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2019-2020年高一數學 函數的應用舉例 第十課時 第二章 ●課 題 2.9.3 函數的應用舉例（三） ●教學目標 （一）教學知識點 1.數學建模的基本思想. 2.有關物理問題的數學模型. （二）能力訓練要求 1.使學生適應各學科的橫向聯系. 2.能夠建立一些物理問題的數學模型. 3.培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力. （三）德育滲透目標 1.用聯系的觀點看問題. 2.能夠將生產實際、物理研究中的某些問題用數學知識、數學方法進行解決. ●教學重點 數學建模的方法 ●教學難點 如何把實際問題抽象為數學問題 ●教學方法 自學輔導法 在前幾節(jié)學生了解數學建模基本思想及數學建模一般步驟的基礎上，直接給出學生例題，要求學習通過審題，自己抽象出其中的數量關系，在通過老師的幫助加以確認之后，再著手進行純數學問題的解決，最后在老師的引導下，把握好由數學問題的解向實際問題的還原. 引導學生在研究例6的過程中，了解函數思想在解決物理問題時所發(fā)揮的作用，同時對高考中具有導向意義的題目有所認識，了解高考命題趨勢的發(fā)展. ●教具準備 幻燈片 第一張：例題5（記作2.9.3 A） 第二張：例題6（記作2.9.3 B） ●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］上一節(jié)課，我們主要學習了有關增長率的數學模型，這種模型在有關產量、產值、糧食、人口等等增長問題常被用到.這一節(jié)，我們學習有關物理問題的數學模型. Ⅱ.講授新課 [例5]設在海拔x m處的大氣壓強是y Pa，y與x之間的函數關系式是y=cekx，其中c、k為常量.已知某地某天在海平面的大氣壓為1.01105 Pa，1000 m高空的大氣壓為0.90105 Pa.求600 m高空的大氣壓強（結果保留3個有效數字）. 分析：解決此題，應排除題中專業(yè)術語的干擾，抽象概括出數量關系，準確地轉化成數學表達式. 解：將x=0,y=1.01105,x=1000,y=0.90105 分別代入函數式y(tǒng)=cekx， 得 解之得 (由計算器算得) ∴函數式y(tǒng)=1.01105 將x=600代入上述函數式得 y=1.01105 由計算器算得y=0.943105(Pa) 答：在600 m高空的大氣壓約為0.943105 Pa. 評述：（1）此題利用數學模型解決物理問題；（2）需由已知條件先確定函數式；（3）此題實質為已知自變量的值，求對應的函數值的數學問題；（4）此題要求學生能借助計算器進行比較復雜的運算. 例6：在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1,a2,……,an共n個數據，我們規(guī)定所測量的物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量：與其他近似值比較a與各數據差的平方和最小.依次規(guī)定，從a1,a2,a3,……an推出的a= . (1994年全國高考試題) 分析：此題應排除物理因素的干擾，抓準題中的數量關系，將問題轉化為函數求最值問題. 解：由題意可知，所求a應使y=(a－a1)2+(a－a2)2+…+(a－an)2最小 由于y=na2－2(a1+a2+…+an)a+(a12+a22+…+an2) 若把a看作自變量，則y是關于a的二次函數，于是問題轉化為求二次函數的最小值. 因為n＞0,二次函數f(a)圖象開口方向向上. 當a= (a1+a2+…+an)時，y有最小值. 所以a= (a1+a2+…+an)即為所求. 評述：此題在高考中是具有導向意義的試題，它以物理知識和簡單數學知識為基礎，并以物理學科中的統(tǒng)計問題為背景，給出一個新的定義，要求學生讀懂題目，抽象其中的數量關系，將文字語言轉化為符號語言，即 y=(a－a1)2+(a－a2)2+…+(a－an)2然后運用函數的思想、方法去解決問題，解題關鍵是將函數式化成以a為自變量的二次函數形式，這是函數思想在解決實際問題中的應用. Ⅲ.課堂練習 課本P89習題2.9 5 某種放射性元素的原子數N隨時間t的變化規(guī)律是N=N0e－λt,其中N0，λ是正的常數. （1）說明函數是增函數還是減函數； （2）把t表示成原子數N的函數； （3）求當N=時，t的值. 解：（1）由于N0＞0,λ＞0，函數N=N0e－λt是屬于指數函數y=e-x類型的，所以它是減函數，即原子數N的值隨時間t的增大而減少 （2）將N=N0e－λt寫成e－λt= 根據對數的定義有－λt=ln 所以t=－ (lnN－lnN0)= (lnN0－lnN) (3)把N=代入t= (lnN0－lnN)得t= (lnN0－ln)= (lnN0－lnN0+ln2)= ln2. Ⅳ.課時小結 ［師］通過本節(jié)學習，進一步熟悉數學建模的方法，能運用數學模型解決一定的關于物理的實際問題，提高解決數學應用題的應變能力. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P90習題2.9 6 （二）1.預習內容：P93～P94 2.預習提綱： （1）實習作業(yè)的要求； （2）實習報告的內容. ●板書設計 2.9.3 函數應用舉例 例5 解答 評述 例6 解答 評述 學生練習