2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式》.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式1二項(xiàng)工定理2二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 它是展開式的第r+1項(xiàng).3二項(xiàng)式系數(shù) 4二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)(2)(3)若n是偶數(shù),有,即中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 若n是奇數(shù),有,即中項(xiàng)二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.(4)(5)(6)(7)(8) 以上組合恒等式(是指組合數(shù)滿足的恒等式)是證明一些較復(fù)雜的組合恒等式的基本工具.(7)和(8)的證明將在后面給出.5證明組合恒等式的方法常用的有(1)公式法,利用上述基本組合恒等式進(jìn)行證明.(2)利用二項(xiàng)式定理,通過賦值法或構(gòu)造法用二項(xiàng)式定理于解題中.(3)利用數(shù)學(xué)歸納法.(4)構(gòu)造組合問題模型,將證明方法劃歸為組合應(yīng)用問題的解決方法.例題講解1求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).2求的展開式里x5的系數(shù).3已知數(shù)列滿足 求證:對(duì)于任何自然數(shù)n,是x的一次多項(xiàng)式或零次多項(xiàng)式. 4已知a,b均為正整數(shù),且求證:對(duì)一切,An均為整數(shù).5已知為整數(shù),P為素?cái)?shù),求證:6若,求證:7數(shù)列中,求的末位數(shù)字是多少?8求N=19881的所有形如為自然數(shù))的因子d之和.9設(shè),求數(shù)x的個(gè)位數(shù)字.10已知試問:在數(shù)列中是否有無(wú)窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng)?證明你的結(jié)論.課后練習(xí)1已知實(shí)數(shù)均不為0,多項(xiàng)的三根為,求 的值.2設(shè),其中為常數(shù),如果求的值.3定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足:4證明:當(dāng)n=6m時(shí),5設(shè)展開式為,求證:6求最小的正整數(shù)n,使得的展開式經(jīng)同類項(xiàng)合并后至少有1996項(xiàng).7設(shè),試求:(1)的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和.(2)的展開式中奇次項(xiàng)的系數(shù)和.8證明:對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式成立.例題答案:1.解:由二項(xiàng)式定理得 其中第項(xiàng)為 在的展開式中,設(shè)第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),記為則 由得r2k=0,即r=2k,r為偶數(shù),再根據(jù)、知所求常數(shù)項(xiàng)為評(píng)述:求某一項(xiàng)時(shí)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).2. 解:因?yàn)?所以的展開式里x5的系數(shù)為 評(píng)述:本題也可將化為用例1的作法可求得.3. 分析:由是等差數(shù)列,則從而可將表示成的表達(dá)式,再化簡(jiǎn)即可.解:因?yàn)?所以數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d有 從而由二項(xiàng)定理,知又因?yàn)閺亩?所以當(dāng)?shù)囊淮味囗?xiàng)式,當(dāng)零次多項(xiàng)式.4. 分析:由聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理,復(fù)數(shù)需要,然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系.證明:因?yàn)轱@然的虛部,由于 所以從而的虛部.因?yàn)閍、b為整數(shù),根據(jù)二項(xiàng)式定理,的虛部當(dāng)然也為整數(shù),所以對(duì)一切,An為整數(shù).評(píng)述:把An為與復(fù)數(shù)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵.5. 證明:由于為整數(shù),可從分子中約去r!,又因?yàn)镻為素?cái)?shù),且,所以分子中的P不會(huì)紅去,因此有所以評(píng)述:將展開就與有聯(lián)系,只要證明其余的數(shù)能被P整除是本題的關(guān)鍵.6. 分析:由已知 猜想,因此需要求出,即只需要證明為正整數(shù)即可.證明:首先證明,對(duì)固定為r,滿足條件的是惟一的.否則,設(shè)則矛盾.所以滿足條件的m和是惟一的. 下面求.因?yàn)?又因?yàn)?所以 故 評(píng)述:猜想進(jìn)行運(yùn)算是關(guān)鍵.7. 分析:利用n取1,2,3,猜想的末位數(shù)字.解:當(dāng)n=1時(shí),a1=3, ,因此的末位數(shù)字都是7,猜想, 現(xiàn)假設(shè)n=k時(shí), 當(dāng)n=k+1時(shí), 從而 于是 故的末位數(shù)字是7.評(píng)述:猜想是關(guān)鍵.8. 分析:尋求N中含2和3的最高冪次數(shù),為此將19變?yōu)?01和18+1,然后用二項(xiàng)式定理展開.解:因?yàn)镹=19881=(201)881=(145)881= 其中M是整數(shù). 上式表明,N的素因數(shù)中2的最高次冪是5. 又因?yàn)镹=(1+29)881 =32288+34P=32(288+9P)其中P為整數(shù). 上式表明,N的素因數(shù)中3的最高次冪是2. 綜上所述,可知,其中Q是正整數(shù),不含因數(shù)2和3. 因此,N中所有形如的因數(shù)的和為(2+22+23+24+25)(3+32)=744.9. 分析:直接求x的個(gè)位數(shù)字很困難,需將與x相關(guān)數(shù)聯(lián)系,轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù).解:令,由二項(xiàng)式定理知,對(duì)任意正整數(shù)n. 為整數(shù),且個(gè)位數(shù)字為零.因此,x+y是個(gè)位數(shù)字為零的整數(shù).再對(duì)y估值,因?yàn)椋?且,所以 故x的個(gè)位數(shù)字為9.評(píng)述:轉(zhuǎn)化的思想很重要,當(dāng)研究的問題遇到困難時(shí),將其轉(zhuǎn)化為可研究的問題.10. 分析:先求出,再將表示成與15有關(guān)的表達(dá)式,便知是否有無(wú)窮多項(xiàng)能被15整除.證明:在數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng),下面證明之.數(shù)列的特征方程為它的兩個(gè)根為,所以 (n=0,1,2,)由 則取,由二項(xiàng)式定理得由上式知當(dāng)15|k,即30|n時(shí),15|an,因此數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng).評(píng)述:在二項(xiàng)式定理中,經(jīng)常在一起結(jié)合使用.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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