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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 常用邏輯用語(yǔ)（文） 人教實(shí)驗(yàn)A版 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 常用邏輯用語(yǔ) 二. 重點(diǎn)難點(diǎn)： 1. 四種命題 2. 充要條件 （1）且P，P是的充分不必要條件 （2）且，P是的必要不充分條件 （3）且，P是的充要條件 （4）且P，P是的既不充分也不必要條件 3. 邏輯聯(lián)結(jié)詞 P 真 假 真 真 真 假 真 假 P 真 假 真 真 假 假 假 假 P 真 假 P 假 真 【典型例題】 [例1] 對(duì)于命題“正方形的四個(gè)內(nèi)角相等”，下面判斷正確的是（ ） A. 所給命題為假 B. 它的逆否命題為真 C. 它的逆命題為真 D. 它的否命題為真 解：改寫(xiě)成“若P則Q”的形式；若一個(gè)四邊形是正方形則其四個(gè)內(nèi)角相等。則有原命題為真；逆否命題為真。 逆命題：四個(gè)內(nèi)角相等的四邊形為正方形，為假命題。 否命題：一個(gè)四邊形不是正方形則四個(gè)內(nèi)角不相等，為假命題。 解答：選B。 [例2] 命題“若，則與成反比例關(guān)系”的否命題是（ ） A. 若，則與成正比例關(guān)系 B. 若，則與成反比例關(guān)系 C. 若與不成反比例關(guān)系，則 D. 若，則與不成反比例關(guān)系 解答：選D。 [例3] 下列命題中，否命題為假命題的是（ ） A. 若同位角相等，則兩直線平行 B. 若全為0，則且 C. 若，則方程有實(shí)根 D. 若，則 解答：選C。 [例4] 已知原命題“若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形面積相等”，那么它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè) 解答：B [例5] 寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假。 （1）兩條平行線不相交 （2）兩條對(duì)角線不相等的平行四邊形不是矩形 （3）若，則 解：（1）逆命題：若兩條直線不相交，則它們平行，為真命題。否命題：若兩條直線不平行，則它們相交，為真命題。逆否命題：若兩條直線相交，則它們不平行，為真命題。 （2）逆命題：若平行四邊形不是矩形，則它的兩條對(duì)角線不相等，為真命題 否命題：若平行四邊形兩條對(duì)角線相等，則它是矩形，為真命題。 逆否命題：若平行四邊形為矩形，則它的兩條對(duì)角線相等，為真命題。 （3）逆命題：若，則，為假命題。 否命題：若，則，為假命題。 逆否命題：若，則，為真命題。 [例6] 已知下列三個(gè)方程：，，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解：先求使三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根的實(shí)數(shù)的取值范圍。 由 得 解得： ∴ 所求實(shí)數(shù)的取值范圍是：或 [例7] 已知：是方程的兩根，：，則是的（ ） A. 充分但不必要條件 B. 必要但不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 解：∵ 是方程的兩根 ∴ 的值分別為 ∴ 說(shuō)明 但事實(shí)上只要取作為反例即可說(shuō)明這一點(diǎn)，因此選A。 [例8] 設(shè)命題甲為：，命題乙為，那么甲是乙的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 解：解不等式得 ∵ ，但 ∴ 甲是乙的充分不必要條件，選A。 [例9] 若A是B成立的充分條件，D是C成立的必要條件，C是B成立的充要條件，則D是A成立的（ ） A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 解：∵ A是B的充分條件 ∴ ① ∵ D是C成立的必要條件 ∴ ② ∵ C是B成立的充要條件 ∴ ③ 由①③得 ④ 由②④得 ∴ D是A成立的必要條件，選B [例10] 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，試分析且是兩根均大于1的什么條件？ 解：根據(jù)韋達(dá)定理得： 判定條件是 結(jié)論是 （還要注意條件中，需滿足的大前提） （1）由，得 ∴ （2）為了證明，可以舉出反例：取 它滿足，，但不成立 上述討論可知：是的必要但不充分條件 [例11] 分別指出下列各命題的形式及構(gòu)成它的簡(jiǎn)單命題，并指出復(fù)合命題的真假。 （1）8或6是30的約數(shù)； （2）矩形的對(duì)角線垂直平分； （3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。 分析：分清形式結(jié)構(gòu)，判斷簡(jiǎn)單命題真假，利用真值表再判斷原復(fù)合命題真假。 解：（1）或；：8是30的約數(shù)（假），：6是30的約數(shù)（真）“或”為真。 （2）且；：矩形的對(duì)角線互相垂直（假），：矩形的對(duì)角線互相平分（真）“且”為假。 （3）非：有實(shí)根（假） 非為真 [例12] 下列真命題的個(gè)數(shù)（ ） （1）是無(wú)理數(shù)}，是有理數(shù) （2） （3） （4） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：D [例13] 下列全稱命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） （1）所有的素?cái)?shù)是奇數(shù) （2） （3）有的無(wú)理數(shù)的平方是無(wú)理數(shù) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 答案：C [例14] 下列特稱命題中假命題的個(gè)數(shù)是（ ） （1），使 （2）存在兩條相交直線垂直于同一個(gè)平面 （3） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 答案：C [例15] 下列全稱命題的否命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（ ） （1）所有能被3整除的數(shù)能被6整除 （2）所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù) （3），的個(gè)位數(shù)不是2 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 答案：B [例16] 命題：的否定是 。 答案： 命題：的否定是 。 答案： [例17]“”是“”的（ ） A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 解：在這里“”是條件 而 所以， 但 因此“”是“”故選B。 [例18] 命題：“方程有兩負(fù)根”命題：“函數(shù)在”若為真，為假，求取值范圍。 解：真： 真： 為真，為假 ∴ 、一真一假 真假 假真 【模擬試題】（答題時(shí)間：50分鐘） 1. 對(duì)以下四個(gè)命題判斷正確的是（ ） （1）原命題：若一個(gè)自然數(shù)的末位數(shù)字為零，則這個(gè)自然數(shù)被5整除。 （2）逆命題：若一個(gè)自然數(shù)能被5整除，則這自然數(shù)末位數(shù)字為零。 （3）否命題：若一個(gè)自然數(shù)的末位數(shù)字不為零，則這個(gè)自然數(shù)不能被5整除。 （4）逆否命題：若一個(gè)自然數(shù)不能被5整除，則這個(gè)自然數(shù)末位數(shù)字不為零。 A.（1）與（3）為真，（2）與（4）為假 B.（1）與（2）為真，（3）與（4）為假 C.（1）與（4）為真，（2）與（3）為假 D.（1）與（4）為假，（2）與（3）為真 2. 下列語(yǔ)句中是命題的有 ，其中真命題的有 。 ①“等邊三角形是等腰三角形” ② ③ ④ 一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù) ⑤“大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊” ⑥“為有理數(shù)，則也都是有理數(shù)” 3. 命題“都是奇數(shù)，則是偶數(shù)”的逆否命題是（ ） A. 都不是奇數(shù)，則是偶數(shù) B. 是偶數(shù)，則都是奇數(shù) C. 不是偶數(shù)，則都不是奇數(shù) D. 不是偶數(shù)，則不都是奇數(shù) 4. 若一個(gè)命題的逆命題為真，則（ ） A. 它的逆命題一定為真 B. 它的原命題一定為真 C. 它的否命題一定為真 D. 以上三個(gè)答案都不正確 5. 設(shè)甲是乙的充分而不必要條件，丙是乙的充要條件，丁是丙的必要而不充分條件，則丁是甲的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 6. 是拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 7. 用符號(hào)“”與“”填空 （1） （2） 8. 集合，，則“或”是“”的 條件。 9. 指出下列各組命題中是的什么條件？ ：為有理數(shù) ：m為實(shí)數(shù) p是q的 ： ： p是q的 ：內(nèi)錯(cuò)角相等 ：兩直線平行 p是q的 10. p是q的充要條件的是（ ） A. p：，q： B. p：，q： C. p：四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形 D. p：，q：關(guān)于x的方程有惟一解 11. 設(shè)A、B、C三個(gè)集合，為使，條件是（ ） A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 12. ，是正數(shù)的充分必要條件是（ ） A. B. C. D. 且 13. 三個(gè)實(shí)數(shù)不全為零的充要條件是（ ） A. 都不是零 B. 中至多有一個(gè)是零 C. 中只有一個(gè)是零 D. 中至少有一個(gè)不是零 14. 命題“方程的解是”中，使用的邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是（ ） A. 沒(méi)有使用聯(lián)結(jié)詞 B. 使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或” C. 使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且” D. 使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非” 15. 以下判斷正確的是（ ） A. 若是真命題，則“p且q”一定是真命題 B. 命題“p且q”是真命題，則命題p一定是真命題 C. 命題“p且q”是假命題時(shí)，命題p一定是假命題 D. 命題p是假命題時(shí)，命題“p且q”不一定是假命題 16. 如果命題“p或q”與命題“非p”都是真命題，那么（ ） A. 命題p不一定是假命題 B. 命題q一定是真命題 C. 命題q不一定是真命題 D. 命題p與命題q的真值相同 17. 若p、q是兩個(gè)簡(jiǎn)單命題，且“p或q”的否定是真命題，則必有（ ） A. p真q真 B. p假q假 C. p真q假 D. p假q真 18. 如果命題“p或q”是真命題，那么（ ） A. 命題p與命題q都是真命題 B. 命題p與命題q的真值是相同的，即同真同假 C. 命題p與命題q中只有一個(gè)是真命題 D. 命題p與命題q中至少有一個(gè)是真命題 19. 下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） （1） （2）集合A是的子集且是的子集 （3）周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 20. 下列命題中假命題的個(gè)數(shù)是（ ） （1）有的梯形是等腰梯形 （2）有的菱形是正方形 （3）每個(gè)正方形都是平行四邊形 （4）每個(gè)矩形都是正方形 A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 21. 命題“原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱”的否定是（ ） A. 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B. 原函數(shù)不與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱 C. 存在一個(gè)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象不關(guān)于直線y=x對(duì)稱 D. 存在原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱 22. 命題“若，則”的否命題是（ ） A. 若，則 B. 若，則 C. 若，則 D. 若，則 23. 命題“若，則”（這里都是實(shí)數(shù)）與它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ） A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 0個(gè) 24. 下列說(shuō)法（ ） （1）四種命題中真命題的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù) （2）若一個(gè)命題的逆命題是真命題，則它的否命題一定是真命題 （3）逆命題與否命題之間是互為逆否的關(guān)系 （4）若一個(gè)命題的逆否命題是假命題，則它的逆命題與否命題都是假命題 其中正確的有（ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 25. ，是正數(shù)的充分必要條件是（ ） A. B. C. D. 且 26. 下列說(shuō)法正確的是（ ） A. 是的充分而不必要條件 B. 是的充要條件 C. 若，則是的充分條件 D. 一個(gè)四邊形是矩形的充分條件是：它是平行四邊形 27. 判斷以下命題的真假（ ） （1） （2），使 （3），使 （4） 28. 寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假： （1）若，則 （2）若兩個(gè)三角形全等，則兩三角形的面積相等 （3）等腰三角形兩底角相等 （4）若，則 29. 已知P：，q：，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 【試題答案】 1. C 2. ①③④⑤⑥；① 3. D 4. C 5. B 6. A 7.（1） （2） 8. 必要不充分 9. 充分不必要條件；必要不充分條件；充要條件 10. D 11. A 12. D 13. D 14. B 15. B 16. B 17. B 18. D 19. B 20. B 21. C 22. A 23. C 24. C 25. D 26. B 27.（1）（2）（3）真；（4）假 28. 逆命題：（1）若則：（假） （2）若兩三角形的面積相等，則兩個(gè)三角形全等（假） （3）若一個(gè)三角形兩底角相等則為等腰三角形（真） （4）若，則（真） 否命題：（1）若則 （2）若兩個(gè)三角形不全等，則兩三角形的面積不相等（假） （3）若一個(gè)三角形兩底角不相等則不是等腰三角形（真） （4）若則（真） 逆否命題：（1）若則（真） （2）若兩三角形的面積不相等，則兩個(gè)三角形不全等（真） （3）若一個(gè)三角形不是等腰三角形則兩底角不相等（真） （4）若，則（假） 29. 解：p： ∴ p：，q： ∴ ： ∵ 是的必要不充分條件 ∴ ∴ 即是的充分不必要條件 故有 解得 因此，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是