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2019-2020年高一數(shù)學(xué)《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》教案（1） 教材分析 本課是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，使學(xué)生掌握等差數(shù)列求和公式，并能利用它解決數(shù)列求和的有關(guān)問題。等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，是由高斯算法引入的，采用了倒序相加法，思路的獲得得益于等差數(shù)列任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這一性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)，通過對(duì)等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，使學(xué)生能掌握“倒序相加”這一重要數(shù)學(xué)方法。 學(xué)情分析 本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，對(duì)等差數(shù)列有了一定的認(rèn)識(shí)。本節(jié)課是在等差數(shù)列的基礎(chǔ)上探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和。在本節(jié)教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生融入問題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，通過觀察、活動(dòng)、探索、交流、反思，來認(rèn)識(shí)和理解等差數(shù)列的求和內(nèi)容。在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，學(xué)會(huì)探究。 教學(xué)目標(biāo) （1）知識(shí)與技能 理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過程，會(huì)靈活運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決相關(guān)問題，加深對(duì)等差數(shù)列概念和性質(zhì)的理解。 （2）過程與方法 通過讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、合情猜想及證明的能力和模型化思想；通過例題和練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、解決問題的能力和數(shù)學(xué)表達(dá)與交流的能力。 （3）情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過本節(jié)課教會(huì)學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，體驗(yàn)探索的樂趣，使學(xué)生養(yǎng)成收集資料、自主探究、合作交流的習(xí)慣，培養(yǎng)他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)。 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：是等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用； 難點(diǎn)：是獲得推導(dǎo)公式的思路。 教學(xué)過程 一、新課引入 　　提出問題：一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？ 　　問題“ ” 　　這是小學(xué)時(shí)就知道的一個(gè)故事，高斯的算法非常高明，回憶他是怎樣算的。（由一名學(xué)生回答，再由學(xué)生討論其高明之處）高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組，第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組，第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組，第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，…，每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果。 　　我們希望求一般的等差數(shù)列的和，高斯算法對(duì)我們有何啟發(fā)？ 二、講解新課 1、公式推導(dǎo) 問題：設(shè)等差數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公差為 ， 由學(xué)生討論，研究高斯算法對(duì)一般等差數(shù)列求和的指導(dǎo)意義. 思路一：運(yùn)用基本量思想，將各項(xiàng)用 和 表示，得 ，有以下等式 ，問題是一共有多少個(gè) ，似乎與 的奇偶有關(guān).這個(gè)思路似乎進(jìn)行不下去了. 思路二： 上面的等式其實(shí)就是 ，為回避個(gè)數(shù)問題，做一個(gè)改寫 ， ，兩式左右分別相加，得 ， 所以 這就是倒序相加法。 思路三：受思路二的啟發(fā)，重新調(diào)整思路一，可得 ，于是 。 于是得到了兩個(gè)公式： 和 。 2、公式記憶 　　用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式，這里對(duì)圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理，對(duì)應(yīng)著等差數(shù)列前 項(xiàng)和的兩個(gè)公式。 三、例題 例1、計(jì)算： （1）+2+3+…+n； （2）1+3+5+…+(2n-1)； （3）+4+6+…+2n； 解：（1）1+2+3+…+n=； （2）1+3+5+…+(2n-1)==n2； （3）2+4+6+…+2n==n(n+1); 例2、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？ 解：方法一：由題意可知 S10=310,S20=1 200, 將它們代入公式Sn=na1+d，得到 解這個(gè)關(guān)于a1與d的方程組，得到a1=4，d=6， 所以Sn=4n+6=3n2+n。 方法二：由S10=10=310，得a1+a10=62，① S20=20=1220。所以a1+a20=122。② ②-① 得10d=60， 所以d=6。 代入①，得a1=4，所以有Sn=a1n+d=3n2+n。 例3、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+n，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？ 解：根據(jù)Sn=a1+a2+…+an-1+an與Sn-1=a1+a2+…+an-1(n＞1)，可知， 當(dāng)n＞1時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+n-［(n-1)2+(n-1)］=2n -，① 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=12+1=. 也滿足①式, 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-. 由此可知，數(shù)列{an}是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列。 四、課堂練習(xí) 1、等差數(shù)列{an}中， （1）已知a1=5，an=95，n=10，求Sn。 （2）已知a1=100，d=-2，n=50，求Sn。 2、設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4=14，S10-S7=30，求S9。 五、課堂小結(jié) 1、本節(jié)的小結(jié)由學(xué)生來完成，首先回顧總結(jié)本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)內(nèi)容？（兩個(gè)重要的等差數(shù)列求和公式）通過等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，你都從中學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（數(shù)列倒序相加法）對(duì)你今后的學(xué)習(xí)有什么啟發(fā)指導(dǎo)？ 2、你是怎樣從方程的角度來理解等差數(shù)列求和公式的？又是怎樣從等差數(shù)列的性質(zhì)來理解等差數(shù)列的求和公式的？上節(jié)學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的通項(xiàng)與本節(jié)學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的求和公式有什么聯(lián)系？本節(jié)的重要題型是什么？ 六、布置作業(yè) 課本P46 第2題 7、 板書設(shè)計(jì) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和（1） 1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 和 2、 公式記憶 用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式，這里對(duì)圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理，對(duì)應(yīng)著等差數(shù)列前 項(xiàng)和的兩個(gè)公式. 公式推導(dǎo) 設(shè)等差數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公差為 ， 思路一 …… 思路二 …… 思路三 …… 例題 1、 2、 3、 練習(xí) 1、 2、 備選題 （C） 1、設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則{an}是（ ） A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列 2、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，若a2＋a4＋a15的值是一個(gè)確定的常數(shù)，則數(shù)列{an}中也為常數(shù)的項(xiàng)是(　　) A．S7　　　　　　　　　 B．S8 C．S13 D．S15 3、設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________. （B） 1、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若<－1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn>0的n的最大值為(　　) A．11 B．19 C．20 D．21 2、設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 Sn ，若S10 =S20 則S30 的值為___________ 。 3、數(shù)列 中，，，前n項(xiàng)和，則＝＿，＝ ； （A） 1、已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和。 2、設(shè)利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可得 f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值為________。