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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 角的概念的推廣教案 理 教材分析 這節(jié)課主要是把學(xué)生學(xué)習(xí)的角從不大于周角的非負(fù)角擴(kuò)充到任意角，使角有正角、負(fù)角和零角．首先通過生產(chǎn)、生活的實(shí)際例子闡明了推廣角的必要性和實(shí)際意義，然后又以“動”的觀點(diǎn)給出了正、負(fù)、零角的概念，最后引入了幾個(gè)與之相關(guān)的概念：象限角、終邊相同的角等．在這節(jié)課中，重點(diǎn)是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念，難點(diǎn)是把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來．理解任意角的概念，會在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過數(shù)形結(jié)合來認(rèn)識角的幾何表示和終邊相同的角的表示，是學(xué)好這節(jié)的關(guān)鍵． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過實(shí)例，體會推廣角的必要性和實(shí)際意義，理解正角、負(fù)角和零角的定義． 2. 理解象限角的概念、意義及表示方法，掌握終邊相同的角的表示方法． 3. 通過對“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的認(rèn)識過程，使學(xué)生感受“動”與“靜”的對立與統(tǒng)一．培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)審視事物，用對立統(tǒng)一規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系． 任務(wù)分析 這節(jié)課概念很多，應(yīng)盡可能讓學(xué)生通過生活中的例子（如鐘表上指針的轉(zhuǎn)動、體操運(yùn)動員的轉(zhuǎn)體、自行車輪子上的某點(diǎn)的運(yùn)動等）了解引入任意角的必要性及實(shí)際意義，變抽象為具體．另外，可借助于多媒體進(jìn)行動態(tài)演示，加深學(xué)生對知識的理解和掌握． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情境 ［演　示］ 1. 觀覽車的運(yùn)動． 2. 體操運(yùn)動員、跳臺跳板運(yùn)動員的前、后轉(zhuǎn)體動作． 3. 鐘表秒針的轉(zhuǎn)動． 4. 自行車輪子的滾動． ［問　題］ 1. 如果觀覽車兩邊各站一人，當(dāng)觀覽車轉(zhuǎn)了兩周時(shí)，他們觀察到的觀覽車上的某個(gè)座位上的游客進(jìn)行了怎樣的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)了多大的角？ 2. 在運(yùn)動員“轉(zhuǎn)體一周半動作”中，運(yùn)動員是按什么方向旋轉(zhuǎn)的，轉(zhuǎn)了多大角？ 3. 鐘表上的秒針（當(dāng)時(shí)間過了1.5min時(shí)）是按什么方向轉(zhuǎn)動的，轉(zhuǎn)動了多大角？ 4. 當(dāng)自行車的輪子轉(zhuǎn)了兩周時(shí)，自行車輪子上的某一點(diǎn)，轉(zhuǎn)了多大角？ 顯然，這些角超出了我們已有的認(rèn)識范圍．本節(jié)課將在已掌握的0～360角的范圍的基礎(chǔ)上，把角的概念加以推廣，為進(jìn)一步研究三角函數(shù)作好準(zhǔn)備． 二、建立模型 1. 正角、負(fù)角、零角的概念 在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)方向：順時(shí)針方向和逆時(shí)針方向．習(xí)慣上規(guī)定，按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角叫作正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫作負(fù)角；當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也把它看成一個(gè)角，叫作零角． 2. 象限角 當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合、角的始邊與ｘ軸正半軸重合時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫作第幾象限的角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限． 3. 終邊相同的角 在坐標(biāo)系中作出390，－330角的終邊，不難發(fā)現(xiàn)，它們都與30角的終邊相同，并且這兩個(gè)角都可以表示成0～360角與k個(gè)（k∈Z）周角的和，即 390＝30＋360，（k＝1）； －330＝30－360，（k＝－1）． 設(shè)S＝｛β｜β＝30＋k360，k∈Z｝，則390，－330角都是S中的元素，30角也是S中的元素（此時(shí)k＝0）．容易看出，所有與30角終邊相同的角，連同30角在內(nèi)，都是S中的元素；反過來，集合S中的任一元素均與30角終邊相同．一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝｛β｜β＝α＋k360，k∈Z｝，即任一與α終邊相同的角，都可以表求成角α與整數(shù)個(gè)周角的和． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 在0～360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角． （1）－150．　　　（2）650．　　?。?）－9505′． 2. 分別寫出與下列角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360≤β＜720的元素寫出來． （1）60．?。?）－21．?。?）36314′． 3. 寫出終邊在y軸上的角的集合． 解：在0～360范圍內(nèi)，終邊在ｙ軸上的角有兩個(gè)，即90，270．因此，與這兩個(gè)角終邊相同的角構(gòu)成的集合為 S1＝｛β｜β＝90＋k360，k∈Z｝＝｛β｜β＝90＋2k180，k∈Z｝，而所有與270角終邊相同的角構(gòu)成的集合為 S2＝｛β｜β＝270＋k360，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90＋（2k＋1）180，k∈Z｝． 于是，終邊在y軸上的角的集合為 S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90＋2k180，k∈Z｝∪｛β｜β＝90＋（2k＋1）180，k∈Z｝＝｛β｜β＝90＋n180，n∈Z｝． 注：會正確使用集合的表示方法和符號語言． ［練　習(xí)］ 1. 寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720≤β＜360的元素β寫出來． （1）45．?。?）－30．?。?）420．　（4）－225． 2. 辨析概念．（分別用集合表示出來） （1）第一象限角．?。?）銳角．?。?）小于90的角．　（4）0～90的角． 3. 一角為30，其終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為． 4. 終邊在x軸上的角的集合為；終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為． 四、拓展延伸 1. 若角α與β終邊重合，則α與β的關(guān)系是；若角α與β的終邊互為反向延長線，則角α與β的關(guān)系是． 2. 如果α在第二象限時(shí)，那么2α，是第幾象限角？ 注：（1）不能忽略2α的終邊可能在坐標(biāo)軸上的情況． （2）研究在哪個(gè)象限的方法：討論k的奇偶性．（如果是呢？） 點(diǎn)　評 這篇案例運(yùn)用多媒體展示了生活中常見的實(shí)例，極易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情．在對知識的探討過程中，特別注意了知識的形成過程，重點(diǎn)突出．例題的設(shè)置比較典型，難易度適中．練習(xí)題注重基礎(chǔ)，但也有一定的梯度，利于培養(yǎng)學(xué)生靈活處理問題的能力，并為學(xué)生學(xué)習(xí)以后章節(jié)做了較好的鋪墊．