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2019-2020年高一數學對數函數教案 新課標 人教A版 必修1 教學目標 1．使學生掌握對數函數的定義，會畫對數函數的圖象，掌握對數函數的性質． 2．通過對數函數與指數函數互為反函數的教學，學生進一步加深對反函數概念及函數和反函數圖象間的關系的認識與理解． 3．通過比較、對照的方法，學生更好地掌握兩個函數的定義、圖象及性質，認識兩個函數的內在聯系，提高學生對函數思想方法的認識和應用意識． 教學重點與難點 教學重點是對數函數的定義、圖象及性質．難點是由對數函數與指數函數互為反函數這一關系，利用指數函數圖象及性質得到對數函數的圖象及性質． 教學過程設計 師：在新課開始前，我們先復習一些有關概念．什么叫對數？ 生：若ab=N，則數b叫做以a為底N的對數，記作logaN=b．其中a為底數，N是真數． 師：各個字母的取值范圍呢？ 生：a＞0巳a≠1；N＞0；b∈R， 師：這個定義也為我們提供了指數式化對數式，對數式化指數式的方法．請將bp=M化成對數式． 生：bp=M化為對數式是logbM=p． 師：請將logca=q化為指數式． 生：logca=q化為指數式是cq=a． 師；什么是指數函數？它有哪些性質？ （生回答指數函數定義及性質．） 師：請大家回憶如何求一個函數的反函數？ 生：（1）先求原來函數的定義域和值域；（2）把函數式y(tǒng)=f（x） x與y對換，此反函數可記作x=f-1（y）；（3）把x=f-1（y）改寫成y=f-1（x），并寫出反函數的定義域． 師：好．為什么求一個函數的反函數時，要先求出這個函數的定義域和值域呢？ 生：求原來函數的定義域是為了求原來函數的值域，而原來函數的值域就是其反函數的定義域． 師：很好．原來函數的定義域和值域，就是其反函數的值域和定義域．根據前面復習的求反函數的方法，請同學們求函數y=ax（a＞0，a≠1）的反函數． 生：函數y=ax（a＞0，a≠1）的定義域x∈R，值域y∈（0，+∞）．將指數式y(tǒng)=ax化為對數式x=logay，所以函數y=ax（a＞0，a≠1）的反函數為y=logax（x＞0）． 師：今天這節(jié)課我們介紹一下新的函數——對數函數，它是指數函數的反函數． 定義 函數y=logax（a＞0，a≠1）叫做對數函數． 因為對數函數y=logax是指數函數y=ax的反函數，所以要說明以下兩點： （1）對于底數a，同樣必須滿足a＞0且a≠1的條件． （2）指數函數的定義域為R，值域為R+．根據反函數性質可知：對數函數的定義域為R+，值域為R． 同指數函數一樣，在學習了函數定義之后，我們要畫函數的圖象．應該如何畫對數函數的圖象呢？ 生：用描點法畫圖． 師：對．我們每學習一種新的函數都可以根據函數的解析式，列表、描點畫圖．再考慮一下，我們還可以用什么方法畫出對數函數的圖象呢？ 生：因為對數函數是指數函數的反函數，所以它們的圖象關于直線y=x對稱．因此，只要畫出指數函數的圖象，就可利用圖象的對稱性畫出對數函數的圖象． 師：非常好．我們畫對數函數圖象，即可用描點法，也可用圖象變換法． 師：由于對數函數是指數函數的反函數，指數函數圖象分a＞1和0＜a＜1兩類，因此對數函數圖象也分a＞1和0＜a＜1兩類．現在我們觀察對數函數圖象，并對照指數函數性質來分析對數函數的性質． 生：對數函數的圖象都在y軸右側，說明x＞0． 生：函數圖象都過（1，0）點，說明x=1時，y=0． 師：對．這從直觀上體現了對數式的真數大于0且1的對數是0的事實．請繼續(xù)分析． 生：當底數是2和10時，若x＞1，則y＞0，若x＜1，則y＜ 師：對．由此可歸納得到：當底數a＞1時，若x＞1，則y＞0；若0＜x＜1，則y＜0，反之亦然．當底數0＜a＜1時，看x＞1，則y＜0；若0＜x＜1，則y＞0，反之亦然．這體現了真數的取值范圍與對數的正負性之間的緊密聯系．再繼續(xù)分析． 生：當底數a＞1時，對數函數在（0，+∞）上遞增；當底數0＜a＜1時，對數函數在（0，+∞）上遞減． 師：好．下邊我們看一下指數函數與對數函數性質對照表． 名 稱 指 數 函 數 對 數 函 數 解析式 y=ax（a＞0，a≠1） y=logax（a＞0，a≠1） 定義域 （-∞，+∞） （0，+∞） 值 域 （0，+∞） （-∞，+∞） 單調性 當a＞1時，ax是增函數； 當a＞1時，logax是增函數； 當0＜a＜1時，ax是減函數 當0＜a＜1時，logax是減函數． 圖象 y=ax的圖象與y=logax的圖象關于直線y=x對稱 師：今天我們所要講的有關概念就講完了，現在我們通過例題進一步鞏固理解這些概念． 例2 求下列函數的定義域： 生：（1）因為x2＞0，所以x≠0，即y=logax2的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）． 生：（2）因為4-x＞0，所以x＜4，即y=loga（4-x）的定義域是（-∞，4）． 師：在這個函數的解析式中，不僅有對數式，還有二次根式，因此要求定義域，既要真數大于0，還要被開方數大于或等于0，從而得到不等式組，這個不等式組如何解，問題出在log0.5（3x-1）≥0上，怎么辦？ 生：把0看作log0.51，即log0.5（3x-1）≥log0.51，因為0＜0.5＜1，所以此函數是減函數，所以 3x-1≤1． 師：對．他是利用了對數函數的單調性．還有別的說法嗎？ 生：因為底數0＜0.5＜1，而log0.5（3x-1）≥0，所以 3x-1≤1． 師：對．他是利用了對數函數的第三條性質，根據函數值的范圍，判斷了真數的范圍，因此只要解0＜3x-1≤1，即可得出函數定義域． 例3 比較下列各組中兩個數的大?。? （1）log23和log23.5；（2）log0.71.6和log0.71.8． 師：請同學們觀察這兩組數中兩個數的特征，想一想應如何比較這兩個數的大小． 生：這兩組數都是對數．每組中的對數式的底數相同，而真數不同，因此可根據函數y=log2x是增函數的性質來比較它們的大?。? 師：對．針對（1）中兩個數的底數都是2，我們構造函數y=log2x，利用這個函數在（0，+∞）是單調遞增的，通過比較真數的大小來決定對數的大小．請一名同學寫出解題過程． 生：（板書） 解：因為函數y=log2x在（0，+∞）上是增函數，又因0＜3＜3.5，所以 log23＜log23.5． 師：好．請同學簡答（2）中兩個數的比較過程．并說明理由． 生：因為函數y=log0.7x在（0，+∞）上是減函數，又因0＜1.6＜1.8，所以 log0.71.6＞log0.71.8． 師：對．上述方法仍是采用“函數法”比較兩個數的大?。攦蓚€對數式的底數相同時，我們構造對數函數．對于a＞1的對數函數在定義域內是增函數；對于0＜a＜1的對數函數在定義域內是減函數．只要比較真數的大小，即可得到函數值的大?。? 例4 比較下列各組中兩個數的大?。? （1）log0.34和log0.20.7；（2）log23和log32． 師：這兩組數都是對數，但它們的底數與真數都不相同，不便于利用對數函數的單調性比較它們的大?。埓蠹易屑氂^察各組中兩個數的特點，判斷出它們的大?。? 生：在log0.34中，因為底數0＜0.3＜1，且4＞1，所以log0.34＜0；在log0.20.7中，因為0＜0.2＜1，且0.7＜1，所以log0.20.7＞0，故log0.34＜log0.20.7． 師：很好．根據對數函數性質，當底數0＜a＜1時，若x＞1，則y＜0；若0＜x＜1，則y＞0．由此可以判定這兩個數中，一個比零大，另一個比零小，從而比較出兩個數的大小，這是采用了“中間量法”．請比較第（2）組兩個數的大?。? 生：在log23中，底數2＞1，真數3＞1，所以log23＞0；在log32中，底數3＞1，真數2＞1，所以log32＞0，… 師：根據對數性質可判斷：log23和log32都比零大．怎么辦？ 生：因為log23＞1，log32＜1，所以log23＞log32． 師：很好．這是根據對數函數的單調性得到的，事實上，log23＞log22=1，log32＜log33=1，這里利用了底數的對數為1，即log22=log33=1，從而判斷出一個數大于1，而另一個數小于1，由此比較出兩個數的大?。? 請同學們口答下列問題： 練習1 求下列函數的反函數： （1）y=3x（x∈R）； （2）y=0.7x（x∈R）； （3）y=log5x（x＞0）； （4）y=log0.6x（x＞0）． 生：y=3x（x∈R）的反函數是y=log3x（x＞0）． 生：y=0.7x（x∈R）的反函數是y=log0.7x（x＞0）． 生：y=log5x（x＞0）的反函數是y=5x（x∈R）． 生：y=log0.6x（x＞0）的反函數是y=0.6x（x∈R）． 練習2 指出下列各對數中，哪個大于零？哪個小于零？哪個等于零？并簡述理由． 生：在log50.1中，因為5＞1，0.1＜1，所以log50.1＜0． 生：在log27中，因為2＞1，7＞1，所以log27＞0． 生：在log0.60.1中，因為0.6＜1，0.1＜1，所以log0.60.1＞0． 生：在log0.43中，因為0.4＜1，3＞1，所以log0.43＜0． 練習3 用“＜”號連接下列各數： 0.32，log20.3，20.3． 生：由指數函數性質可知0＜0.32＜1，20.3＞1，由對數函數性質可知log20.3＜0，所以log20.3＜0.32＜20.3． 師：現在我們將這節(jié)課的內容小結一下，本節(jié)課我們介紹了對數函數的定義、圖象及性質，請同學回答對數函數的定義及性質． 生：（復述）…… 師：對數函數的定義，我們是通過求指數函數的反函數而得到的，從而揭示了指數函數與對數函數之間的內在聯系，對于對數函數的圖象及性質，都可以利用指數函數的圖象及性質得到．對于對數函數的性質，可以利用對數函數圖象記憶，也可以對照指數函數的性質記憶． 對于函數的定義域，除了原來要求的分母不能為0及偶次根式中被開方式大于或等于0以外，還應要求對數式中真數大于零，底數大于零且不等于1．如果函數中同時出現幾種情況，就要全部考慮進去，求它們共同作用的結果． 例3、例4都是利用對數函數的性質，通過“函數法”和“中間量法”比較兩個數大小的典型例子． 補充題比較下列各題中兩個數值的大?。? （1）log30.7和log0.20.5； （2）log0.64和log7.11.2； （3）log0.50.6和log0.60.5； （4）log25和log34． 比較下列各題中兩個數值的大小： （1）log30.7和log0.20.5； （2）log0.64和log7.11.2； （3）log0.50.6和log0.60.5； （4）log25和log34．