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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《基本不等式》教案2 新人教A版必修5 授課類型：新授課 【教學(xué)目標(biāo)】 1．知識(shí)與技能：進(jìn)一步掌握基本不等式；會(huì)應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 2．過(guò)程與方法：通過(guò)兩個(gè)例題的研究，進(jìn)一步掌握基本不等式，并會(huì)用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。 3．情態(tài)與價(jià)值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。 【教學(xué)重點(diǎn)】 基本不等式的應(yīng)用 【教學(xué)難點(diǎn)】 利用基本不等式求最大值、最小值。 【教學(xué)過(guò)程】 1.課題導(dǎo)入 1．重要不等式： 如果 2．基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么 3.我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù). 成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。 2.講授新課 例1（1）用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？ （2）段長(zhǎng)為36 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少? 解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x m，寬為y m，則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為2（x+y） m。由， 可得 ， 。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=10. 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m. （2）解法一：設(shè)矩形菜園的寬為x　m，則長(zhǎng)為（36－2x）m，其中0＜x＜，其面積S＝x（36－2x）＝2x（36－2x）≤ 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝36－2x，即x＝9時(shí)菜園面積最大，即菜園長(zhǎng)9m，寬為9 m時(shí)菜園面積最大為81 m2 解法二：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x m.,寬為y m ,則2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜園的面積為xy m。由 ，可得 當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時(shí)，等號(hào)成立。 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81m 歸納：1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立. 2.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立. 例2 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？ 分析：此題首先需要由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。 解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，水池的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得 當(dāng) 因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元 評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。 歸納：用均值不等式解決此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行： (1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題； (3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值； (4)正確寫出答案. 3.隨堂練習(xí) 1.已知x≠0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2＋的值最小?最小值是多少? 2．課本第113頁(yè)的練習(xí)1、2、3、4 4.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問(wèn)題。在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時(shí)，應(yīng)注意考查下列三個(gè)條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等。 5.評(píng)價(jià)設(shè)計(jì) 課本第113頁(yè)習(xí)題[A]組的第2、4題 【板書(shū)設(shè)計(jì)】