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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 第七課時 二倍角的正弦、余弦、正切（一）教案 蘇教版必修3 教學(xué)目標(biāo)： 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式進行簡單的求值、化簡、恒等證明；引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生體會化歸這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中所起的作用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識. 教學(xué)重點： 二倍角公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用. 教學(xué)難點： 理解倍角公式，用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù). 教學(xué)過程： Ⅰ.課題導(dǎo)入 前一段時間，我們共同探討了和角公式、差角公式，今天，我們繼續(xù)探討一下二倍角公式.我們知道，和角公式與差角公式是可以互相化歸的.當(dāng)兩角相等時，兩角之和便為此角的二倍，那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢?請同學(xué)們試推. 先回憶和角公式 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 當(dāng)α＝β時，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα 即：sin2α＝2sinαcosα(S2α) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 當(dāng)α＝β時cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α 即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α) tan(α＋β)＝ 當(dāng)α＝β時，tan2α＝ Ⅱ.講授新課 同學(xué)們推證所得結(jié)果是否與此結(jié)果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α還可以變形為：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α 同學(xué)們是否也考慮到了呢? 另外運用這些公式要注意如下幾點： (1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有當(dāng)α≠＋kπ及α≠＋ (k∈Z)時才成立，否則不成立(因為當(dāng)α＝＋kπ，k∈Z時，tanα的值不存在；當(dāng)α＝＋，k∈Z時tan2α的值不存在). 當(dāng)α＝＋kπ(k∈Z)時,雖然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，這時求tan2α的值可利用誘導(dǎo)公式： 即：tan2α＝tan2(＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0 (2)在一般情況下，sin2α≠2sinα 例如：sin＝≠2sin＝1；只有在一些特殊的情況下，才有可能成立［當(dāng)且僅當(dāng)α＝kπ(k∈Z)時，sin2α＝2sinα＝0成立］. 同樣在一般情況下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα (3)倍角公式不僅可運用于將2α作為α的2倍的情況，還可以運用于諸如將4α作為2α的2倍，將α作為 的2倍，將 作為 的2倍，將3α作為 的2倍等等. 下面，來看一些例子： ［例1］已知sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 解：∵sinα＝，α∈(，π) ∴cosα＝－＝－＝－ ∴sin2α＝2sinαcosα＝2(－)＝－， cos2α＝1－2sin2α＝1－2()2＝， tan2α＝＝－＝－. 練習(xí)題： 1.已知cosα＝m，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 解：∵cosα＝m，α在第二象限. ∴sinα＝＝ ∴sin2α＝2sinαcosα＝2m＝2m cos2α＝2cos2α－1＝2m2－1 tan2α＝＝ 或由tanα＝＝ tan2α＝＝ 2.化簡cos(θ＋15)＋cos(θ－15)－cos2θ 分析：由于觀察到此式中的角出現(xiàn)了θ＋15、θ－15與2θ，另外還出現(xiàn)了二次式，所以要用二倍角余弦公式的變形式達到降“次”及統(tǒng)一角的目的. 解：cos(θ＋15)＋cos(θ－15)－cos2θ ＝＋－cos2θ ＝1＋［cos(2θ＋30)＋cos(2θ－30)］－cos2θ ＝1＋［cos2θcos30－sin2θsin30＋cos2θcos30＋sin2θsin30］－cos2θ ＝1＋2cos2θcos30－cos2θ ＝1＋cos2θ－cos2θ＝1 評述：二倍角公式的等價變形： sin2α＝，cos2α＝，可以進行“升(降)冪”的變換，即可將“二次式”與“一次式”互化. ［例2］若270＜α＜360，化簡： 解：∵cos2α＝2cos2α－1，cosα＝2cos2－1 ∴ ＝＝ 又∵270＜α＜360 135＜＜180 ∴原式＝＝＝＝－cos ［例3］求sin10sin30sin50sin70的值. 解：sin10＝cos80 sin50＝cos40sin70＝cos20 ∴原式＝cos80cos40cos20 ＝＝ ＝＝＝ ［例4］求證：8cos4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3 證明：8cos4θ＝8(cos2θ)2＝8()2＝2(cos22θ＋2cos2θ＋1) ＝2()＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3 Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P108 1、2、3、4. Ⅳ.課時小結(jié) 理解并掌握二倍角公式以及推導(dǎo)，能正確運用二倍角的正弦、余弦、正切公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值與恒等式證明. 二倍角公式是由和角公式由一般化歸為特殊而來的，要注重這種基本數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P110習(xí)題 1、2、3、4.