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2019-2020年高中數(shù)學 1.6 2微積分基本定理教案 新人教A版選修2-2 [教學目的]使學生了解積分上限函數(shù)的概念，理解微積分基本定理，掌握牛頓—萊布尼茲公式與積分上限函數(shù)的求導方法． [重點與難點]重點是微積分基本定理與牛頓—萊布尼茲公式，難點是微積分基本定理的證明． [教學過程] 前面介紹了積分的概念，從理論上講，總可通過和式的極限來確定積分的值，但實際運算起來是很繁瑣的，有時甚至無法計算。本節(jié)通過揭示積分與導數(shù)的關系，將引出計算積分的一個簡便而可行的計算公式——牛頓—萊布尼茲公式. 為了解決這個問題，我們先來介紹積分上限函數(shù)的概念及其性質(zhì) 一、積分上限函數(shù)及其導數(shù) ⒈ 積分上限函數(shù)的概念 設函數(shù)在上連續(xù)，為上的一點，不難得知，在部分區(qū)間上的積分存在，這里，既表示積分的上限又表示積分變量，為明確起見，把積分變量改用另一字母表示，從而該積分可表為. 顯然，對于上的任一取值，積分都有唯一確定的值與之對應，因此，在區(qū)間上確定了一個以積分上限為自變量的函數(shù)，稱之為積分上限函數(shù)，通常記為，即 ⒉ 積分上限函數(shù)的性質(zhì) 積分上限函數(shù)具有如下的重要性質(zhì) 定理1（微積分基本定理）如果函數(shù)在上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) 在上可導，且 證明 當時，若自變量在處取得增量且，函數(shù)相應的增量為 （積分中值定理） 其中，介于與之間。于是， 當或時，同理可證得：， 證畢 這個定理的重要意義在于： ⑴肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)必存在； ⑵初步揭示了積分與導數(shù)的關系,從而預示有可能通過原函數(shù)來求得積分； ⑶給出了積分上限函數(shù)的導數(shù)公式,并由復合函數(shù)的求導法則可推得 例1 求極限. 解：易知該極限為型未定式，故由洛必達法則得 例2 求下列函數(shù)的導數(shù)： ⑴ ⑵ 解：⑴ ⑵；因為 所以， . 例3 設是內(nèi)的正值連續(xù)函數(shù)，證明函數(shù) 在內(nèi)是單調(diào)增加的. 證 因為 當時，在上，，，且，故知 ，從而推得在內(nèi)是單調(diào)增加的. 二、牛頓—萊布尼茲公式 定理2 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在的一個原函數(shù)，那么 證 因為在上連續(xù)，所以，為的一個原函數(shù)，又是的原函數(shù)，因此， 當時，，又得 當時，有即整理即得 證畢 注：⑴ 上式叫牛頓—萊布尼茲公式，也稱為微積分基本公式. ⑵ 在運用該公式時，通常記為或； ⑶ 該公式對于時也適用； 公式表明：一個連續(xù)函數(shù)在某一區(qū)間上的積分等于它的任何一個原函數(shù)在該區(qū)間上的增量.這就為積分的計算提供了一個簡便而有效的方法. 例4 求. 解：因為 所以， 例5 求. 解：因為， 所以， 由上可知，利用牛頓—萊布尼茲公式求積分一般分兩步完成，運算熟練后，可合并表示. 例6 求. 解： 例7 求. 解：因為， 所以， 例8 設，求在內(nèi)的表達式. 解：當時， 當時， 當時， 所以， 習題3.2 1．求由參數(shù)表示式，所確定的函數(shù)對的導數(shù)． ２．求下列極限： ⑴　　　　　　　　　　　?、? ３．計算下列各函數(shù)的導數(shù)： ⑴　　　　　　?、? 4．計算下列各積分： ⑴　　　　　　　　　　?、? ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺　　　　　　　　　　　　　 ⑻ ⑼,其中, ． 5．設，求在的表達式． ６．求函數(shù)的極值． ７．設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導且，試證明：在內(nèi)有．