2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.2 圓的一般方程教案 新人教B版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.2 圓的一般方程教案 新人教B版必修2教學(xué)分析教材利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出了圓的一般方程,并討論了二元二次方程與圓的關(guān)系,值得注意的是在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析圓的兩種方程形式的特點(diǎn)和各自適用的范圍三維目標(biāo)1掌握圓的一般方程的特點(diǎn),培養(yǎng)分類討論的數(shù)學(xué)思想2會(huì)求圓的方程,提高分析問題、解決問題的能力重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):圓的一般方程及其與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化教學(xué)難點(diǎn):對條件“D2E24F0”的理解課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.寫出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2.將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理,得x2y22ax2bya2b2r20.如果設(shè)D2a,E2b,F(xiàn)a2b2r2,得到方程x2y2DxEyF0,這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標(biāo)準(zhǔn)方程形式能不能說方程x2y2DxEyF0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課學(xué)習(xí)的內(nèi)容設(shè)計(jì)2.問題:求過三點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩,用直線的知識(shí)解決又有其簡單的局限性,那么這個(gè)問題有沒有其他解決方法呢?帶著這個(gè)問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式推進(jìn)新課(1)前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法?,(2)這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢?,(3)給出式子x2y2DxEyF0,請你利用配方法化成不含x和y的一次項(xiàng)的式子.,(4)把式子(xa)2(yb)2r2與x2y2DxEyF0配方后的式子比較,得出x2y2DxEyF0表示圓的條件.,(5)對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點(diǎn)?討論結(jié)果:(1)以前學(xué)習(xí)過直線,我們首先學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式,最后學(xué)習(xí)一般式大家知道,我們認(rèn)識(shí)一般的東西,總是從特殊入手如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、)展開整理而得到的(2)我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試!我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,把標(biāo)準(zhǔn)形式展開,整理得到,也是從特殊到一般(3)把式子x2y2DxEyF0配方得(x)2(y)2.(4)(xa)2(yb)2r2中,r0時(shí)表示圓,r0時(shí)表示點(diǎn)(a,b),r0時(shí),表示以(,)為圓心,為半徑的圓;當(dāng)D2E24F0時(shí),方程僅有一組實(shí)數(shù)解x,y,即只表示一個(gè)點(diǎn)(,);當(dāng)D2E24F0時(shí),它表示的曲線才是圓因此x2y2DxEyF0表示圓的條件是D2E24F0.我們把形如x2y2DxEyF0表示圓的方程稱為圓的一般方程(5)圓的一般方程形式上的特點(diǎn)x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項(xiàng)圓的一般方程中有三個(gè)待定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定了與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯思路1例1將下列圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,并寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑:(1)x2y24x6y120;(2)4x24y28y4y150.解:(1)對方程左邊配方,方程化為(x2)2(y3)225.所以圓心的坐標(biāo)為(2,3),半徑為5.(2)方程兩邊除以4,得x2y22xy0.方程左邊配方,得(x1)2(y)25.所以圓心的坐標(biāo)為(1,),半徑為.變式訓(xùn)練1圓x2y24x8y0的圓心坐標(biāo)是_,半徑r_.答案:(2,4)22圓x2y2Dx4y10的半徑r4,則D_.答案:2例2求過三點(diǎn)A(0,5),B(1,2),C(3,4)的圓的方程解:設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0.根據(jù)題設(shè)條件,用待定系數(shù)法確定D,E,F(xiàn).因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C的圓上,所以它們的坐標(biāo)是方程的解,把它們的坐標(biāo)依次代入上面的方程,整理得到關(guān)于D,E,F(xiàn)的三元一次方程組解這個(gè)方程組,得于是得到所求圓的方程x2y26x2y150.點(diǎn)評(píng):我們也可以設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2.同樣,根據(jù)已知條件可以列出三個(gè)未知數(shù)的方程組通過解方程組,求出a,b,r.那樣做,會(huì)有較大的運(yùn)算量變式訓(xùn)練求過三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑和圓心坐標(biāo)解:設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0,由O,M1,M2在圓上,則有解得D8,E6,F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y28x6y0,即(x4)2(y3)252.所以圓心坐標(biāo)為(4,3),半徑為5.例3已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)距離的比為的點(diǎn)的軌跡,求這個(gè)曲線的方程,并畫出曲線解:在給定的坐標(biāo)系中,設(shè)M(x,y)是曲線上的任意一點(diǎn),點(diǎn)M在曲線上的條件是.由兩點(diǎn)之間的距離公式,上式用坐標(biāo)表示為,兩邊平方并化簡,得曲線方程x2y22x30,將方程配方,得(x1)2y24.所以所求曲線是圓心為C(1,0),半徑為2的圓(如下圖)點(diǎn)評(píng):到兩定點(diǎn)A(a,b),B(c,d)距離的比為(0)的點(diǎn)的軌跡為C,當(dāng)1時(shí),C為直線即線段AB的垂直平分線;當(dāng)1或00,即m15.由韋達(dá)定理因?yàn)镻RQR,所以kPRkQR1.所以1,即(x11)(x21)(y11)(y21)0,即x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)20.因?yàn)閥13,y23,所以y1y2(3)(3)9(x1x2)9,y1y26.代入,得x1x250,即(m12)50.所以m10,適合m15.所以實(shí)數(shù)m的值為10.本節(jié)課學(xué)習(xí)了:圓的一般方程,軌跡方程的求法本節(jié)練習(xí)B1,2題這是一節(jié)介紹新知識(shí)的課,而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識(shí)的形成過程因此,在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí),力求“過程、結(jié)論并重,知識(shí)、能力、思想方法并重”在展現(xiàn)知識(shí)的形成過程中,盡量避免學(xué)生被動(dòng)接受,引導(dǎo)學(xué)生探索,重視探索過程一方面,把直線一般方程探求過程進(jìn)行回顧、類比,學(xué)生從中領(lǐng)會(huì)探求方法;另一方面,“把標(biāo)準(zhǔn)方程展開認(rèn)識(shí)一般方程”這一過程充分運(yùn)用了“通過特殊認(rèn)識(shí)一般”的科學(xué)思想方法同時(shí),通過類比進(jìn)行條件的探求“D2E24F”與“”(判別式)類比在整個(gè)探求過程中充分利用了“舊知識(shí)”及“舊知識(shí)的形成過程”,并用它探求新知識(shí)這樣的過程,既是學(xué)生獲得新知識(shí)的過程,更是培養(yǎng)學(xué)生能力的過程備選習(xí)題1若方程x2y2xya0表示圓,則a的取值范圍是()Aa BaCR Da0.解之,可得2a0,從而f(x,y)f(x0,y0)x2y2DxEyFxyDx0Ey0F0,過點(diǎn)A(x0,y0)與圓C同心的圓答案:C4判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程?如果是,請求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑(1)4x24y24x12y90;(2)4x24y24x12y110.解:(1)由4x24y24x12y90,得D1,E3,F(xiàn),而D2E24F19910,所以方程4x24y24x12y90表示圓的方程,其圓心為(,),半徑為;(2)由4x24y24x12y110,得D1,E3,F(xiàn),D2E24F191110,所以方程4x24y24x12y110不表示圓的方程點(diǎn)評(píng):對于形如Ax2By2DxEyF0的方程判斷其是否表示圓,先化為x2y2DxEyF0的形式,再利用條件D2E24F與0的大小判斷,不能直接套用另外,直接配方也可以判斷5已知P(2,0)、Q(8,0),點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離是它到點(diǎn)Q距離的,求點(diǎn)M的軌跡方程,并求軌跡上的點(diǎn)到直線l:8xy10的最小距離解:設(shè)M(x,y),則|MP|,|MQ|,由題意得,|MP|MQ|,.化簡并整理,得(x)2y2.所求軌跡是以(,0)為圓心,為半徑的圓,圓心到直線l的距離為.圓上的點(diǎn)到直線l的最小距離為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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