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2019-2020年高中數(shù)學 3.4.1 基本不等式 的證明優(yōu)秀教案 新人教A版必修5 一、課外閱讀 算術平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)的一種證明方法(局部調整法) (1)設a1，a2，a3，…，a n為正實數(shù)，這n個數(shù)的算術平均值記為A，幾何平均值記為G，即，即A≥G,當且僅當a1＝a2＝…＝an時，A＝G.特別地當n＝2時，,當n＝3時，. (2)用局部調整法證明均值不等式A≥G.設這n個正數(shù)不全相等.不失一般性，設0＜a1≤a2≤…≤a n，易證a 1＜A＜a n，且a1＜G＜an.在這n個數(shù)中去掉一個最小數(shù)a1，將a 1換成A，再去掉一個最大數(shù)an，將an換成a1＋an－A，其余各數(shù)不變，于是得到第二組正數(shù)：A，a2，a3，…，a n－1，a1＋a n－A.這一代換具有下列性質：①兩組數(shù)的算術平均值不變，設第二組數(shù)的算術平均值為A1，那么A1＝=A,②兩組數(shù)的幾何平均值最大.設第二組數(shù)的幾何平均值為G1，則G1＝∵A(a1＋an－A)－a 1an＝(A－a1)(a n－A),由a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0,則A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa 2a 3…a n－1(a1＋a n－A)＞a1a 2…an－1＋a n.G1＞G.若第二組數(shù)全相等，則A1＝G 1，于是A＝A1＝G 1＞G證明完畢.若第二組數(shù)不全相等，再作第二次替換.仍然是去掉第二組數(shù)中的最小數(shù)b1和最大數(shù)bn，分別用A1(即A)和b1＋bn－A代替，因為有b1＜A1＜b n且A1＝A.因而第二組數(shù)中的A不是最小數(shù)b1，也不是最大數(shù)bn，不在去掉之列，在替換中不會被換掉，而只會再增加，如此替換下去，每替換一次，新數(shù)中至少增加一個A，經(jīng)過n－2次替換，新數(shù)中至少出現(xiàn)n－2個A，最多經(jīng)過n－1次替換，得到一個全部是A的新數(shù)組.此時新數(shù)組的算術平均值等于幾何平均值.在每次替換中，數(shù)組的算術平均值不變，始終等于A，而幾何平均值不斷增大，即G＜G 1＜G2＜…＜G k，而Gk＝Ak＝A，因而G≤A成立. 二、課外拓展 平均值不等式：平均不等式是最重要而基本的不等式之一，應用極其廣泛，如能靈活運用，將產(chǎn)生意想不到的效果，這類試題在數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn).請同學們課后查找資料，閱讀此四個不等式的證明過程. 平均值定理：設n個正數(shù)a1，a2，…，an，記 調和平均 幾何平均， 算術平均， 平方平均. 這4個平均有如下關系：Hn≤Gn≤An≤Q n,等號成立的充要條件都是a1=a 2=…=a n.