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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 1、3-3-1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)同步練習(xí) 新人教A版選修1-1
一、選擇題
1．設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，則f(x)為增函數(shù)的一個(gè)充分條件是( )
A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0
C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac＞0
[答案] C
2．函數(shù)f(x)＝2x2－lnx的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(0，) B．(0，)
C．(，＋∞) D．(－，0)及(0，)
[答案] C
[解析] 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f′(x)＝4x－，令f′(x)>0，得x>，
∴函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增．
3．(xx廣東文，8)函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用．
f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故選D.
4．函數(shù)y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的單調(diào)增區(qū)間是( )
A.和
B.和
C.和
D.和
[答案] A
[解析] y′＝xcosx，當(dāng)－π
0，
當(dāng)－0，∴y′＝xcosx<0.
當(dāng)00，∴y′＝xcosx>0.
5．函數(shù)f(x)＝ax3－x在R上為減函數(shù)，則( )
A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)<1
C．a(chǎn)<2 D．a(chǎn)≤
[答案] A
[解析] f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，即a≤0.
6．已知a>0，函數(shù)f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，則a的最大值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] f′(x)＝－3x2＋a≤0，∴a≤3x2.
∴a≤3.
7．設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f′(x)<0是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[答案] A
8．若函數(shù)y＝x2－2bx＋6在(2,8)內(nèi)是增函數(shù)，則( )
A．b≤2 B．b＜2
C．b≥2 D．b＞2
[答案] A
[解析] 函數(shù)y＝x2－2bx＋6的對稱軸為x＝b，要使函數(shù)在(2,8)內(nèi)是增函數(shù)，應(yīng)有b≤2成立．
9．(xx湖南文，7)若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是( )
[答案] A
[解析] 考查導(dǎo)函數(shù)的基本概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
∵導(dǎo)函數(shù)f′(x)是增函數(shù)，
∴切線的斜率隨著切點(diǎn)橫坐標(biāo)的增大，逐漸增大，
故選A.
[點(diǎn)評] B圖中切線斜率逐漸減小，C圖中f′(x)為常數(shù)，D圖中切線斜率先增大后減小．
10．設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為( )
[答案] D
[解析] 函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)增，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(－∞，0)上函數(shù)值為正，排除A、C，原函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上先增，再減，最后再增，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上函數(shù)值先正，再負(fù)，再正，排除B，故選D.
二、填空題
11．函數(shù)y＝x3－x2－x的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
[答案] (－∞，－)，(1，＋∞)
[解析] ∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
∴由y′>0得，x>1或x<－.
12．若函數(shù)y＝x3－ax2＋4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
[答案] [3，＋∞)
[解析] y′＝3x2－2ax，由題意知3x2－2ax≤0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立，
即a≥x在區(qū)間(0,2)上恒成立，∴a≥3.
13．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是________．
[答案] m≥
[解析] 因?yàn)閒(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上單調(diào)，所以f′(x)＝3x2＋2x＋m，由題意可知f(x)在R上只能遞增，∴Δ＝4－12m≤0.∴m≥.
14．若函數(shù)y＝－x3＋ax有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍________．
[答案] a>0
[解析] y′＝－4x2＋a，若y＝－x3＋ax有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則方程－4x2＋a＝0應(yīng)有兩個(gè)不等實(shí)根，故a>0.
三、解答題
15．討論函數(shù)f(x)＝(－1＜x＜1，b≠0)的單調(diào)性．
[解析] ∵f(x)＝(－10，(x2－1)2>0，
①當(dāng)b>0時(shí)，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減．
②當(dāng)b<0時(shí)，f′(x)>0，∴函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增．
16．已知曲線y＝x3＋3x2＋6x－10，點(diǎn)P(x，y)在該曲線上移動，在P點(diǎn)處的切線設(shè)為l.
(1)求證：此函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
(2)求l的斜率的范圍．
[解析] (1)證明：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋1)＋3＝3(x＋1)2＋3>0恒成立，∴此函數(shù)在R上遞增．
(2)解：由(1)知f′(x)＝3(x＋1)2＋3≥3，
∴l(xiāng)的斜率的范圍是k≥3.
17．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函數(shù)f(x)＝ab在區(qū)間(－1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍．
[解析] f(x)＝ab＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t
f′(x)＝－3x2＋2x＋t
∵函數(shù)f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)
∴f′(x)≥0對x∈(－1,1)恒成立
∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立
即t≥3x2－2x在(－1,1)上恒成立
令g(x)＝3x2－2，x∈(－1,1)
∴g(x)∈(－，5)
故要使t≥3x2－2x在區(qū)間(－1,1)上恒成立，只需t≥5
即：所求t的取值范圍為：t≥5
18．設(shè)函數(shù)f(x)＝(ax2－bx)ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象與直線ex＋y＝0相切于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.
(1)求a，b的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出在每個(gè)區(qū)間上的增減性．
[解析] (1)f′(x)＝(2ax－b)ex＋(ax2－bx)ex
＝[ax2＋(2a－b)x－b]ex，由于f(x)的圖象與直線ex＋y＝0相切于點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，
則A(1，－e)，
所以即，
解得a＝1，b＝2.
(2)由a＝1，b＝2得f(x)＝(x2－2x)ex，定義域?yàn)?－∞，＋∞)．
f′(x)＝(x2－2)ex＝(x－)(x＋)ex，
令f′(x)>0，解得x<－或x>.
令f′(x)<0，解得－
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