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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 等比數(shù)列（含解析） 1、設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對于任意的正整數(shù)n都有Sn＝2an－3n，設(shè)bn＝an＋3. 求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求an. 證明　由Sn＝2an－3n對于任意的正整數(shù)都成立， 得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 兩式相減，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n， 所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3， 所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即＝＝2對一切正整數(shù)都成立，所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列． 由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3， 所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝62n－1. 故an＝62n－1－3＝32n－3. 考點(diǎn)二　等比數(shù)列基本量的求解 1、(xx湖北卷)已知等比數(shù)列{an}滿足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)是否存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由． 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則由已知可得 解得或 故an＝3n－1或an＝－5(－1)n－1. (2)若an＝3n－1，則＝n－1， 則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． 從而＝＝<<1. 若an＝－5(－1)n－1，則＝－(－1)n－1， 故是首項(xiàng)為－，公比為－1的等比數(shù)列， 從而＝ 故<1. 綜上，對任何正整數(shù)m，總有<1. 故不存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1成立． 2、(1)已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為________． (2)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝________. 解析　(1)顯然公比q≠1，由題意可知＝，解得q＝2，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由求和公式可得數(shù)列的前5項(xiàng)和T5＝. (2)顯然公比q≠1，由題意得 解得或(舍去)， ∴S5＝＝＝. 答案　(1)　(2) 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－2，n∈N*，則 (　　)． A．{an}是遞增的等比數(shù)列 B．{an}是遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列 C．{an}是遞減的等比數(shù)列 D．{an}不是等比數(shù)列，也不單調(diào) 解析　∵Sn＝3n－2，∴Sn－1＝3n－1－2， ∴an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝23n－1(n≥2)， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1不適合上式，但a1＜a2＜a3＜…. 答案　B 4．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn.若S3＝，則S6等于 (　　)． A. B. C．63 D. 解析　S3＝＝7a1＝，所以a1＝.所以S6＝＝63a1＝. 答案　B 5．(xx新課標(biāo)全國Ⅱ卷)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝ (　　)． A. B．－ C. D．－ 解析　由題知q≠1，則S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，則a1＝. 答案　C 6．在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值為 (　　)． A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 解析　根據(jù)已知條件 得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或－. 答案　C 7．實(shí)數(shù)項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，若＝，則公比q等于________． 解析　首先q≠1，因?yàn)槿魆＝1，則＝2，當(dāng)q≠1時(shí)，＝＝＝＝，q5＝－，q＝－. 答案?。? 8．在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，則a7＋a8＝________. 解析　∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)](q2)3＝308＝240. 答案　240 9．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則q的值為________． 解析　由已知條件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2， 即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2. 答案?。? 10．已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則log(a5＋a7＋a9)的值是 (　　)． A．－ B．－5 C．5 D. 解析　由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an＝1且an＞0，即log3＝1，解得＝3，所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列．因?yàn)閍5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，所以a5＋a7＋a9＝933＝35.所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－log335＝－5. 答案　B 11．設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝(　　)． A. B. C. D．2 解析　∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)， ∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝或－1(舍去)． 答案　A 12．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝______. 解析　∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq， 化簡得2q2－5q＋2＝0，由題意知，q>1.∴q＝2. 答案　2 考點(diǎn)三　等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 1、(1)(xx新課標(biāo)全國卷)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　)． A．7 B．5 C．－5 D．－7 (2)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝－1，前n項(xiàng)和為Sn，若＝，則公比q＝________. 解析　(1)由已知得解得或 當(dāng)a4＝4，a7＝－2時(shí)，易得a1＝－8，a10＝1，從而a1＋a10＝－7； 當(dāng)a4＝－2，a7＝4時(shí)，易得a10＝－8，a1＝1，從而a1＋a10＝－7. (2)由＝，a1＝－1知公比q≠1，則＝－. 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝－，q＝－. 答案　(1)D　(2)－ 2、 (1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比數(shù)列，則xyz的值為 (　　)． A．－3 B．3 C．－3 D．3 (2)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，則a＋2a2a6＋a3a7＝(　　)． A．4 B．6 C．8 D．8－4 解析　(1)由等比中項(xiàng)知y2＝3，∴y＝， 又∵y與－1，－3符號(hào)相同，∴y＝－，y2＝xz， 所以xyz＝y(tǒng)3＝－3. (2)由等比數(shù)列性質(zhì)，得a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8. 答案　(1)C　 (2)C 考點(diǎn)：綜合題 1、(xx山東卷)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm. 解　(1)由a3＋a4＋a5＝84，可得3a4＝84，即a4＝28，而a9＝73，則5d＝a9－a4＝45，即d＝9.又a1＝a4－3d＝28－27＝1，所以an＝1＋(n－1)9＝9n－8，即an＝9n－8(n∈N*)． (2)對任意m∈N*,9m＜9n－8＜92m，則9m＋8＜9n＜92m＋8， 即9m－1＋＜n＜92m－1＋，而n∈N*，所以9m－1＋1≤n≤92m－1. 由題意，可知bm＝92m－1－9m－1. 于是Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝91＋93＋…＋92m－1－(90＋91＋…＋9m－1)＝－＝－＝， 即Sm＝. 2.已知點(diǎn)(1,2)是函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象上一點(diǎn)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f(n)－1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{an}前2 013項(xiàng)中的第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第3k項(xiàng)刪去，求數(shù)列{an}前2 013項(xiàng)中剩余項(xiàng)的和． 解　(1)把點(diǎn)(1,2)代入函數(shù)f(x)＝ax，得a＝2. ∴Sn＝f(n)－1＝2n－1， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝21－1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n －1，經(jīng)驗(yàn)證可知n＝1時(shí)，也適合上式，∴an＝2n－1. (2)由(1)知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為2，故其第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第2 013項(xiàng)也為等比數(shù)列，首項(xiàng)a3＝23－1＝4，公比23＝8，a2 013＝22 102＝48671－1為其第671項(xiàng)，∴此數(shù)列的和為＝，又?jǐn)?shù)列{an}的前2 013項(xiàng)和為S2 103＝＝22 013－1， ∴所求剩余項(xiàng)的和為(22 013－1)－＝. 3．在數(shù)列{an}中，已知a1＝－1，且an＋1＝2an＋3n－4(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{an＋1－an＋3}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn. (1)證明　令bn＝an＋1－an＋3， 則bn＋1＝an＋2－an＋1＋3＝2an＋1＋3(n＋1)－4－2an－3n＋4＋3＝2(an＋1－an＋3)＝2bn，即bn＋1＝2bn. 由已知得a2＝－3，于是b1＝a2－a1＋3＝1≠0. 所以數(shù)列{an＋1－an＋3}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． (2)解　由(1)可知bn＝an＋1－an＋3＝2n－1， 即2an＋3n－4－an＋3＝2n－1， ∴an＝2n－1－3n＋1(n∈N*)， 于是Sn＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)－3(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝－3＋n＝2n－－1. 4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2＝4，a3＋a4＝17. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝2an＋2，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列并求其前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.由題意知 解得a1＝1，d＝3， ∴an＝3n－2(n∈N*)． (2)證明：由題意知，bn＝2an＋2＝23n(n∈N*)， bn－1＝23(n－1)＝23n－3(n∈N*，n≥2)， ∴＝＝23＝8(n∈N*，n≥2)，又b1＝8， ∴{bn}是以b1＝8，公比為8的等比數(shù)列， Tn＝＝(8n－1)． 5．已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Tn＝Sn－(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值． 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 因?yàn)镾3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列， 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5， 即4a5＝a3，于是q2＝＝. 又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝，所以q＝－. 故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 an＝n－1＝(－1)n－1. (2)由(1)得Sn＝1－n＝ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小， 所以1Sn－≥S2－＝－＝－. 綜上，對于n∈N*，總有－≤Sn－≤. 所以數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為－.