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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 等比數(shù)列 第七課時(shí) 第三章 ●課 題 3.4.1 等比數(shù)列(一) ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.等比數(shù)列的定義. 2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. （二）能力訓(xùn)練要求 1.掌握等比數(shù)列的定義. 2.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo). （三）德育滲透目標(biāo) 1.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識(shí). 2.提高學(xué)生創(chuàng)新意識(shí). 3.提高學(xué)生的邏輯推理能力. 4.增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí). ●教學(xué)重點(diǎn) 等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式. ●教學(xué)難點(diǎn) 靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義式及通項(xiàng)公式解決一些相關(guān)問題. ●教學(xué)方法 比較式教學(xué)法 采用比較式數(shù)學(xué)法，從而使學(xué)生抓住等差數(shù)列與等比數(shù)列各自的特點(diǎn)，以便理解、掌握與應(yīng)用. ●教具準(zhǔn)備 幻燈片一張：記作3.4.1 內(nèi)容:1.等差數(shù)列定義：an－an－1=d(n≥2)(d為常數(shù)) 2.等差數(shù)列性質(zhì)：（1）若a,A,b成等差數(shù)列，則A=,(2)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.(3)Sk,S2k－Sk,S3k－S2k…成等差數(shù)列. 3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn==na1+d ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］前面幾節(jié)課，我們共同探討了等差數(shù)列，現(xiàn)在我們?cè)賮砘仡櫼幌碌炔顢?shù)列的主要內(nèi)容.（師生共同完成以下活動(dòng)） （打出幻燈片3.4.1） Ⅱ.講授新課 ［師］下面我們來看這樣幾個(gè)數(shù)列，看其又有何共同特點(diǎn)? 1，2，4，8，16，…，263; ① 5，25，125，625，…； ② 1，－，…； ③ ［生］仔細(xì)觀察數(shù)列，尋其共同特點(diǎn). 對(duì)于數(shù)列①，an=2n－1;=2(n≥2) 對(duì)于數(shù)列②，an=5n;=5(n≥2) 對(duì)于數(shù)列③，an=(－1)n+1=－ (n≥2) 共同特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，第一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù). ［師］也就是說，這些數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都具有“相等”的特點(diǎn). 1.定義 等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示(q≠0)，即：an∶an－1=q(q≠0) 如：數(shù)列①，②，③都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，－.與等差數(shù)列比較，僅一字之差. 總之，若一數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)之“差”為常數(shù)，則為等差數(shù)列，之“比”為常數(shù)，則為等比數(shù)列，此常數(shù)稱為“公差”或“公比”. 注意（1）公差“d”可為0，（2）公比“q”不可為0. ［師］等比數(shù)列的通項(xiàng)公式又如何呢? 2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ［師］請(qǐng)同學(xué)們想想等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，試著推一下等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解法一：由定義式可得：a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,…, an=an－1q=a1qn－1(a1,q≠0),n=1時(shí)，等式也成立，即對(duì)一切n∈N*成立. 解法二：由定義式得：(n－1)個(gè)等式 ① ② … n－1 若將上述n－1個(gè)等式相乘，便可得： 即：an=a1qn－1(n≥2) 當(dāng)n=1時(shí)，左=a1,右=a1，所以等式成立， ∴等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：an=a1qn－1(a1,q≠0) 如：數(shù)列①,an=12n－1=2n－1(n≤64) ［生］寫出數(shù)列②、③的通項(xiàng)公式 數(shù)列②：an=55n－1=5n,數(shù)列③：an=1(－)n－1=(－1)n－1與等差數(shù)列比較，兩者均可用歸納法求得通項(xiàng)公式. 或者，等差數(shù)列是將由定義式得到的n－1個(gè)式子相“加”，便可求得通項(xiàng)公式；而等比數(shù)列則需將由定義式得到的n－1個(gè)式子相“乘”，方可求得通項(xiàng)公式. ［師］下面看一些例子： ［例1］培育水稻新品種，如果第一代得到120粒種子，并且從第一代起，由以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子，到第5代大約可以得到這個(gè)新品種的種子多少粒（保留兩個(gè)有效數(shù)字）？ 分析：下一代的種子數(shù)總是上一代種子數(shù)的120倍，逐代的種子數(shù)可組成一等比數(shù)列，然后可用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決題目所要求的問題. 解：由題意可得：逐代的種子數(shù)可組成一以a1=120,q=120的等比數(shù)列{an}. 由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得：an=a1qn－1=120120n－1=120n ∴a5=1205≈2.51010. 答：到第5代大約可以得到種子2.51010粒. 評(píng)述：遇到實(shí)際問題，首先應(yīng)仔細(xì)分析題意，以準(zhǔn)確恰當(dāng)建立數(shù)學(xué)模型. ［例2］一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng). 分析：應(yīng)將已知條件用數(shù)學(xué)語言描述，并聯(lián)立，然后求得通項(xiàng)公式. 解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1,公比是q, ①② 則： ②①得:q= ③ ③代入①得：a1=, ∴an=a1qn－1=，8. 答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是和8. 評(píng)述：要靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義式及通項(xiàng)公式. Ⅲ.課堂練習(xí) ［生］（自練）課本P126練習(xí)1，2 1.求下面等比數(shù)列的第4項(xiàng)與第5項(xiàng)： （1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）……. 解：（1）∵q==－3,a1=5 ∴an=a1qn－1=5(－3)n－1 ∴a4=5（－3）3=－135， a5=5（－3）4=405. (2)∵q==2,a1=1.2 ∴an=a1qn－1=1.22n－1 ∴a4=1.223=9.6, a5=1.224=19.2 (3)∵q= ∴an=a1qn－1= ∴a4=, a5= (4)∵q=1 ∴an=a1qn－1= ∴a4=. 2.(1) 一個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)是，公比是－，求它的第1項(xiàng). 解：由題意得a9=,q=－ ∵a9=a1q8, ∴, ∴a1=2916 答：它的第1項(xiàng)為2916. （2）一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10，第3項(xiàng)是20，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng). 解：由已知得a2=10,a3=20.在等比數(shù)列中 ∵=q=2, ∴a1==5,a4=a3q=40. 答：它的第1項(xiàng)為5，第4項(xiàng)為40. 3.已知{an}是無窮等比數(shù)列，公比為q. (1)將數(shù)列{an}中的前k項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比各是多少？ 解：設(shè){an}為：a1,a2,…,ak,ak+1,… 則去掉前k項(xiàng)的數(shù)可列為：ak+1,ak+2,…,an,… 可知，此數(shù)列是等比數(shù)列，它的首項(xiàng)為ak+1,公比為q. (2)取出數(shù)列{an}中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公比各是多少？ 解：設(shè){an}為：a1,a2,a3,…,a2k－1,a2k,…,取出{an}中的所有奇數(shù)項(xiàng)，分別為：a1,a3,a5,a7,…, a2k－1,a2k+1,… ∵=q2(k≥1) ∴此數(shù)列為等比數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是a1,公比為q2. (3)在數(shù)列{an}中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？ 解：設(shè)數(shù)列{an}為：a1,a2,…,an,… 每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)的數(shù)可列為：a11,a22,a33,…… 可知，此數(shù)列為等比數(shù)列，其公式為：. 評(píng)述：注意靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義式和通項(xiàng)公式. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) ［師］本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義，即：=q(q≠0，q為常數(shù)，n≥2) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1qn－1(n≥2)及推導(dǎo)過程. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P127習(xí)題3.4 1 （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P125～P126 2.預(yù)習(xí)提綱： （1）什么是等比中項(xiàng)?（2）等比數(shù)列有哪些性質(zhì)?（3）怎樣應(yīng)用等比數(shù)列的定義式、通項(xiàng)公式以及重要性質(zhì)解決一些相關(guān)問題. ●板書設(shè)計(jì) 3.4.1 等比數(shù)列(一) 1.定義 2.通項(xiàng)公式推導(dǎo) an=a1qn－1（a1,q≠0） 3.例題