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2019-2020年高中數(shù)學 3.2.1 導數(shù)的概念教案 北師大選修1-1 教學環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計思路 創(chuàng)設情景 、 引入新課 幻燈片 回顧上節(jié)課留下的思考題： 在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考下面的問題： （1）運動員在這段時間里是靜止的嗎？ （2）你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？ 首先回顧上節(jié)課留下的思考題： 在學生相互討論，交流結果的基礎上，提出 ：大家得到運動員在這段時間內的平均速度為“0”，但我們知道運動員在這段時間內并沒有“靜止”。為什么會產生這樣的情況 呢？ 引起學生的好奇，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內的運動狀態(tài)，為了能更精確地刻畫物體運動，我們有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度。 使學生帶著問題走進課堂，激發(fā)學生求知欲 初 步 探 索 、 展 示 內 涵 根據(jù)學生的認知水平,概念的形成分了兩個層次： 結合跳水問題，明確瞬時速度的定義 問題一：請大家思考如何求運動員的瞬時速度，如t=2時刻的瞬時速度？ 提出問題一，組織學生討論，引導他們自然地想到選取一個具體時刻如t=2，研究它附近的平均速度變化情況來尋找到問題的思路，使抽象問題具體化 理解導數(shù)的內涵是本節(jié)課的教學重難點，通過層層設疑，把學生推向問題的中心，讓學生動手操作，直觀感受來突出重點、突破難點 問題二：請大家繼續(xù)思考，當Δt取不同值時,嘗試計算的值？ Δt Δt -0.1 0.1 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 ………. …. ……. … 學生對概念的認知需要借助大量的直觀數(shù)據(jù)，所以我讓學生利用計算器，分組完成問題二， 幫助學生體會從平均速度出發(fā)，“以已知探求未知”的數(shù)學思想方法, 培養(yǎng)學生的動手操作能力 問題三：當Δt趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢？ Δt Δt -0.1 -12.61 0.1 -13.59 -0.01 -13.051 0.01 -13.149 -0.001 -13.0951 0.001 -13.1049 -0.0001 -13009951 0.0001 -13.10049 -0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049 ………. …. ……. … 一方面分組討論，上臺板演，展示計算結果，同時口答：在t=2時刻,Δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值-13.1，即瞬時速度，第一次體會逼近思想；另一方面借助動畫多渠道地引導學生觀察、分析、比較、歸納，第二次體會逼近思想，為了表述方便,數(shù)學中用簡潔的符號來表示,即 數(shù)形結合，掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重難點，體驗數(shù)學的簡約美 問題四：運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢？ 引導學生繼續(xù)思考:運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示? 學生意識到將代替2,可類比得到 與舊教材相比,這里不提及極限概念,而是通過形象生動的逼近思想來定義時刻的瞬時速度,更符合學生的認知規(guī)律,提高了他們的思維能力,體現(xiàn)了特殊到一般的思維方法 借助其它實例，抽象導數(shù)的概念 問題五：氣球在體積時的瞬時膨脹率如何表示呢？ 類比之前學習的瞬時速度問題,引導學生得到瞬時膨脹率的表示 積極的師生互動能幫助學生看到知識點之間的聯(lián)系，有助于知識的重組和遷移,尋找不同實際背景下的數(shù)學共性，即對于不同實際問題，瞬時變化率富于不同的實際意義 問題六：如果將這兩個變化率問題中的函數(shù)用來表示，那么函數(shù)在處的瞬時變化率如何呢？ 在前面兩個問題的鋪墊下,進一步提出，我們這里研究的函數(shù)在處的瞬時變化率即在處的導數(shù),記作 (也可記為) 引導學生舍棄具體問題的實際意義,抽象得到導數(shù)定義,由淺入深、由易到難、由特殊到一般，幫助學生完成了思維的飛躍；同時提及導數(shù)產生的時代背景，讓學生感受數(shù)學文化的熏陶，感受數(shù)學來源于生活，又服務于生活。 循序漸進、延伸 拓展 例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第x h時候，原油溫度（單位：）為 （1）計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。 （2）計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。 步驟： ①啟發(fā)學生根據(jù)導數(shù)定義，再分別求出和 ②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5，大家能說明它的含義嗎？ ③大家是否能用同樣方法來解決問題二？ ④師生共同歸納得到，導數(shù)即瞬時變化率，可反映物體變化的快慢 步步設問，引導學生深入探究導數(shù)內涵 發(fā)展學生的應用意識，是高中數(shù)學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以具體問題為載體,加深學生對導數(shù)內涵的理解，體驗數(shù)學在實際生活中的應用 變式練習：已知一個物體運動的位移（m）與時間t（s）滿足關系S（t）＝-2t2+5t（1）求物體第5秒和第6秒的瞬時速度 （2）求物體在t時刻的瞬時速度 （3）求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動？ 學生獨立完成，上臺板演，第三次體會逼近思想 目的是讓學生學會用數(shù)學的眼光去看待物理模型，建立各學科之間的聯(lián)系，更深刻地把握事物變化的規(guī)律 歸納總結 、 內化知識 1、瞬時速度的概念 2、導數(shù)的概念 3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般 引導學生進行討論，相互補充后進行回答，老師評析，并用幻燈片給出 讓學生自己小結，不僅僅總結知識更重要地是總結數(shù)學思想方法。這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程，這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養(yǎng)成良好的學習習慣 （3）探究學習：引導學生發(fā)揮主觀能動性，主動探索新知。（如例題的處理） 教后反思： 教法：整堂課圍繞“一切為了學生發(fā)展”的教學原則，突出①動——師生互動、共同探索。②導——教師指導、循序漸進 （1） 新課引入——提出問題, 激發(fā)學生的求知欲 （2） 理解導數(shù)的內涵——數(shù)形結合，動手計算,組織學生自主探索,獲得導數(shù)的定義 （3） 例題處理——始終從問題出發(fā)，層層設疑，讓他們在探索中自得知識 （4） 變式練習——深化對導數(shù)內涵的理解，鞏固新知.