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2019-2020年高中數(shù)學 2.1 指數(shù)函數(shù)教案 新人教A版必修1 [教學目標] 1．通過具體實例了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景． 2．理解有理指數(shù)冪的含義，理解擴張指數(shù)范圍的必要性． 3．通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算． 4．理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義． 5．能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點． 6．在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． [教學要求] 指數(shù)函數(shù)是本章的重點內(nèi)容之一，也是高中新引進的第一個基本初等函數(shù)．學習指數(shù)函數(shù)時，建議首先通過實際問題引入分數(shù)指數(shù)冪，為此先將平方根與立方根的概念擴充到次方根，將二次根式的概念擴充到一般根式的概念，然后進一步介紹分數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)，最后結(jié)合具體實例，通過有理數(shù)冪的方法介紹了無理指數(shù)冪的意義，從而將指數(shù)的取值范圍擴充到了實數(shù)．在實數(shù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)上，學習指數(shù)函數(shù)及其圖象和性質(zhì)． 教學中應通過具體的實例從正整數(shù)指數(shù)冪開始到現(xiàn)實中出現(xiàn)的分數(shù)指數(shù)冪，引出指數(shù)的取值范圍需要進行必要的擴充． 根式是教學的一個難點，教材第一部分安排根式這部分內(nèi)容，為講分數(shù)指數(shù)冪做準備，所以只需要講根式的概念、方根的性質(zhì)．為了分散難點，在教學中可以適當放慢進度，多舉幾個具體的例子，之后再給出次方根的一般定義．為突破方根的性質(zhì)的難點，要抓住立方根與平方根的性質(zhì)，通過探究得到當分奇偶數(shù)時方根的性質(zhì)． 分數(shù)指數(shù)冪是教學上的又一個難點，也是指數(shù)概念的又一次推廣．教學時應注意循序漸進．教學中要讓學生反復理解分數(shù)指數(shù)冪的意義，明確它是根式的一種新的寫法． 教科書通過比較本節(jié)開始時的問題引入指數(shù)函數(shù)，教學中要讓學生體會指數(shù)函數(shù)的概念來自實踐，并體會其中蘊含的函數(shù)關(guān)系，可引導學生在探究中獲得函數(shù)的共同特征，這樣就可以很自然地給指數(shù)函數(shù)下定義了． 教學中注意對底數(shù)規(guī)定的合理性解釋：且． 在理解指數(shù)函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，建議通過列表描點繪圖或者利用信息技術(shù)繪圖，教學中要注意發(fā)揮指數(shù)函數(shù)圖象的作用，讓學生親自作出圖象．使得圖象成為研究函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，建議盡可能地引導學生通過觀察圖象自己歸納概括指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)． 本節(jié)容量較大，課時較多，建議教學中根據(jù)學生的實際情況合理劃分每節(jié)課的教學內(nèi)容，以便于學生的系統(tǒng)學習． [教學重點] 指數(shù)函數(shù)的概念和圖象 [教學難點] 根式和分數(shù)指數(shù)冪 [教學時數(shù)] 6課時 [教學過程] 第一課時 2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算——根式與運算 新課導入 通過課本第48頁的兩個問題引入本節(jié)的主題內(nèi)容． 問題1 從xx年起的未來20年，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值年平均增長率可達到7.3%．那么，在xx——2020年，各年的國內(nèi)生產(chǎn)總值可望為xx年的多少倍？ 引導學生逐年計算，并得出規(guī)律： 設年后我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值為xx年的倍，那么． 問題2 當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”． 根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系． 當生物死亡了5730，25730，35730，…年后，它體內(nèi)碳14的含量分別為，，，…．是正整數(shù)指數(shù)冪．它們的值分別為，，，…． 當生物死亡6000年，10000年，100000年后，它體內(nèi)碳14的含量分別為，，，這些式子的意義又是什么呢？這些正是本節(jié)課要學習的內(nèi)容． 新課進展 一、根式 1．回顧初中學習的內(nèi)容：平方根、立方根 4的平方根為，3的平方根為，16的平方根為，等等．一般地，如果，那么叫做的平方根． 對于立方根則由師生一起舉出若干例子． 2．根式 （1）類比平方根、立方根，我們看下面的一些例子： ，那么2是32的5次方根，記作；，那么3是243的5次方根，記作；，那么2是16的4次方根，記作；，那么3是81的4次方根，記作；，那么-2是32的5次方根，記作；，那么-2也是16的4次方根，記作-． （2）根式 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且． 當為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的次方根是一個負數(shù)．這時，的次方根用符號表示． 當為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)．這時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示．正的次方根與負的次方根可以合并寫成（）．例如負的次方根可以表示為． 負數(shù)沒有偶次方根． 0的任何次方根都是0，記作． 式子叫做根式（radical），其中叫做根指數(shù)（radical exponent），叫做被開方數(shù)（radicand）． （3）根式的性質(zhì) 通過討論探究得到： ． ． 例如，， ，， =3． 課堂例題 例1 （課本第50頁例1） 本例是方根與根式性質(zhì)的具體運用． 課堂練習 求值：（1）；（2）；（3）． （4）本課小結(jié) 根式：如果，那么叫做的次方根． 根式性質(zhì)： ． ． （5）布置作業(yè) 課本第59頁習題2.1A組第1（1）——（4）題． 第二課時 2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算——分數(shù)指數(shù)冪 復習導入 通過提問復習上節(jié)課主要學習內(nèi)容． 1．請講一講你所理解的根式． 2．根據(jù)次方根的定義和數(shù)的運算，能否把根式表示為分數(shù)指數(shù)的形式？ 通過討論，探索新知． 新課進展 二、分數(shù)指數(shù)冪 1．實例引入，形成沖突 看下面的例子： 當時， （1），又，所以； （2），又，所以． 從上面的例子，我們看到，當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式． 那么，當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式呢？ 2．復習舊知，導出新知 為此，我們先回顧初中所學的指數(shù)概念． ，當時，，0的0次冪沒有意義，． 討論：的結(jié)果是什么？ 提示：注意分類討論． 問：我們學習過整數(shù)指數(shù)冪哪些運算性質(zhì)： 答：（1）； （2）； （3） 根據(jù)次方根的定義，規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：（，）． 的正分數(shù)指數(shù)冪等于, 的負分數(shù)指數(shù)冪無意義. 由于分數(shù)有既約分數(shù)和非既約分數(shù)之分，因此當時，應當遵循原來的運算順序，通常不寫成分數(shù)指數(shù)冪形式． 例如：，而． 規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)． 整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于分數(shù)指數(shù)冪即有理數(shù)指數(shù)冪同樣適用． （1）； （2）； （3） 課堂例題 例1 （課本第51頁例2） 求值：． 本例的目的是鞏固分數(shù)指數(shù)冪的概念． 例2 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 解 (１) ； （2）； （3）； （4）． 課堂練習 課本第51頁例3、第52頁例4、例5． 上述三例是利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算和化簡，學生練習時要嚴格按照書本的步驟進行對照，因為分數(shù)指數(shù)冪的定義和運算都剛剛學習，老師講解時可以仿照單項式乘除法進行． 3．本課小結(jié) （1）分數(shù)指數(shù)冪的定義，注意底數(shù)的限制條件． （2）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，是整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)的推廣． 4．布置作業(yè) 課本第54頁練習1、2（1）——（6）題； 課本第59頁習題2.1A組第2、3題． 第三課時 2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運算——無理指數(shù)冪 復習導入 通過解答一組習題復習上節(jié)課主要學習內(nèi)容． 課堂練習 1．課本第54頁練習第3題． 2．課本第59頁習題2.1A組第4（1）——（4）題． 新課進展 三、無理指數(shù)冪 1．動手實驗，探索新知 問：我們?nèi)绾卫斫饽兀? 首先明確：表示一個確定的實數(shù)．然后通過計算器的列表功能或者投影課本第53頁的表格，計算的近似值，發(fā)現(xiàn)下面的規(guī)律： 當?shù)牟蛔憬浦祻男∮诘姆较虮平鼤r，的近似值從小于的方向逼近； 當?shù)倪^剩近似值從大于的方向逼近時，的近似值從大于的方向逼近． 所以就是有理指數(shù)冪按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果． 2．形成概念，擴充認知 一般地，無理指數(shù)冪是無理數(shù))是一個確定的數(shù)． 有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理指數(shù)冪． 即：（1）； （2）； （3）． 3．變式操作，鞏固概念 表示一個確定的實數(shù)．按照前面的“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想，請你利用計算器（或者計算機）進行實際操作，感受“逼近”過程． 操作過程： 取的不足近似值或過剩近似值： 1．4，1．41，1．414，1．4142，1．41421……（的不足近似值） 1．5，1．42，1．415，1．4143，1．41422……（的過剩近似值） 可以得到，，，，……和，，，，……，當?shù)牟蛔憬浦祻男∮诘姆较虮平鼤r，的近似值從小于的方向逼近，當?shù)倪^剩近似值從大于的方向逼近時，的近似值從大于的方向逼近． 4．本課小結(jié) 本節(jié)課我們通過“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想引進無理數(shù)指數(shù)冪．像分數(shù)指數(shù)冪一樣，我們研究的無理數(shù)指數(shù)冪（其中是無理數(shù)）的底數(shù)也是正數(shù)． 我們把指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到冪指數(shù)為實數(shù)的情形．這樣前面提到的對任意的都是有意義的． 5．布置作業(yè) 課本第59頁習題2.1A組第4（5）——（8）題． 第四課時 2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1） 復習導入 通過提問導入本節(jié)課主要學習內(nèi)容． 問：函數(shù)（）的解析式與函數(shù)的解析式有什么共同特征？ 通過師生討論，歸納概括得出： 如果用字母代替數(shù)和1.073，那么以上兩個函數(shù)的解析式都可以表示為的形式． 問：底數(shù)的取值范圍怎么規(guī)定合適？ 提示：當時，，所以規(guī)定；當時，如中，指數(shù)取時，就沒有意義．時，當時，恒為0；當時，無意義． 結(jié)論：規(guī)定，且． 一、指數(shù)函數(shù) 1．指數(shù)函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中是自變量，函數(shù)的定義域是． 課堂例題 例1 當動植物體死亡以后，體內(nèi)的濃度就要因為它的衰變發(fā)生減少，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．這樣,人們就可以根據(jù)生物體中含有的的多少來測定其生存的年代．考古學家得到一塊魚化石, 根據(jù)魚化石中的的殘留量，考古學家推斷這群魚是6300多年前死亡的，求這塊魚化石中的殘留量約占原始含量的多少？ 解　設魚化石中的原始含量為1， 1年后殘留量為，由于死亡機體中原有的按確定的規(guī)律衰減，所以生物體的死亡的年數(shù)與其體內(nèi)每克組織的含量有如下關(guān)系： 死亡年數(shù) 1 2 3 … … 含量 … … 因此，生物死亡年后體內(nèi)的含量 由于大約每經(jīng)過5730年，死亡生物體內(nèi)的含量衰減為原來的一半，所以 ， 于是 ， 這樣生物死亡年后體內(nèi)含量． 當時，利用計算器， 得到． 即這塊魚化石中的殘留量約占原始含量的． 下面我們來研究指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)． 2．指數(shù)函數(shù)的圖象 在同一坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象（可用描點法，也可借助科學計算器或計算機）． （1） （2） （3） （4） （5） 操作過程：（1）先畫的圖象，再畫的圖象，再單獨觀察兩個函數(shù)的圖象特征，再比較兩個圖象的關(guān)系． （2）進行適當討論之后，再畫和的圖象，并與前面觀察所得結(jié)論進行比較． （3）畫的圖象． （4）通過觀察以上函數(shù)的圖象的特征，歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)． 3．指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 一般地，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表所示． 圖 象 定義域 值域 性 質(zhì) （1）過定點，即時，． （2）在上是增函數(shù) （2）在上是減函數(shù) 例2 （課本第56頁例6）已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，p），求，，的值． 問：請你說出解決本例的步驟和過程．明確底數(shù)是確定指數(shù)函數(shù)的要素． 4．本課小結(jié) 本節(jié)課主要學習了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．投影出一般的指數(shù)函數(shù)的特征圖象，并再次顯示指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)． 5．布置作業(yè) 課本第59頁習題2.1A組第5、6題． 第五課時 2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（2） 復習導入 通過提問復習上節(jié)課主要學習內(nèi)容． 問：我們是怎樣研究指數(shù)函數(shù)的？ 通過一般的指數(shù)函數(shù)的特征圖象，總結(jié)其單調(diào)性和特殊點． 新課進展 二、指數(shù)函數(shù)的應用 課堂例題 例1 （課本第57頁例7） 引導學生利用函數(shù)單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系可以判斷相應函數(shù)值的大小關(guān)系． 例2 （課本第57頁例8） 結(jié)合本例給出第58頁的“探究”，目的是讓學生體會指數(shù)增長，初步感受“指數(shù)爆炸”的含義，另外這里可以適當插入思想教育． 課堂練習 1．比較下列各題中兩個數(shù)的大?。? （1）； （2）； （3）． 解 （１）考察指數(shù)函數(shù)，由于底數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)． ∵， ∴． （2）考察指數(shù)函數(shù)，由于底數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)． ∵， ∴． （3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知 ，， 即，∴． 2．（1）已知，試比較的大??； （2）已知，求實數(shù)的取值范圍． 解 （１）考察指數(shù)函數(shù)，由于底數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)． ∵， ∴． （2）考察指數(shù)函數(shù)，由于底數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)． ∵，，， ∴， ∴，即的取值范圍是． 布置作業(yè) 課本第59頁習題2.1A組第7、8、9題． 第六課時 2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（3） 復習導入 通過提問復習前面5節(jié)課主要學習內(nèi)容． 問1：我們按照怎樣的順序擴充指數(shù)及其運算？ 答：從具體的實際問題引出指數(shù)的取值范圍應進行必要的擴充，先把整數(shù)指數(shù)冪擴充到分數(shù)指數(shù)冪，再進一步擴充到無理指數(shù)冪． 在擴充過程中整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍然保留，但分數(shù)指數(shù)冪的意義以及指數(shù)的運算性質(zhì)中的限制條件“”是必不可少的． 問2：對于指數(shù)函數(shù)，你認為需要注意哪些方面？ 答：（1）底數(shù)的取值有范圍限制：且； （2）有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實際上卻不是．例如（且，），（且，）． 有些函數(shù)看起來不像是指數(shù)函數(shù)，實際上卻是．例如（且）． 形如（且，）的函數(shù)是一種指數(shù)型函數(shù)，上節(jié)課我們遇到的（）模型，就是此類型． （3）指數(shù)函數(shù)從大的來說按照底數(shù)分為兩類：和．不要混淆這兩類函數(shù)的性質(zhì)． （4）函數(shù)的圖象與（且）的圖象關(guān)于軸對稱，這是因為點與點關(guān)于軸對稱．根據(jù)這種對稱性就可以通過函數(shù)的圖象得到的圖象． （5）利用指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)比較大小，解決的方法主要是：抓底看增減進行比較．對于一般的字母底數(shù)要運用分類討論的思想解決問題． 教學實施過程中師生一道完成歸納和總結(jié)． 新課進展 課堂例題 例1 解決下面問題： 1． 已知指數(shù)函數(shù)是上的單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍. 2． 求的值: (1); (2). 3． 求的取值范圍：(1); (2); (3). [設計說明]:通過三個簡單練習來鞏固“指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”，尤其是單調(diào)性；同時為本節(jié)課利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決實際問題埋下伏筆. C 例2 在抗擊“SARS”中，某醫(yī)藥研究所開發(fā)出防治“SARS”的M、N兩種同類型新藥.據(jù)監(jiān)測,如果成人按規(guī)定的劑量服用,服用兩種藥物后每毫升血液中的含藥量(微克)與服藥后的時間(小時)之間分別近似滿足右圖所示的曲線，其中是線段,曲線是型如的函數(shù)圖像. C (1) 分別寫出服用兩種藥后關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式; (2) 據(jù)測定,每毫升血液中含藥量不少于2微克時對治療疾病有效，則兩種藥物中哪種藥的藥效持續(xù)時間較長？ (3) 假如兩位病人在同一時刻分別服用這兩種藥物，則何時兩位病人每毫升血液中含藥量相等?何時開始,服用M藥的病人每毫升血液中含藥量較高？ 解：（1）M藥，N藥. [設計說明]:本例的設計意圖：根據(jù)圖像信息確定數(shù)學模型中的參數(shù)，這個環(huán)節(jié)由學生板演. （2）借助函數(shù)圖像，對于M藥，持續(xù)時間為小時；對于N藥，持續(xù)時間約為小時，故N藥的持續(xù)時間較長. [設計說明]:此處是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決實際問題.對于N藥,不需要知道第2次含藥量為2毫克的時刻值,只需要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,明確這個時刻應在2——3之間即可.由此即可判斷出N藥的持續(xù)時間在(小時)到(小時)之間.在判斷出N藥持續(xù)時間長這個結(jié)論后，還可以順勢指出N藥比較好，因為見效快、藥效持續(xù)時間長. （3）令,即時兩位病人的血液中含藥量相等. 顯然,當時,服用M藥的含藥量較低;當時,令,即3小時后服用M藥的含藥量高. [設計說明]:這里重點研究兩個不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系.學生指出:當時圖象在圖象上方,此時應啟發(fā)學生:如何能保證兩個函數(shù)圖象在沒有交點?接著與開始時的練習題3呼應. [設計說明]:在此處對問題稍作發(fā)散引申,主要是深化學生對數(shù)形結(jié)合思想的認識,從一定程度上起到了培養(yǎng)學生思維嚴密性的作用. 思考：1.假如某病人早上6點第一次服用M藥,為了保持每毫升血液中不少于2微克的含藥量，第二次服藥時間應該在當天幾點鐘? 分析：對任意恒成立,即對任意恒成立.研究兩個函數(shù)與的圖象交點可以得到一個直觀理解.但是利用圖象并不一定準確，這個問題留作課后思考. [設計說明]:這個思考題有較大難度,以高一學生的認知水平是很難解決的,但這種問題可以激發(fā)學有余力的學生學習數(shù)學的好奇心；在提倡研究性學習的今天，該問題也不失為一個值得思索的研究題材,而在課堂教學中挖掘研究課題不正是我們在新課程標準下開展研究性學習的良好途徑么？ 2．外來物種水葫蘆在1901年作為觀賞植物引入中國，但是到了100年后的今天，水葫蘆已經(jīng)到了一發(fā)而不可收拾的地步了．水葫蘆每5天就繁殖1倍，試建立水葫蘆的數(shù)量關(guān)于時間變量的函數(shù)關(guān)系式． 本節(jié)課我們通過對一類藥物殘留量問題的探究,學習了如何根據(jù)實際問題建立指數(shù)函數(shù)模型、如何利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決實際問題，同時也對數(shù)形結(jié)合的思想方法有了更深的認識.當然，指數(shù)函數(shù)的應用中還有很多問題值得我們繼續(xù)探究. 布置作業(yè) 課本第82頁復習參考題A組第1、2、7、9題．