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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《余弦定理》教案5 蘇教版必修5 　　教學(xué)目的 　　1．使學(xué)生掌握余弦定理及其證明方法． 　　2．使學(xué)生初步掌握余弦定理的應(yīng)用． 　　教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 　　教學(xué)重點(diǎn)是余弦定理及其應(yīng)用； 　　教學(xué)難點(diǎn)是用解析法證明余弦定理． 　　教學(xué)過程設(shè)計(jì) 　　一、復(fù)習(xí) 　　師：直角△ABC中有如下的邊角關(guān)系(設(shè)∠C=90)： 　　(1)角的關(guān)系 A+B+C=180． 　　A+B=90． 　　(2)邊的關(guān)系c2=a2+b2． 　　 　　 　　二、引入 　　師：在△ABC中，當(dāng)∠C=90時(shí)，有c2=a2+b2．若a，b邊的長短不變，變換∠C的大小時(shí)，c2與a2+b2有什么關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們思考． 　　如圖1，若∠C＜90時(shí)，由于AC與BC的長度不變，所以AB的長度變短，即c2＜a2+b2． 　　如圖2，若∠C＞90時(shí)，由于AC與BC的長度不變，所以AB的長度變長，即c2＞a2+b2． 　　經(jīng)過議論學(xué)生已得到當(dāng)∠C≠90時(shí)，c2≠a2+b2，那么c2與a2+b2到底相差多少呢？請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考． 　　如圖3，當(dāng)∠C為銳角時(shí)，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成兩個(gè)直角三角形： 　　在Rt△ABD中， AB2=AD2+BD2； 　　在Rt△BDC中， BD=BCsinC=asinC， DC=BCcosC=acosC． 　　所以，AB2=AD2+BD2化為 　　c2=(b－acosC)2+(asinC)2， 　　c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C， 　　c2=a2+b2－2abcosC． 　　我們可以看出∠C為銳角時(shí)，△ABC的三邊a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的關(guān)系． 　　從以上分析過程，我們對(duì)∠C是銳角的情況有了清楚認(rèn)識(shí)．我們不僅要認(rèn)識(shí)到，∠C為銳角時(shí)有c2=a2+b2－2abcosC，還要體會(huì)出怎樣把一個(gè)斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形的．這種未知向已知的轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中經(jīng)常碰到． 　　下面請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手推導(dǎo)結(jié)論． 　　如圖4，當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，作BD⊥AC，交AC的延長線于D． 　　△ACB是兩個(gè)直角三角形之差． 　　在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2． 　　在Rt△BCD中，∠BCD=π－C． 　　BD=BCsin(π－C)，CD=BC cos(π－C)． 　　所以AB2=AD2+BD2化為 　　c2=(AC+CD)2+BD2 　　=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2 　　=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C) 　　=b2+2abcos(π－C)+a2． 　　因?yàn)閏os(π－C)=－cosC，所以c2=b2+a2－2abcosC． 　　這里∠C為鈍角，cosC為負(fù)值，－2abcosC為正值，所以b2+a2－2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2． 　　從以上我們可以看出，無論∠C是銳角還是鈍角，△ABC的三邊都滿足 c2=a2+b2－2abcosC． 　　這就是余弦定理．我們輪換∠A，∠B，∠C的位置可以得到 a2=b2+c2－2bccosA． b2=c2+a2－2accosB． 　　三、證明余弦定理 　　師：在引入過程中，我們不僅找到了斜三角形的邊角關(guān)系，而且還給出了證明，這個(gè)證明是依據(jù)分類討論的方法，把斜三角形化歸為兩個(gè)直角三角形的和或差，再利用勾股定理和銳角三角函數(shù)證明的．這是證明余弦定理的一個(gè)好方法，但比較麻煩．現(xiàn)在我們已學(xué)完了三角函數(shù)，無論∠α是銳角、直角或鈍角，我們都有統(tǒng)一的定義，借用三角函數(shù)和兩定點(diǎn)間的距離來證明余弦定理，我們就可避開分類討論． 　　我們?nèi)跃鸵浴螩為主進(jìn)行證明． 　　如圖5，我們把頂點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x軸的正半軸上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)． 　　請(qǐng)同學(xué)們分析B點(diǎn)坐標(biāo)是怎樣得來的． 　　生：∠ACB=∠C，CB為∠ACB的終邊，B為CB上一點(diǎn)，設(shè)B的坐標(biāo)為(x， 　　 　　師：回答很準(zhǔn)確，A，B兩點(diǎn)間的距離如何求？ 　　生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2 　　=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C 　　=a2+b2－2abcosC， 　　即c2=a2+b2－2abcosC． 　　師：大家請(qǐng)看，我們這里也導(dǎo)出了余弦定理，這個(gè)證明方法是解析法．這種方法以后還要詳細(xì)學(xué)習(xí)． 　　余弦定理用語言可以這樣敘述，三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍．即： a2=b2+c2－2bccosA． c2=a2+b2－2abcosC． b2=a2+c2－2accosB． 　　若用三邊表示角，余弦定理可以寫為 　　四、余弦定理的作用 　　(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個(gè)內(nèi)角； 　　(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊． 　　 　　 　　解 由余弦定理可知 Bc2=Ab2+Ac2－2ABACcosA 　　所以BC=7． 　　以上兩個(gè)小例子簡單說明了余弦定理的作用． 　　五、余弦定理與勾股定理的關(guān)系、余弦定理與銳角三角函數(shù)的關(guān)系 　　在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90，則cosC=0，于是 c2=a2+b2－2ab0=a2+b2． 　　說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣． 　　 　　 這與Rt△ABC中，∠C=90的銳角三角函數(shù)一致，即直角三角形中的銳角三角函數(shù)是余弦定理的特例． 　　六、應(yīng)用舉例 　　例1 在△ABC中，求證c=bcosA+acosB． 　　師：請(qǐng)同學(xué)們先做幾分鐘． 　　生甲：如圖6，作CD⊥AB于D． 　　在Rt△ACD中，AD=bcosA；在Rt△CBD中，DB=acosB．而c=AD+DB，所以 c=bcosA+acosB． 　　師：這位學(xué)生的證法是否完備，請(qǐng)大家討論． 　　生乙：他的證法有問題，因?yàn)樽鰿D⊥AB時(shí)垂足D不一定落在AB上．若落在AB的延長線上時(shí)，c≠AD+DB，而c=AD－DB． 　　師：學(xué)生乙的問題提得好，我們?nèi)绻褜W(xué)生乙所說的情況補(bǔ)充上是否就完備了呢？ 　　生丙：還不夠．因?yàn)樽鰿D⊥AB時(shí)，垂足D還可以落在B處． 　　師：其實(shí)垂足D有五種落法，如落在AB上；AB的延長線上；BA的延長線上；A點(diǎn)或B點(diǎn)處．我們要分這么多種情況證明未免有些太麻煩了． 　　請(qǐng)大家借用余弦定理證明． 　　生：因?yàn)?acosB+bcosA 　　 　　所以 c=acosB+bcosA． 　　師：這種證法顯然簡單，它避開了分類討論．你們知道為什么這種證法不用分類討論嗎？ 　　生：因?yàn)橛嘞叶ɡ肀旧磉m用于各種三角形． 　　例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面積． 　　師：我們通常求三角形的面積要用公式 　　 　　這個(gè)題目，我們應(yīng)該如何下手呢？ 　　生：可以用余弦定理由三邊求出一個(gè)內(nèi)角的余弦值，再用同角公式導(dǎo)出這個(gè)角的正弦后，最后代入三角形面積公式． 　　解 因?yàn)閍=4，b=3，c=2，所以 　　由sin2A+cos2A=1，且A為△ABC內(nèi)角，得 　　 　　例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB邊的中線長． 　　請(qǐng)同學(xué)們先設(shè)計(jì)解題方案． 　　生甲：我想在△ABC中，已知三邊的長可求出cosB．在△BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD． 　　師：這個(gè)方案很好．請(qǐng)同學(xué)很快計(jì)算出結(jié)果． 　　解 設(shè)D為AB中點(diǎn)，連CD． 　　在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得 　　 　　 　　生乙：我們?cè)诔踔信龅街芯€時(shí)，經(jīng)常延長中線，所以我想延長中線CD到E，使DE=CD，想在△BCE中解決． 　　已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cos∠CBE，便可解決，但我不知怎樣求cos∠CBE． 　　師：這個(gè)問題提得很有價(jià)值，請(qǐng)大家一起幫助學(xué)生乙解決這個(gè)難點(diǎn)． 　　(學(xué)生開始議論．) 　　生丙：連接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四邊形ACBE為平行四邊形，可得AC∥BE，∠CBE與∠ACB互補(bǔ)．我能利用余弦定理求出cos∠BCA，再利用互補(bǔ)關(guān)系解出cos∠CBE． 　　師：大家看看他講得好不好．請(qǐng)大家用第二套方案解題． 　　解 延長CD至E，使DE=CD． 　　因?yàn)镃D=DE，AD=DB，所以四邊形ACBE是平行四邊形．所以 BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180． 　　在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得 　　 　　在△CBE中， 　　 　　這兩種解法都是兩次用到余弦定理，可見掌握余弦定理是十分必要的． 　　七、總結(jié) 　　本節(jié)課我們研究了三角形的一種邊角關(guān)系，即余弦定理，它的證明我們可以用解析法．它的形式有兩種，一種是用兩邊及夾角的余弦表示第三邊，另一種是三邊表示角． 　　余弦定理適用于各種三角形，當(dāng)一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角為90時(shí)，余弦定理就自然化為勾股定理或銳角三角函數(shù)． 　　余弦定理的作用如同它的兩種形式，一是已知兩邊及夾角解決第三邊問題；另一個(gè)是已知三邊解決三內(nèi)角問題．注意在(0，π)范圍內(nèi)余弦值和角的一一對(duì)應(yīng)性．若cos A＞0，則A為銳角；若cosA=0，則A為直角；若cosA＜0，則A為鈍角． 　　另外本節(jié)課我們所涉及的內(nèi)容有兩處用到分類討論的思想方法．請(qǐng)大家解決問題時(shí)要考慮全面．如果能回避分類討論的，應(yīng)盡可能回避，如用解析法證明余弦定理、用余弦定理證明例1等等． 　　八、作業(yè) 　　 　　 　　5．已知△ABC中，acosB=bcos A，請(qǐng)判斷三角形的形狀． 　　課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 　　1．余弦定理是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視．本內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜．第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強(qiáng)定理的應(yīng)用． 　　2．當(dāng)已知兩邊及一邊對(duì)角需要求第三邊時(shí)，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時(shí)應(yīng)注意解的不唯一性．