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2019-2020年高三數學 第21課時 等差數列教案 教學目標：掌握等差數列的定義，通項公式和前項和的公式以及等差數列的相關性質，并能利用這些知識解決有關問題． 教學重點：等差數列的判斷，通項公式、前項和公式、等差數列的性質應用． （一） 主要知識： 等差數列 等比數列 定義 （，…） （，…） 通項公式 ， ， 求和 公式 中項 公式 對稱性 若，則 若，則 分段和原理 、、成等差數列 、、成等比數列 等差數列的判定方法： 定義法：常數（）為等差數列； 中項公式法：（）為等差數列； 通項公式法：（）為等差數列； 前項求和法：（）為等差數列； （二）主要方法： 涉及等差數列的基本概念的問題，常用基本量來處理； 若奇數個成等差數列且和為定值時，可設中間三項為；若偶數個成等差數列且和為定值時，可設中間兩項為，其余各項再根據等差數列的定義進行對稱設元． 等差數列的相關性質: 等差數列中，，變式； 等差數列的任意連續(xù)項的和構成的數列仍為等差數列． 等差數列中，若，則， 若，則 等差數列中，（其中） 兩個等差數列與的和差的數列仍為等差數列． 若是公差為的等差數列,則其子列也是等差數列, 且公差為; 也是等差數列,且公差為 在項數為項的等差數列中，； 在項數為項的等差數列中． 等差數列中，也是一個等差數列，即點（）在一條直線上; 點（）在一條直線上. 兩個等差數列與中,分別是它們的前項和,則. （三）典例分析： 問題1．（全國）設數列是遞增等差數列，前三項的和為，前三項的 積為，求 （全國Ⅰ文）等差數列的前項和記為，已知，， ①求通項； ② 若，求 問題2．(北京春)在等差數列中，已知， 則 （屆高三湖南師大附中第二次月考）在等差數列中， ，則 22 20 （全國理Ⅱ）等差數列中，，， 則此數列前項和等于 （東北三校）設等差數列的前項和記為，若， 則 問題3．設等差數列的前項和為，已知，， (Ⅰ)求公差的取值范圍； (Ⅱ)指出, ,…,，中哪一個值最大,并說明理由 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 問題4．等差數列中，，，求數列的前項和 問題5． 已知數列的前項和為，且， 求證：為等差數列，求的表達式. （四）鞏固練習： 填空：若一個等差數列前項的和為，最后三項的和為，且所有項的和為,則這個數列有 項； 等差數列前項和是，前項和是，則它的前項和是 若是公差為的等差數列,如果,那么 　 含個項的等差數列其奇數項的和與偶數項的和之比為 已知個數成等差數列，它們的和為，平方和為，求這個數 等差數列中共有項，且此數列中的奇數項之和為，偶數項之和為，，求其項數和中間項. （五）課后作業(yè)： （宿遷模擬）已知數列中，，若為等差數列，則 （濰坊模擬）等差數列中，，，若在每相鄰兩項之間各插入一個數，使之成為等差數列，那么新的等差數列的公差是 在等差數列中，，則此數列的前項之和等于 （江南十校）已知函數，數列滿足， 求證：數列是等差數列；記，求. （汕頭模擬）已知數列中，，數列 （）數列滿足（）. 求證：數列是等差數列；求數列的最大項與最小項，并說明理由. （六）走向高考： （全國）等差數列中，已知，，，則是 （春高考）設（）是等差數列，是前項和，，， 則下列結論錯誤的是 與均為的最大項 （福建文）設是等差數列的前項和，若，則 （全國Ⅱ）設是等差數列的前項和，若，則 （福建）在等差數列中，已知則 　　　 　 　　　 　 　　　　 （廣東）已知等差數列共有項，其中奇數項之和，偶數項之和為，則 其公差是　　　 (陜西文) 已知等差數列中，，則該數列前項和等于 (江西文) 在各項均不為零的等差數列中，若，則 (全國Ⅰ文) 設是等差數列的前項和，若，則 (山東文) 等差數列中，，，則 （上海春）設，利用課本中推導等差數列前項和的公式的方法，可求得 （湖南）已知數列（）為等差數列，且，，則 　 　 （海南）已知是等差數列，，其前項和，則其公差 （陜西文）等差數列的前項和為，若，，則等于 （遼寧）設等差數列的前項和為，若，，則 (北京文)設等差數列的首項及公差都是整數,前項和為, (Ⅰ)若，,求數列的通項公式； (Ⅱ)若≥，，≤，,求所有可能的數列的通項公式. （重慶）已知各項均為正數的數列的前項和滿足， 且，（）． （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）設數列滿足，并記為的前項和， 求證：（）． （江蘇）設數列、、滿足：，（，…）證明為等差數列的充分必要條件是為等差數列且≤（，…）