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2019-2020年高中數(shù)學2.2幾種常見的平面變換2.2.3變換的復合與矩陣的乘法反射變換教學案蘇教版選修4 1．反射變換矩陣和反射變換 像，，這樣將一個平面圖形F變?yōu)殛P于定直線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣，我們稱之為反射變換矩陣，對應的變換叫做反射變換．相應地，前者叫做軸反射，后者稱做中心反射．其中定直線稱為反射軸，定點稱做反射點． 2．線性變換 二階非零矩陣對應的變換把直線變?yōu)橹本€，這種把直線變?yōu)橹本€的變換稱為線性變換．二階零矩陣把平面上所有的點都變換到坐標原點(0,0)，此時為線性變換的退化情況． 點在反射變換作用下的象 [例1]　　(1)矩陣將點A(2,5)變成了什么圖形？畫圖并指出該變換是什么變換． (2)矩陣將點A(2,7)變成了怎樣的圖形？畫圖并指出該變換是什么變換． [思路點撥]　先通過反射變換求出變換后點的坐標，再畫出圖形即可看出是什么變換． [精解詳析]　 (1)因為 ＝， 即點A(2,5)經過變換后變?yōu)辄cA′(－2,5)，它們關于y軸對稱， 所以該變換為關于y軸對稱的反射變換(如圖1)． (2)因為 ＝，即點A(2,7)經過變換后變?yōu)辄cA′(7,2)，它們關于y＝x對稱， 所以該變換為關于直線y＝x對稱的反射變換(如圖2)． (1)點在反射變換作用下對應的象還是點．(2)常見的反射變換矩陣：表示關于原點對稱的反射變換矩陣，表示關于x軸對稱的反射變換矩陣，表示關于y軸對稱的反射變換矩陣，表示關于直線y＝x對稱的反射變換矩陣，表示關于直線y＝－x對稱的反射變換矩陣． 1．計算下列各式，并說明其幾何意義． (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) ＝； (2) ＝； (3) ＝. 三個矩陣對應的變換分別是將點(5,3)作關于x軸反射變換、關于原點的中心反射變換以及關于直線y＝x的軸反射變換，得到的點分別是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)． 2．求出△ABC分別在M1＝，M2＝，M3＝對應的變換作用下的幾何圖形，并畫出示意圖，其中A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)． 解：在M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1,2)； 在M2下，A→A″(0,0)，B→B″(2,0)，C→C″(1，－2)； 在M3下，A→A(0,0)，B→B(－2,0)，C→C(－1，－2)． 圖形分別為 曲線在反射變換作用下的象 [例2]　橢圓＋y2＝1在經過矩陣對應的變換后所得的曲線是什么圖形？ [思路點撥]　先通過反射變換求出曲線方程，再通過方程判斷圖形的形狀． [精解詳析]　任取橢圓＋y2＝1上的一點P(x0，y0)，它在矩陣對應的變換作用下變?yōu)镻′(x，y)．則有 ＝，故. 因為點P在橢圓＋y2＝1上，所以＋y＝1， ∴＋x′＝1；因此x′＋＝1. 從而所求曲線方程為x2＋＝1，是橢圓． 矩陣把一個圖形變換為與之關于直線y＝x對稱的圖形，反射變換對應的矩陣要區(qū)分類型：點對稱、軸對稱． 3．求曲線y＝(x>0)在矩陣對應的變換作用下得到的曲線． 解：矩陣對應的變換是關于原點對稱的變換，因此，得到的曲線為y＝(x<0)． 4．求直線y＝4x在矩陣作用下變換所得的圖形． 解：任取直線y＝4x在矩陣作用下變換所得的圖形上的一點P(x，y)，一定存在變換前的點P′(x′，y′)與它對應，使得 ＝ ，即(*) 又點P′(x′，y′)在直線y＝4x上，所以y′＝4x′，從而有y＝ x，從而直線y＝4x在矩陣作用下變換成直線y＝x.根據(jù)(*)，它們關于直線y＝－x對稱．如圖所示． 1．計算 ，并說明其幾何意義． 解： ＝，其幾何意義是：由矩陣M＝確定的變換是關于直線y＝－x的軸反射變換，將點(x，y)變換為點(－y，－x)． 2．在矩陣變換下，圖(1)，(2)中的△ABO變成了△A′B′O，其中點A的象為點A′，點B的象為點B′，試判斷相應的幾何變換是什么？ 解：(1)對應的是關于原點的中心反射變換，矩陣形式為. (2)對應的是關于y軸的軸反射變換，矩陣形式為. 3．求△ABC在經過矩陣對應的變換后所得圖形的面積，其中A(1,0)，B(－2,0)，C(5,4)． 解：矩陣確定的變換是關于y軸的軸反射變換，它將點(x，y)變換為點(－x，y)．所以平面△ABC在經過矩陣對應的變換后所得圖形是與原圖形全等的三角形，故只需求出△ABC的面積即可．所以所求圖形的面積為6. 4．求出曲線y＝ex先在矩陣對應的變換，后在矩陣對應的變換作用下形成的曲線，并說明兩次變換后對應的是什么變換？ 解：因為矩陣對應的變換是關于y軸的軸反射變換，變換后曲線為y＝e－x.又因為矩陣對應的變換是關于原點O的中心反射變換，變換后曲線為－y＝ex，即y＝－ex.兩次變換對應的變換是關于x軸的軸反射變換． 5．變換T使圖形F：y＝x2－1變?yōu)镕′：y＝|x2－1|，試求變換T對應的變換矩陣A. 解：當x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時，A＝； 當x∈[－1,1]時，A＝. 6．若曲線＋＝1經過反射變換T變成曲線＋＝1，求變換T對應的矩陣．(寫出兩個不同的矩陣) 解：T＝或T＝. 7．求關于直線y＝3x對稱的反射變換所對應的矩陣A. 解：在平面上任取一點P(x，y)，令點P關于y＝3x的對稱點為P′(x′，y′)． 則 化簡得 ∴＝ . ∴關于直線y＝3x對稱的反射變換對應的矩陣為 A＝. 8．已知矩陣M＝，N＝.在平面直角坐標系中，設直線2x－y＋1＝0在變換TM，TN先后作用下得到曲線F，求曲線F的方程． 解：∵TM是關于直線y＝x對稱的反射變換， ∴直線2x－y＋1＝0在TM的作用下得到直線F′： 2y－x＋1＝0. 設P(x0，y0)為F′上的任意一點，它在TN的作用下變?yōu)镻′(x′，y′)， ∴＝ ，即 ∵點P在直線F′上， ∴2y0－x0＋1＝0， 即－2x′－y′＋1＝0. ∴所求曲線F的方程為2x＋y－1＝0.