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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 第76課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納法教案 教學(xué)目標(biāo)：掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程.對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí)不斷深化.掌握數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：①證恒等式；②整除性的證明；③探求平面幾何中的問(wèn)題；④探求數(shù)列的通項(xiàng)；⑤不等式的證明. 教學(xué)重點(diǎn)：本 （一） 主要知識(shí)及主要方法： 歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點(diǎn)：特殊→一般. 不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法 完全歸納法: 把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法 完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法 數(shù)學(xué)歸納法:對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來(lái)證明它的正確性：先證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)(，≥)時(shí)命題成立，證明當(dāng)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法. 數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)(，≥)時(shí)，命題成立.(這時(shí)命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟： 證明：當(dāng)取第一個(gè)值結(jié)論正確；假設(shè)當(dāng)(，≥)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也正確由，可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)都正確.數(shù)學(xué)歸納法被用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉. 用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可；證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)，二湊目標(biāo). （二）典例分析： 問(wèn)題1．求證：能被整除. 問(wèn)題2．求證： 設(shè)，且，用數(shù)學(xué)歸納法證明： 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（其中≥，且）. 問(wèn)題3．已知，，其中、，，，，且.求的反函數(shù)；對(duì)任意，試指出與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 問(wèn)題4．（浙江）設(shè)點(diǎn)，和拋物線：（），其中＝，由以下方法得到：，點(diǎn)在拋物線：上，點(diǎn)到的距離是到上點(diǎn)的最短距離，…，點(diǎn)在拋物線：上，點(diǎn)到的距離是 到 上點(diǎn)的最短距離． 求及的方程；證明是等差數(shù)列． （三）課后作業(yè)： 觀察下列式子：，則可以猜想的結(jié)論為： 用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，從“到”左端需增乘的代數(shù)式為 （重慶市重點(diǎn)中學(xué)二聯(lián)）如圖，第個(gè)圖形是由正邊形“擴(kuò)展”而來(lái)（，，，…），則第個(gè)圖形中共有 個(gè)頂點(diǎn). 凸邊形有條對(duì)角線，則凸邊形有對(duì)角線條數(shù)為 平面內(nèi)有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：這條直線把平面分成個(gè)區(qū)域. （四）走向高考： （上海）設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當(dāng)成立時(shí)，總可推出成立”．那么，下列命題總成立的是 若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立 若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立 若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立 若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立 (湖南）已知函數(shù),數(shù)列{}滿足: ，，求證: ;. （江西）已知數(shù)列滿足：，且（≥，） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求證：對(duì)于一切正整數(shù)，不等式 （湖北）已知為正整數(shù)， 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，≥； 對(duì)于≥，已知，求證，； 求出滿足等式的所有正整數(shù).