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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二課時 兩角和與差的正弦 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 掌握S（α＋β）與S（α－β）的推導(dǎo)過程及公式特征，利用上述公式進(jìn)行簡單的求值與證明；培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 教學(xué)重點(diǎn)： 兩角和與差的正弦公式及推導(dǎo)過程. 教學(xué)難點(diǎn)： 靈活應(yīng)用所學(xué)公式進(jìn)行求值證明. 教學(xué)過程： Ⅰ.課題導(dǎo)入 首先，同學(xué)們回顧一下咱們前面所推導(dǎo)的兩角和與差的余弦公式. 首先，我們利用單位圓及兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的定義，推導(dǎo)出了兩角和的余弦公式，進(jìn)而推導(dǎo)出了兩角差的余弦公式及兩個誘導(dǎo)公式，不妨，將cos （－θ）＝sinθ中的θ用α＋β代替，看會得到什么新的結(jié)論? Ⅱ.講授新課 一、推導(dǎo)公式 由sinθ＝cos（－θ） 得：sin（α＋β）＝cos ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］ ＝cos（－α）cos β＋sin（－α）sinβ 又∵cos（－α）＝sinα，sin（－α）＝cos α ∴sin（α＋β）＝sinαcos β＋cos αsinβ 這一式子對于任意的α，β值均成立. 將此式稱為兩角和的正弦公式： S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ 在前面，當(dāng)我們推出兩角和的余弦公式C（α＋β）時，將其中的β用－β代替，便得到了兩角差的余弦公式，這里，也不妨將S（α＋β）中的β用－β代替，看會得到什么新的結(jié)論? sin［α＋（－β）］＝sinαcos（－β）＋cosαsin（－β） ＝sinαcosβ－cosαsinβ 即：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ 這一式子對于任意的α，β的值均成立. 這一式子被稱為兩角差的正弦公式： S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ下面，看他們的應(yīng)用. 二、例題講解 ［例1］利用和(差)角公式求75，15的正弦、余弦、正切值. 分析：首先應(yīng)將所求角75，15分解為某些特殊角的和或差. 解：sin75＝sin（45＋30） ＝sin45cos 30＋cos 45sin30 ＝＋＝ cos 75＝cos（45＋30）＝cos 45cos 30－sin45sin30＝ tan75＝＝＝2＋ sin15＝sin（45－30) ＝sin45cos 30－cos 45sin30＝ 或sin15＝sin（60－45） ＝sin60cos 45－cos 60sin45＝ 或sin15＝sin（90－75）＝cos 75＝ cos 15＝cos （45－30）＝cos 45cos 30＋sin45sin30＝ 或cos 15＝cos （60－45）＝ 或cos 15＝cos（90－75）＝sin75＝ tan15＝＝＝2－ ［例2］已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，β∈（π，），求sin（α－β），cos（α＋β），tan（α＋β）. 分析：觀察此題已知條件和公式C（α＋β），S（α－β），要想求sin（α－β），cos （α＋β），應(yīng)先求出cosα，sinβ. 解：由sinα＝且α∈（，π) 得：cos α＝－＝－＝－； 又由cosβ＝－且β∈（π，） 得：sinβ＝－＝－＝－. ∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ ＝（－）－（－）（－）＝ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝（－）（－）－（－）＝ 由公式S（α＋β）可得 sin（α＋β）＝ ∴tan（α＋β）＝ ＝＝ Ⅲ.課堂練習(xí) 1.求證：＝ 證明：右＝ ＝＝＝左. ∴原式得證. 2.在△ABC中，sinA＝ (0＜A＜45)，cos B＝ (45＜B＜90)，求sinC與cos C的值. 解：∵在△ABC中，∴A＋B＋C＝180 即C＝180－（A＋B） 又∵sinA＝且0＜A＜45 ∴cos A＝ ∵cos B＝且45＜B＜90 ∴sinB＝ ∴sinC＝sin［180－（A＋B）］ ＝sin（A＋B）＝sinAcos B＋cos AsinB ＝＋＝ cos C＝cos ［180－（A＋B）］ ＝－cos （A＋B）＝sinAsinB－cos Acos B＝ 對于練習(xí)1這種類型的習(xí)題，首先要仔細(xì)觀察題目的結(jié)構(gòu)，回憶有關(guān)公式，認(rèn)真分析，一般遵循由繁到簡的原則. 對于練習(xí)2這種類型的習(xí)題，要仔細(xì)觀察已知角與所求角的關(guān)系.做好準(zhǔn)備工作，然后著手求解. Ⅳ.課時小結(jié) 在前面推導(dǎo)出的C（α＋β）與cos（－α）＝sinα的基礎(chǔ)上又推導(dǎo)出兩公式，即： sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ (S（α＋β）） sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β）） 同學(xué)們要注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而熟練掌握，以便靈活應(yīng)用其解決一些相關(guān)的問題. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P100習(xí)題 1，2，3.