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2019-2020年高二數學 《數學歸納法解題》教案 滬教版 教學目標 1.了解歸納法的意義，培養(yǎng)學生觀察、歸納、發(fā)現的能力． 2.了解數學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數學歸納法的操作步驟． 3.抽象思維和概括能力進一步得到提高． 教學重點與難點 重點：歸納法意義的認識和數學歸納法產生過程的分析． 難點：數學歸納法中遞推思想的理解． 教學過程設計 （一）引入 師：從今天開始，我們來學習數學歸納法．什么是數學歸納法呢?應該從認識什么是歸納法 開始． （板書課題．數學歸納法） （二）什么是歸納法（板書） 師：請看下面幾個問題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點．問題1：這里有一袋球共十二個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦? （可準備一袋白球．問題用小黑板或投影幻燈片事先準備好） 生：把它例出來看一看就可以了． 師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．順序操作怎么做? 生：一個一個拿，拿一個看一個． 師：對．問題的結果是什么呢? （演示操作過程） 第一個白球，第二個白球，第三個白球，……，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白 球． 問題2：在數列｛an｝中，a1＝1，an+1＝（n∈N+），先計算a2，a3，a4的值，再推測通項an的公式．（問題由小黑板或投影幻燈片給出） 生：a2＝，a3＝，a4＝．由此得到：an＝（n∈N+）． 師：同學們解決以上兩個問題用的都是歸納法，你能說說什么是歸納法，歸納法有什么特點 嗎? 生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結論的推理方法． 特點是由特殊 一般（板書）． 師：很好!其實在中學數學中，歸納法我們早就接觸到了．例如，給出數列的前四項，求它 的一個通項公式用的是歸納法，確定等差數列、等比數列項公式用的也是歸納法，今后的學 習還會看到歸納法的運用． 在生活和生產實際中，歸納法也有廣泛應用．例如氣象工作者、水文工作者依據積累的歷史 資料作氣象預測，水文預報，用的就是歸納法． 還應該指出，問題1和問題2運用的歸納法還是有區(qū)別的．問題1中，一共12個球，全看了， 由此而得了結論．這種把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法．對于問題2，由于自然有無數個，用完全歸納法去推出結論就不可能，它是由前4項體現的規(guī)律，進行推測，得出結論的，這種歸納法稱為不完全歸納法． （三）歸納法的認識（板書） 歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書）． 師；用不完全歸納法既然要推測，推測是要有點勇氣的，請大家鼓起勇氣研究問題3． 問題3：對于任意自然數n，比較7n-3與6（7n+9）的大小．（問題由小黑板或投影幻燈片給 出） （給學生一定的計算、思考時間） 生：經過計算，我的結論是：對任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）． 師：你計算了幾個數得到的結論? 生：4個． 師：你算了n＝1，n＝2，n＝3，n＝4這4個數，而得到的結論，是吧? 生：對． 師：有沒有不同意見? 生：我驗了n＝8，這時有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的結論不對吧! 師：那你的結論是什么呢? （動員大家思考，糾正） 生：我的結論是： 當n＝1，2，3，4，5時，7n-3＜6（7n+9）； 當n＝6，7，8，…時，7n-3＞6（7n+9）． 師：由以上的研究過程，我們應該總結什么經驗呢? 首先要仔細地占有準確的材料，不能隨便算幾個數，就作推測．請把你們計算結果填入下表 內： 師：依據數據作推測，決不是亂猜．要注意對數據作出謹慎地分析．由上表可看到，當n依1，2，3，4，…變動時，相應的7n-3的值以后一個是前一個的7倍的速度在增加，而6（7n+9） 相應值的增長速度還不到2倍．完全有理由確認，當n取較大值時，7n-3＞6（7n+9）會成立的． 師：對問題3推測有誤的同學完全不必過于自責，接受教訓就可以了．其實在數學史上，一 些世界級的數學大師在運用歸納法時，也曾有過失誤． 資料1（事先準備好，由學生閱讀） 費馬（Fermat）是17世紀法國著名數學家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立 作出貢獻最多的人之一，是概率論的的創(chuàng)始者之一，他對數論也有許多貢獻． 但是，費馬曾認為，當n∈N+時， +1一定都是質數，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的． 18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了+1＝4 294 967 297＝6 700 417641 ，從而否定了費馬的推測． 師：有的同學說，費馬為什么不再多算一個數呢?今天我們是無法回答的．但是要告訴同學 們，失誤的關鍵不在于多算一個上! 再請看數學史上的另一個資料（仍由學生閱讀）： 資料2 f（n）＝n2+n+41,當n∈N+時，f（n）是否都為質數? f（0）=41,f（1）＝43,f（2）＝47,f（3）＝53,f（4）＝61, f（5）＝71,f（6）＝83,f（7）＝97,f（8）＝113,f（9）＝131, f（10）＝151，… f（39）＝1 601． 但f（40）＝1 681＝412是合數． 師：算了39個數不算少了吧，但還不行!我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯 ，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而是要找出運用歸納法出錯的原 因，并研究出對策來師：歸納法為什么會出錯呢? 生：完全歸納法不會出錯． 師：對!但運用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會出錯呢? 生：由于用不完全歸納法時，一般結論的得出帶有猜測的成份． 師：完全同意．那么怎么辦呢? 生：應該予以證明． 師：大家同意吧?對于生活、生產中的實際問題，得出的結論的正確性，應接受實踐的檢驗 ，因為實踐是檢驗真理的唯一標準．對于數學問題，應尋求數學證明． （四）歸納與證明（板書） 師：怎么證明呢?請結合以下問題1思考． 生：問題1共12個球，都看了，它的正確性不用證明了． 師：也可以換個角度看，12個球，一一驗看了，這一一驗看就可以看作證明．數學上稱這種 證法為窮舉法．它體現了分類討論的思想． 師：如果這里不是12個球，而是無數個球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那 么怎么證明呢? （稍作醞釀，使學生把注意力更集中起來） 師：這類問題的證明確不是一個容易的課題，在數學史上也經歷了多年的醞釀．第一個正式 研究此課題的是意大利科學家莫羅利科．他運用遞推的思想予以證明． 結合問題1來說，他首先確 定第一次拿出來的是白球． 然后再構造一個命題予以證明．命題的條件是：“設某一次拿出來的是白球”，結論是“下 一次拿出來的也是白球”． 這個命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性． 大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢? 生：是．第一次拿出的是白球已確認，反復運用上述構造的命題，可得第二次、第三次、第 四次、……拿出的都是白球． 師：對．它使一個原來無法作出一一驗證的命題，用一個推一個的遞推思想得到了證明． 生活上，體現這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎? 生：一排排放很近的自行車，只要碰倒一輛，就會倒下一排． 生：再例如多米諾骨牌游戲． （有條件可放一段此種游戲的錄相） 師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條： （1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒； （2）第一張牌被推倒． 用這種思想設計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數學 歸納法． （五）數學歸納法（板書） 師：用數學歸納法證明以上推測問題而得的命題，應該證明什么呢? 生：先證n＝1時，公式成立（第一步）； 再證明：若對某個自然數（n＝k）公式成立，則對下一個自然數（n＝k+1）公式也成立（第 二步）． 師：這兩步的證明自己會進行嗎?請先證明第一步． 生：當n＝1時，左式＝a1＝1，右式＝＝1．此時公式成立． （應追問各步計算推理的依據） 師：再證明第二步．先明確要證明什么? 生：設n＝k時，公式成立，即ak＝．以此為條件來證明n＝k+1時，公式也成立，即ak+1＝也成立．師：應注意，這里是證明遞推關系成立，證明ak+1＝成立時，必須用到ak＝這個條件 生：依已知條件，ak+1＝． 師：于是由上述兩步，命題得到了證明．這就是用數學歸納法進行的證明的基本要求． 師：請小結一下用數學歸納法作證明應有的基本步驟． 生：共兩步（學生說，教師板書）： （1）n＝1時，命題成立； （2）設n＝k時命題成立，則當n＝k+1時，命題也成立． 師：其實第一步一般來說，是證明開頭者命題成立．例如，對于問題3推測得的命題：當n＝6，7，8，…時，7n-3＞6（7n+9）．第一步應證明n＝6時，不等式成立． （若有時間還可討論此不等關系證明的第二步，若無時間可布置學生課下思考） （六）小結 師：把本節(jié)課內容歸納一下： （1）本節(jié)的中心內容是歸納法和數學歸納法． （2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法．分完全歸納法和不完全歸納法二種． （3）由于不完全歸納法中推測所得結論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數學歸 納法進行． （4）數學歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必 須是二步． 數學歸納法在數學中有廣泛的應用，將從下節(jié)課開始學習． （七）課外作業(yè) （1）閱讀課本 （2）書面作業(yè)課堂教學設計說明 1.數學歸納法是一種用于證明與自然數n有關的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點應該是方法的應用．但是我們認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢?于是教師反復舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n＝k時命題成立呢?教師又不得不作出解釋，可學生仍未完全接受．學完了數學歸納法的學生又往往有應該用時但想不起來的問題，等等．為此，我們設想強化數學歸納法產生過程的教學，把數學歸納法的產生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數學歸納法的產生與不完全歸納法的完善結合起來．這樣不僅使學生可以看到數學歸納法產生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機． 數學歸納法產生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對不完全歸納法的 認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎么辦結束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞 推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到歸納出二個步驟結束． 把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置，必然對理解數學歸納法的實質帶來指導意義 ，也是在教學過程中努力挖掘、滲透隱含于教學內容中的數學思想的一種嘗試． 2.在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強 學生對教學過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發(fā)動、組織、引 導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當的問題，并提出思維要求， 讓學生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分 明的分解，并選擇適當的問題，把課題的研究內容落于問題中，在逐漸展開中，引導學生用 已學的知識、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學設計也想在這方面作些研究． 3.理解數學歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n＝k+1命題成立時必須用到n ＝k時命題成立這個條件． 例如用數學歸納法證明：（n∈N+）時，其中第二步采用下 面證法： 設n＝k時，等式成立，即，則當n＝k+1時， ， 即n＝k+1時等式也成立． 這是不正確的．因為遞推思想要求的不是n＝k，n＝k+1時命題到底成立不成立，而是n＝k時命題成立作為條件能否保證n＝k+1時命題成立這個結論正確，即要求的這種邏輯關系是否成立．證明的主要部分應改為 以下理解不僅是正確認識數學歸納法的需要，也為第二步證明過程的設計指明了正確的思維 方向．