2019-2020年高中數學 第三章《函數的極值與導數》教案 新人教A版選修1-1.doc
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2019-2020年高中數學 第三章函數的極值與導數教案 新人教A版選修1-1教學目標:1.理解極大值、極小值的概念;2.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數的極值;3.掌握求可導函數的極值的步驟;教學重點:極大、極小值的概念和判別方法,以及求可導函數的極值的步驟.教學難點:對極大、極小值概念的理解及求可導函數的極值的步驟.教學過程:創(chuàng)設情景觀察圖3.3-8,我們發(fā)現,時,高臺跳水運動員距水面高度最大那么,函數在此點的導數是多少呢?此點附近的圖像有什么特點?相應地,導數的符號有什么變化規(guī)律?放大附近函數的圖像,如圖3.3-9可以看出;在,當時,函數單調遞增,;當時,函數單調遞減,;這就說明,在附近,函數值先增(,)后減(,)這樣,當在的附近從小到大經過時,先正后負,且連續(xù)變化,于是有3.3-93.3-8對于一般的函數,是否也有這樣的性質呢?附:對極大、極小值概念的理解,可以結合圖象進行說明.并且要說明函數的極值是就函數在某一點附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出,判別極大、極小值的方法.判斷極值點的關鍵是這點兩側的導數異號新課講授一、 導入新課觀察下圖中P點附近圖像從左到右的變化趨勢、P點的函數值以及點P位置的特點oax1x2x34bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)函數圖像在P點附近從左側到右側由“上升”變?yōu)椤跋陆怠保ê瘮涤蓡握{遞增變?yōu)閱握{遞減),在P點附近,P點的位置最高,函數值最大二、學生活動 學生感性認識運動員的運動過程,體會函數極值的定義.三、數學建構x02y極值點的定義: 觀察右圖可以看出,函數在x=0的函數值比它附近所有各點的函數值都大,我們說f (0)是函數的一個極大值;函數在x=2的函數值比它附近所有各點的函數值都小,我們說f (2)是函數的一個極小值。一般地,設函數在及其附近有定義,如果的值比附近所有各點的函數值都大,我們說f ()是函數的一個極大值;如果的值比附近所有各點的函數值都小,我們說f ()是函數的一個極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱極值。取得極值的點稱為極值點,極值點是自變量的值,極值指的是函數值。請注意以下幾點:(讓同學討論)()極值是一個局部概念。由定義可知極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小。并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小。()函數的極值不是唯一的。即一個函數在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個。oax1x2x3x4bxy()極大值與極小值之間無確定的大小關系。即一個函數的極大值未必大于極小值,如下圖所示,是極大值點,是極小值點,而。()函數的極值點一定出現在區(qū)間的內部,區(qū)間的端點不能成為極值點。而使函數取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部,也可能在區(qū)間的端點。極值點與導數的關系:復習可導函數在定義域上的單調性與導函數值的相互關系,引導學生尋找函數極值點與導數之間的關系. 由上圖可以看出,在函數取得極值處,如果曲線有切線的話,則切線是水平的,從而有。但反過來不一定。若尋找函數極值點,可否只由=0求得即可?探索:x=0是否是函數=x的極值點?(展示此函數的圖形)在處,曲線的切線是水平的,即=0,但這點的函數值既不比它附近的點的函數值大,也不比它附近的點的函數值小,故不是極值點。如果使,那么在什么情況下是的極值點呢?觀察下左圖所示,若是的極大值點,則兩側附近點的函數值必須小于。因此,的左側附近只能是增函數,即,的右側附近只能是減函數,即,同理,如下右圖所示,若是極小值點,則在的左側附近只能是減函數,即,在的右側附近只能是增函數,即, oax0bxyoa x0bxy從而我們得出結論(給出尋找和判斷可導函數的極值點的方法,同時鞏固導數與函數單調性之間的關系):若滿足,且在的兩側的導數異號,則是的極值點,是極值,并且如果在兩側滿足“左正右負”,則是的極大值點,是極大值;如果在兩側滿足“左負右正”,則是的極小值點,是極小值。結論:左右側導數異號 是函數f(x)的極值點 =0 反過來是否成立?各是什么條件?點是極值點的充分不必要條件是在這點兩側的導數異號;點是極值點的必要不充分條件是在這點的導數為0.學生活動 函數y=f(x)的導數y/與函數值和極值之間的關系為(D )A、導數y/由負變正,則函數y由減變?yōu)樵?且有極大值B、導數y/由負變正,則函數y由增變?yōu)闇p,且有極大值C、導數y/由正變負,則函數y由增變?yōu)闇p,且有極小值D、導數y/由正變負,則函數y由增變?yōu)闇p,且有極大值四、數學應用oxy 例1(課本例4)求的極值 解: 因為,所以。下面分兩種情況討論:(1)當0,即,或時;(2)當0,即時.當x變化時, ,的變化情況如下表:-2(-2,2)2+00+極大值極小值因此,當時,有極大值,并且極大值為;當時,有極小值,并且極小值為。函數的圖像如圖所示。課堂訓練:求下列函數的極值 讓學生討論總結求可導函數的極值的基本步驟與方法:一般地,如果函數在某個區(qū)間有導數,可以用下面方法求它的極值: 確定函數的定義域; 求導數; 求方程=0的根,這些根也稱為可能極值點; 檢查在方程0的根的左右兩側的符號,確定極值點。(最好通過列表法)強調:要想知道 x0是極大值點還是極小值點就必須判斷 f(x0)=0左右側導數的符號例題2(案例分析)函數 在 x=1 時有極值10,則a,b的值為(C )A、 或 B、 或C、 D、 以上都不對 略解:由題設條件得: 解之得通過驗證,都合要求,故應選擇A上述解法錯誤,正確答案選C,注意代入檢驗 注意:f/(x0)=0是函數取得極值的必要不充分條件練習: 庖丁解牛篇(感受高考)1、(xx年天津卷)函數的定義域為開區(qū)間,導函數在內的圖象如圖所示,則函數在開區(qū)間內有極小值點(A )A1個 B2個 C3個D 4個注意:數形結合以及原函數與導函數圖像的區(qū)別2、已知函數在點處取得極大值,其導函數的圖象經過點,如圖所示.求:()的值; ()的值.答案 ()=1; ()例3求y=(x21)3+1的極值解:y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令y=0解得x1=1,x2=0,x3=1當x變化時,y,y的變化情況如下表-1(-1,0)0(0,1)100+0+無極值極小值0無極值當x=0時,y有極小值且y極小值=0五:回顧與小結:1、極值的判定方法; 2、極值的求法注意點:1、f /(x0)=0是函數取得極值的必要不充分條件2、數形結合以及函數與方程思想的應用3、要想知道 x0是極大值點還是極小值點就必須判斷 f(x0)=0左右側導數的符號.- 配套講稿:
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