2019-2020年高中數(shù)學 1.4 2導數(shù)及均值不等式在生活中的優(yōu)化問題中的應用教案 新人教A版選修2-2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 1.4 2導數(shù)及均值不等式在生活中的優(yōu)化問題中的應用教案 新人教A版選修2-2生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題。導數(shù)是解決最值問題有力的工具之一,我們常用求函數(shù)的導數(shù)來確定最優(yōu)解。但是除此之外,均值不等式在解決此類問題時也有其自身的特點,下面我將通過一些具體的例子來作簡單的說明?!纠?】學校或班級舉行活動,通常需要張貼海報進行宣傳。現(xiàn)讓你設計一張如圖1-1所示的豎向的海報,要求版心面積為128,上、下兩邊各空2,左右兩邊各空1,如何設計海報的尺寸,才能使四周空白的面積最?。拷猓涸O版心的高為,則版心的寬為,此時四周空白的面積為圖1-1 解法一:(導數(shù)法)求函數(shù)的導數(shù)得:;令,解得:,于是寬為。當時,當時,因此,是函數(shù)的極小值點,也是最小值點,所以,當版心高為16,寬為8時,能使四周空白面積最小。解法二:(均值不等式法)(利用均值不等式:若,當且僅當時取等號)當且僅當,即時取等號,此時寬為,所以,當版心高為16,寬為8時,能使四周空白面積最小。【例2】以長為10的線段為直徑作半圓,求它的內接矩形面積的最大值。解:如圖2-1所示,設,面積 ()AB圖2-1解法一:(導數(shù)法)求函數(shù)的導數(shù)得:,令,解得:(舍去)當時,當時,;在時,取得極大值,也是最大值;因此當時,它的內接矩形面積最大,最大值為25。解法二:(均值不等式法),()當且僅當,即時取等號。(利用均值不等式:若,當且僅當時取等號)【例3】統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量(升)關于行駛速度(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為:(),已知甲乙兩地相距100千米,當汽車以多大速度行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?解:當速度為千米/小時,汽車從甲地到乙地行駛了小時,設耗油量為升。,()解法一:(導數(shù)法)求函數(shù)的導數(shù)得:, 令,解得:,當時,當時,;在時,取得極小值,也是最小值。解法二:(均值不等式法)當且僅當,即時取等號。(利用均值不等式:若,當且僅當時取等號)【例4】用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀框架,要求長方體的長與寬之比為2:1,問該長方體的長、寬、高各為多少時,其體積最大?最大體積是多少?解:設長方體的寬為m,則長為m,高為(m),故長方體的體積為:()解法一:(導數(shù)法)求函數(shù)的導數(shù)得:令:,解得:(),當時,當時,;故時,取得極大值,并且這個極大值就是最大值,從而()。所以長為2m,寬為1m,高為1.5m時,體積最大,最大值為3解法二:(均值不等式法),當且僅當,即時取等號,此時()。所以長為2m,寬為1m,高為1.5m時,體積最大,最大值為3通過上述的幾例可以發(fā)現(xiàn),通過求導數(shù)進行求解最值具有普遍性,對很多最值問題都可以求解,但有些題目用導數(shù)知識解題過程較為繁瑣,極值點求出后,極值情況有的還要與區(qū)間斷點值比較;而使用均值不等式進行求解時,過程較為簡練,但均值不等式只能解決最值問題中的一類問題,有其自身的局限性,并且有的還要注意有陷阱的問題。例如:求函數(shù)的最小值時,要是直接使用均值不等式就會出現(xiàn)問題。,取等號時,此時。用均值不等式解題時,要注意找到能消去自變量的最佳組合,這一點就不好做到,所以新教材改革中淡化了對均值不等式的應用,而導數(shù)彌補了均值不等式的不足,其方法思路清晰,條理明確。在解決優(yōu)化問題時,兩種方法各有千秋,如果我們能對兩種方法都有所理解,針對具體問題具體分析,有選擇地運用,就能使思路開闊,方法簡捷,有利于學生解決問題能力的提高。電子郵箱:huangyu8023126- 配套講稿:
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