，注意用向量法處理共線問題、垂直問題及平行問題. 2.再處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題時，首先確定直線的斜率，若不能確定，則需要分成直線斜率存在與不存在兩種情況討論，也可以將直線方程設(shè)為，避免分類討論. 3.定點(diǎn)與定值問題處理方法有兩種： （1）從特殊入手，求出定點(diǎn)（定值），再證明這個定點(diǎn)（定值）與變量無關(guān). (2)直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）. 4.最值問題常見解法有兩種： （1）幾何法：若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來解決，如三角不等式、圓錐曲線的定義等. (2)代數(shù)法：利用相關(guān)知識和方法結(jié)合題中的條件，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)、不等式或?qū)?shù)知識求出這個函數(shù)的最值. 5.參數(shù)范圍問題常見解法有兩種： （1）不等式法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)滿足的不等式（組），通過解不等式（組）解出參數(shù)的范圍，注意判別式大于0不能遺漏. (2)函數(shù)最值法：利用題中條件和相關(guān)知識，將所討論參數(shù)表示為某個變量的函數(shù)，通過討論這個函數(shù)的值域求出該參數(shù)的范圍. 6.對探索性問題，先假設(shè)存在，依此為基礎(chǔ)推理，若推出矛盾，則不存在，求出值，則存在. 7. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法. 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1.直線l：x－y＝0與橢圓＋y2＝1相交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為_____． 【答案】 2.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）點(diǎn)在拋物線C上，是否存在直線與C交于點(diǎn)，使得△ 是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出直線的方程；若不存在說明理由． 【解析】（Ⅰ）設(shè)，代入，得．由題設(shè)得，解得（舍去）或，∴C的方程為． （Ⅱ）由知，點(diǎn)，假設(shè)存在滿足條件的直線，設(shè)，聯(lián)立方程組得， 由題意得，，代入得，解得（舍）或，． 【兩年模擬詳解析】 1.【xx學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（一）】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦距為，離心率為 ，橢圓的右頂點(diǎn)為. （1）求該橢圓的方程； （2）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩個不同點(diǎn)，求證：直線的斜 率之積為定值. 解：（1）由題所以，. ……2分 所以橢圓C的方程為 ……4分 （2）當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，不合題意； ……5分 當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為，……6分 代入 得， ……8分 設(shè)，，則： ，，， ……9分 所以，， ……11分 又 =1. 所以直線AP，AQ的斜率之和為定值1. ……16分 2.【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷01（江蘇卷）】（本小題滿分16分）已知過點(diǎn)且離心率為的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)點(diǎn)是橢圓的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，記橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，上下兩個頂點(diǎn)分別為.當(dāng)線段的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）依題意，設(shè)橢圓的方程為（）,焦距為， 由題設(shè)條件知，，即，所以，由橢圓過點(diǎn)，則有，解得，，故橢圓的方程為．7分 （2）橢圓的左準(zhǔn)線方程為,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,0）， 顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為． 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段的 中點(diǎn)為， 由 得 ， ① 9分 由， 解得 ， ② 11分 因?yàn)槭欠匠挞俚膬筛?，所以? 于是， 12分 ∵，所以點(diǎn)不可能在軸的右邊． 又直線方程分別為， 所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 ，即 14分 解得，此時②也成立．故直線斜率的取值范圍是． 16分 3.【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷02（江蘇卷）】（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長為. （Ⅰ）求圓的方程； （Ⅱ）若直線與圓切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，當(dāng)長最小時，求直線的方程； （Ⅲ）設(shè)是圓上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，若直線分別交軸于點(diǎn)和，問是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由. 【解析】（Ⅰ）圓心到直線的距離，----------（2分） 又半弦長為，則該圓的半徑，所以圓的方程為；------（4分） （Ⅱ）設(shè)直線，即，--------------（5分） 則，由題設(shè)可得，即，---------（6分） 又因，故，即，------------（7分） 故（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），此時所求直線的方程為.------（8分） （Ⅱ）設(shè)，由題意，則，直線，----------------（10分） 令，解之得，∴；------（12分） 又因?yàn)閯t，直線，--------------（13分） 令可得，∴------（14分） ，--------------（15分） 由于，故，∴為定值2.-----（16分） 4.【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷03（江蘇卷）】（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足，若橢圓的離心率． （Ⅰ）設(shè)，直線的斜率為，求橢圓的長軸長（用表示）； （Ⅱ）設(shè)，記的面積，求的解析表達(dá)式及其最大值，并求取得最大值時橢圓的方程． 【解析】（Ⅰ）設(shè)（），則，故橢圓方程，將直線代入并整理可得，------------（2分） 則由根與系數(shù)的關(guān)系可得；-------------------（3分） 設(shè)直線與橢圓的兩個交點(diǎn)，則，故由題設(shè)可得，即，代入可得，代入可得，-----------（6分）則，則長軸長；---------（8分） (Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓的兩個交點(diǎn)，由(Ⅰ)知，則弦，---（11分） 將代入可得，又坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，-------------------（13分） 則． 因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，-------（15分） 將代入可得，即，此時橢圓方程為．------------------------------（16分） 5.【南京市、鹽城市xx屆高三年級第二次模擬】（本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：＋＝1經(jīng)過點(diǎn)(b，2e)，其中e為橢圓C的離心率．過點(diǎn)T(1，0)作斜率為k(k＞0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)(A在x軸下方)． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過點(diǎn)O且平行于l的直線交橢圓C于點(diǎn)M，N，求 的值； （3）記直線l與y軸的交點(diǎn)為P．若＝，求直線l的斜率k． 解：（1）因?yàn)闄E圓 ＋＝1經(jīng)過點(diǎn)(b，2e)，所以＋＝1． 因?yàn)閑2＝＝，所以＋＝1． 因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以 ＋＝1． …………………… 2分 整理得 b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍) ． 所以橢圓C的方程為＋＝1． …………………… 4分 （2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因?yàn)門(1，0)，則直線l的方程為y＝k(x－1)． 聯(lián)立直線l與橢圓方程 消去y，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0， 所以 ……………… 6分 因?yàn)镸N∥l，所以直線MN方程為y＝kx， 聯(lián)立直線MN與橢圓方程 消去y得 (2k2＋1)x2＝8，解得x2＝． 因?yàn)镸N∥l，所以 ＝． …………………… 8分 因?yàn)?(1－x1)(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝ ， (xM－xN)2＝4x2＝， 所以 ＝＝＝． ………………… 10分 （3）在y＝k(x－1)中，令x＝0，則y＝－k，所以P(0，－k)， 從而 ＝(－x1,－k－y1)， ＝(x2－1，y2)． 因?yàn)?＝，所以－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝．…………………… 12分 由(2)知， 由解得 x1＝，x2＝． ……………… 14分 因?yàn)閤1x2＝， 所以 ＝， 整理得 50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2或k2＝－ (舍) ． 又因?yàn)閗＞0，所以k＝． …………………… 16分 6.【xx南通揚(yáng)州泰州蘇北四市高三二?！浚ū拘☆}滿分14分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，C為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)． （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求a，b的值； （2）設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，B為橢圓上一點(diǎn)，且，求直線AB的斜率． 解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為， 所以，即．① 又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上， 所以． ② …… 3分 由①②解得． 因?yàn)椋裕? …… 5分 （2）法一：由①知，，所以橢圓方程為，即． 設(shè)直線OC的方程為，，． 由得， 所以．因?yàn)?，所以? …… 8分 因?yàn)?，所以．可設(shè)直線的方程為． 由得， 所以或，得． …… 11分 因?yàn)?，所以，于是? 即，所以． 所以直線AB的斜率為． …… 14分 7.【xx南通揚(yáng)州泰州蘇北四市高三二?！浚ū拘☆}滿分16分） 一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊．已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截 成功；（參考數(shù)據(jù)：，） （2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說明理由． 解：（1）設(shè)緝私艇在處與走私船相遇（如圖甲）， 依題意，． …… 2分 在△中，由正弦定理得， ． 因?yàn)?，所以? 從而緝私艇應(yīng)向北偏東方向追擊． …… 5分 A B C 圖甲 在△中，由余弦定理得， ， 解得． 又B到邊界線l的距離為． 因?yàn)?，所以能在領(lǐng)海上成功攔截走私船． …… 8分 （2）如圖乙，以為原點(diǎn)，正北方向所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系． y 公海 領(lǐng)海 A B 圖乙 60 l x 則，設(shè)緝私艇在處（緝私艇恰好截住走私船的位置）與走私 船相遇，則，即． 整理得，， …… 12分 所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心， 為半徑的圓． 因?yàn)閳A心到領(lǐng)海邊界線：的距離為1.55，大于圓半徑， 所以緝私艇能在領(lǐng)海內(nèi)截住走私船． …… 14分 答：（1）緝私艇應(yīng)向北偏東方向追擊； （2）緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截走私船． …… 16分 8.【蘇北四市xx學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末調(diào)研】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓上位于軸上方的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn) ，過點(diǎn)作的垂線，交軸于點(diǎn)． （ⅰ）當(dāng)直線的斜率為時，求的外接圓的方程； （ⅱ）設(shè)直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積的最大值． 【解析】（1）由題意，得 解得 則， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． ………………………………………4分 （2）由題可設(shè)直線的方程為，，則， 所以直線的方程為，則． (i)當(dāng)直線的斜率為，即時，，，， 因?yàn)?，所以圓心為，半徑為， 所以的外接圓的方程為．……………………………8分 (ii)聯(lián)立 消去并整理得，， 解得或，所以，……………………10分 直線的方程為，同理可得，， 所以，關(guān)于原點(diǎn)對稱，即過原點(diǎn)． 所以的面積，……14分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“”． 所以的面積的最大值為．…………………………………………16分 9.【揚(yáng)州市xx學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測】（本小題滿分16分） 如圖，橢圓，圓，過橢圓的上頂點(diǎn)的直線:分別交圓、橢圓于不同的兩點(diǎn)、，設(shè)． （1）若點(diǎn)點(diǎn)求橢圓的方程； （2）若，求橢圓的離心率的取值范圍． 【解析】（1）由在圓上得 又點(diǎn)在橢圓上得 解得 橢圓的方程是 --------------------------------------5分 （2）由得或 --------------------------------------7分 由得或 --------------------------------------9分 ，，， 即 ，即，又 --------------------------------------16分 10.【南通市、泰州市xx屆高三第一次調(diào)研測試】（本題滿分14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若P為橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OP的垂線交直線 于點(diǎn)Q，求的值； 【解析】解：（1）由題意得：，………………2分 解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；……4分 （2）由題意知OP的斜率存在， 當(dāng)OP的斜率為0時，，所以=1，……6分 當(dāng)OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP的方程為， 由得：，解得：，所以， 所以，…………………………………………………………9分 因?yàn)?，所以直線OQ的方程為， 由得：，所以，……………………12分 所以=， 綜上，可知=1.………………………………………………14分 11. 【淮安、宿遷、連云港、徐州蘇北四市xx屆高三第二次調(diào)研】拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為 ． 【答案】 【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，雙曲線漸近線為，所求距離為． 12. 【江蘇省清江中學(xué)xx屆數(shù)學(xué)模擬試卷】已知雙曲線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，則 . 【答案】 【解析】雙曲線中，，其準(zhǔn)線為，所以，． 13.【江蘇省如東高級中學(xué)xx屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題】若直線與橢圓交于點(diǎn)C,D,點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為，且，則________ 【答案】 14．【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)xx屆高三4月質(zhì)量監(jiān)測】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)C在雙曲線的右支上，則的值是