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2019-2020年高中數(shù)學 2.3空間向量運算的坐標表示教案 北師大選修2-1 課題 向量的坐標 教學目的要求 1．理解空間向量與有序數(shù)組之間的1-1對應關(guān)系 2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐標表示 主要內(nèi)容與時間分配 1．投影與投影定理 25分鐘 2．分向量與向量的坐標 30分鐘 3．模與方向余弦的坐標表示 35分鐘 重點難點 1．投影定理 2．分向量 3．方向余弦的坐標表示 教學方法和手段 啟發(fā)式教學法，使用電子教案 1．幾個概念 (1) 軸上有向線段的值：設(shè)有一軸，是軸上的有向線段，如果數(shù)滿足，且當與軸同向時是正的，當與軸反向時是負的，那么數(shù)叫做軸上有向線段的值，記做AB，即。設(shè)e是與軸同方向的單位向量，則 (2) 設(shè)A、B、C是u軸上任意三點，不論三點的相互位置如何，總有 (3) 兩向量夾角的概念：設(shè)有兩個非零向量和b，任取空間一點O，作，，規(guī)定不超過的稱為向量和b的夾角，記為 (4) 空間一點A在軸上的投影：通過點A作軸的垂直平面，該平面與軸的交點叫做點A在軸上的投影。 (5) 向量在軸上的投影：設(shè)已知向量的起點A和終點B在軸上的投影分別為點和，那么軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影，記做。 2．投影定理 性質(zhì)1：向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦： 性質(zhì)2：兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影的和，即 性質(zhì)3：向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即 二、向量在坐標系上的分向量與向量的坐標 1．向量在坐標系上的分向量與向量的坐標 通過坐標法，使平面上或空間的點與有序數(shù)組之間建立了一一對應關(guān)系，同樣地，為了溝通數(shù)與向量的研究，需要建立向量與有序數(shù)之間的對應關(guān)系。 設(shè)a =是以為起點、為終點的向量，i、j、k分別表示 圖7－5 沿x，y，z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標系的基本單位向量，由圖7－5，并應用向量的加法規(guī)則知： i + j+k 或 a = ax i + ayj + azk 上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。 有序數(shù)組ax、ay、az與向量a一一對應，向量a在三條坐標軸上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐標，并記為 a ＝ {ax，ay，az}。 上式叫做向量a的坐標表示式。 于是，起點為終點為的向量可以表示為 特別地，點對于原點O的向徑 注意：向量在坐標軸上的分向量與向量在坐標軸上的投影有本質(zhì)區(qū)別。 向量a在坐標軸上的投影是三個數(shù)ax、ay、az， 向量a在坐標軸上的分向量是三個向量ax i 、 ayj 、 azk. 2．向量運算的坐標表示 設(shè)，即， 則 (1) 加法： ◆ 減法： ◆ 乘數(shù)： ◆ 或 ◆ 平行：若a≠0時，向量相當于，即 也相當于向量的對應坐標成比例即 三、向量的模與方向余弦的坐標表示式 設(shè)，可以用它與三個坐標軸的夾角（均大于等于0，小于等于）來表示它的方向，稱為非零向量a的方向角，見圖7－6，其余弦表示形式稱為方向余弦。 圖 7－6 1． 模 2． 方向余弦 由性質(zhì)1知，當時，有 ◆ 任意向量的方向余弦有性質(zhì)： ◆ 與非零向量a同方向的單位向量為： 3． 例子：已知兩點M1(2,2,)、M2(1,3,0)，計算向量的模、方向余弦、方向角以及與同向的單位向量。 解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-} ，， ，， 設(shè)為與同向的單位向量，由于 即得