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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一課時(shí) 角的概念的推廣(一)教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 推廣角的概念，引入正角、負(fù)角、零角的定義，象限角的概念，終邊相同的角的表示方法；理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義，掌握所有與α角終邊相同的角(包括α角)的表示方法；樹立運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，理解靜是相對的，動是絕對的，并由此深刻理解推廣后的角的概念. 教學(xué)重點(diǎn)： 理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義，掌握終邊相同的角的表示方法. 教學(xué)難點(diǎn)： 終邊相同的角的表示. 教學(xué)過程： Ⅰ.課題導(dǎo)入 有一塊以點(diǎn)O為圓心的半圓空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn)B、C落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長為a，如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對稱的點(diǎn)A、D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大? 分析：設(shè)OA＝t（0＜t＜a)，矩形的面積為S，則S＝２t，求S的最值即可. 將S＝2t兩邊平方，得S2＝4t2（a2－t2）.令y＝S2，x＝t2，則上式化為y＝4x（a2－x）， 是以x為自變量的二次函數(shù)，其最值不難求得. 這種轉(zhuǎn)化的方法，是一種常用的解題策略，同學(xué)們要切記并靈活運(yùn)用，且將此問題的解求出來，不過請同學(xué)們注意，求出的y的最值是不是就是矩形面積的最值呢？相應(yīng)的x的值是不是就是A、D的位置呢? 不是.求出y與x的值后，還須進(jìn)一步確定S、t的值，才能確定A、D的位置.因?yàn)閥、x、S、t都是正數(shù)，根據(jù)y與S的關(guān)系、x與t的關(guān)系，容易確定S、t的值. 分析二：設(shè)矩形的面積為S，∠AOB＝θ（0＜θ＜90），則AB＝asinθ， OA＝acosθ，S＝asinθ2acosθ＝a22sinθcosθ.求S的最值即可. 這個函數(shù)式的最值我們會求!但現(xiàn)在還不行，待我們再學(xué)習(xí)一些基礎(chǔ)知識之后，這個問題便可迎刃而解，并且這個辦法比法一要簡便的多，下面我們就來學(xué)習(xí)、研究與我們生活密切相關(guān)的、解決問題十分便利的、并且在各門科學(xué)技術(shù)中有著廣泛應(yīng)用的重要的基礎(chǔ)知識(板書課題). Ⅱ.講授新課 我們知道，角可以看作平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形，在P5圖中，一條射線的端點(diǎn)是O，它從起始位置OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成了一個角α，點(diǎn)O是角的頂點(diǎn)，射線OA、OB分別是角α的始邊和終邊. 我們規(guī)定：一條射線繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角. 為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以簡記成“α”. 體操中轉(zhuǎn)體720(即轉(zhuǎn)體兩周).轉(zhuǎn)體1080(即轉(zhuǎn)體三周)的動作名稱；緊固螺絲時(shí)，扳手旋轉(zhuǎn)所形成的角. ［師］這就是說角度可以不限于0～３60范圍內(nèi)，如750(它實(shí)際上是射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)過兩圈再繼續(xù)逆時(shí)針轉(zhuǎn)了30)；210(射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了210)，負(fù)角β＝－150(射線OA繞端點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了150)，γ＝－660(射線OA繞端點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過一圈后再繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)了300). 如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角，也就是說，零角的始邊與終邊重合，如果α是零角，那么α＝0. 角的概念經(jīng)過這樣推廣后，就包括正角、負(fù)角、零角. 今后，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角. 例如30、390、－330都是第一象限角， 300、－60都是第四象限角，585角是第三象限角，如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任一象限，稱為軸線角. 在直角坐標(biāo)系內(nèi)，使三角板角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，之后，提問學(xué)生這是第幾象限的角，是多少度的角，我們能否把這些角用一個集合表示出來呢?比如說，我們把這些角記為β，把β的集合記為S，那么S可以怎樣表示呢? S＝｛β｜β＝k360＋60，k∈Z｝ 容易看出，所有與60角終邊相同的角，連同60角在內(nèi)，都是集合S的元素；反過來，集合S的任一元素，即集合S中的任意一個角顯然與60角終邊相同. 我們再來考慮一下，是不是任意一個角，都與0到360內(nèi)的某一個角終邊相同呢? 任意一個角都可以表示成0到360間的某一角與k（k∈Z）個周角的和，那么大家再看一下，角390、－330、585、－60它們分別與0到360間的哪個角終邊相同，用0到360的角表示它們該怎樣表示呢? ［生］390＝360＋30 －330＝－360＋30 585＝360＋225 －60＝－360＋300 ［師］一般地，我們有： 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可構(gòu)成一個集合 S＝｛β｜β＝k360＋α，k∈Z｝ 即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成α與整數(shù)個周角的和. Ⅲ.例題分析 ［例1］在0到360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角. (1)－120 （2）240 （3）－95012′ 解：(1)－120＝－360＋240 所以與－120角終邊相同的角是240角，它是第三象限角. (2)640＝360＋280 所以與640角終邊相同的角是280角，它是第四象限角. (3)－95012′＝（－3）360＋12948′ 所以與－95012′終邊相同的角是12948′，它是第二象限角. Ⅳ.課堂練習(xí) P7練習(xí) 1、2、3、4. Ⅴ.課時(shí)小結(jié) 為了解決實(shí)際問題的需要，本節(jié)課我們開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科中的一門基礎(chǔ)知識：三角函數(shù).本節(jié)課我們學(xué)習(xí)推廣了角的概念，學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角、零角的定義，象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法，注意：正角、負(fù)角是用射線繞端點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方向定義的，零角是射線沒有做任何旋轉(zhuǎn).一個角是第幾象限角，關(guān)鍵是看這個角的終邊落在第幾象限，終邊相同的角的表示有兩方面的內(nèi)容： 一、與角α終邊相同的角，這些角的集合為S＝｛β｜β＝k360＋α，k∈Z｝； 二、在0到360內(nèi)找與已知角終邊相同的角α，其方法是，用所給角除以360，所得的商為k，余數(shù)為α(α為正數(shù))，α即為所找的角. Ⅵ.課后作業(yè) （一）P10習(xí)題1.1 1、2、5、10. （二）預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P6例2 角的概念的推廣(一) 1．下列命題中的真命題是 （ ） A.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角 B.第一象限的角是銳角 C.第二象限的角比第一象限的角大 D.角α是第四象限角2kπ－＜α＜2π(k∈Z) 2．A＝{小于90的角}，B＝{第一象限的角}，則A∩B等于 （ ） A.{小于90的角} B.{第一象限的角} C.{銳角} D.以上都不對 3．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90的角}，下列四個命題：①A＝B＝C ②AC ③CA ④A∩C＝B，其中正確的命題個數(shù)為 （ ） A.0個 B.2個 C.3個 D.4個 4．若α是第一象限角，則下列各角中第四象限角的是 （ ） A.90－α B.90+α C.360－α D.180+α 5．若－540＜α＜－180且α與40角的終邊相同，則α＝ . 6．終邊落在x軸負(fù)半軸的角α的集合為 . 7．與－1178的終邊相同且絕對值最小的角是 . 8．經(jīng)過5小時(shí)25分鐘，時(shí)鐘的時(shí)針和分針各轉(zhuǎn)了多少度？ 9．求－720和360之間與－756角終邊相同的角. 10．求與－1692終邊相同的最大負(fù)角是多少？ 角的概念的推廣(一)答案 1．D 2．D 3．A 4．C 5．－320 6．180＋ k360（k∈Z） 7．－98 8．分析：依據(jù)已知條件先求出時(shí)針和分針每小時(shí)轉(zhuǎn)動的角度，進(jìn)而求出問題的結(jié)果. 解：∵時(shí)針12小時(shí)轉(zhuǎn)－360， ∴時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)－36012＝－30. ∴時(shí)針轉(zhuǎn)動的角度為：5（－30)＝－162.5， ∵分針每小時(shí)轉(zhuǎn)－360，∴分針轉(zhuǎn)動的角度為 5（－360)＝－1950 9．分析：依據(jù)已知條件先寫出終邊相同的角的一般形式，再通過解不等式求出k的值. 解：∵－765＝－2360－36 ∴與－765角終邊相同的角為 α＝k360－36（k∈Z)(*) ∴－720＜k360－36＜360（k∈Z）. ∴－＜k＜ (k∈Z） ∴k＝－1，0，1 分別代入（*）式得 α＝－396，－36，324 ∴－396，－36，324為所求的角. 10．與－1692終邊相同的角為α＝－1692+k360，k∈Z，當(dāng)k＝4時(shí)， 取得最大負(fù)角－252.