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2019-2020年高三數(shù)學總復習 函數(shù)的表示方法教案 理 教材分析 函數(shù)的表示方法是對函數(shù)概念的深化與延伸．解析法、圖像法和列表法從三個不同的角度刻畫了自變量與函數(shù)值的對應關系．這三種表示方法既可以獨立的表示函數(shù)，又可以相互轉化；既各有側重和優(yōu)勢，又各有劣勢和不足；既相互補充，又使函數(shù)隨自變量的變化而變化的規(guī)律直觀和具體．這節(jié)內容，是初中有關內容的深化、延伸與提高．教材在復習初中三種表示方法定義的基礎上，分三個層次對三種表示方法進行了比較．第一個層次：回顧與比較；第二個層次：選擇與比較；第三個層次：轉化與比較． 教學重點：畫簡單函數(shù)的圖像；教學難點：分段函數(shù)的解析式求法及其圖像的作法． 教學目標 1. 在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法，列表法，解析法）表示函數(shù)． 2. 通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并解簡單應用． 3. 能根據簡單的實際問題，建立函數(shù)關系式，畫出它們的圖像，進一步理解、體會函數(shù)的意義． 任務分析 學生在初中已經對這節(jié)內容有了初步的認識．這節(jié)的教學任務是在學生原認知水平的基礎上，用對應的觀點認識函數(shù)，會根據不同需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，明確三種表示方法各有優(yōu)劣，在一定條件下可以相互轉化．為突出根據簡單的實際問題建立函數(shù)關系式，畫出它們的圖像這個重點，除學習教材中的實際問題外，又增加了練習．為突破分段函數(shù)這個難點增加了高斯函數(shù)作為練習． 教學設計 一、問題情景 1. 復習引入 （1）復習初中三種函數(shù)的表示方法． （2）學生回答函數(shù)三種表示方法的定義． 2. 方法探究 （1）復習與比較 例：某種筆記本的單價是5元，買x（x∈｛1，2，3，4，5｝）個筆記本需要y元．試用三種表示方法表示函數(shù)y＝f（x）． （2）引導學生分析討論 ①三種表示方法的各自的特點是什么？所有的函數(shù)都能用解析法表示嗎？ ②函數(shù)圖像上的點滿足什么條件？滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝f（x）的點（x，y）在什么地方？ 二、建立模型 1. 教師明晰 函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等． 采用解析法的條件：變量間的對應法則明確； 采用圖像法的條件：函數(shù)的變化規(guī)律清晰； 采用列表法的條件：函數(shù)值的對應清楚． 函數(shù)圖像上的點滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝f（x），滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝f（x）的點（x，y）在函數(shù)圖像上，故函數(shù)圖像即為點集p＝｛（x，y）｜y＝f（x），x∈A｝． 2. 比較與分析 例：下表是某校高一（1）班三名同學在高一學年度幾次數(shù)學測試的成績及班級平均分： 表7-1 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王　偉 98 87 91 92 88 95 張　城 90 76 88 75 86 80 趙　磊 68 65 73 72 75 82 班級平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 請你對這三名同學在高一學年度的數(shù)學學習情況進行分析． 學生分析討論：本例是用何種方法表示函數(shù)的？要分析“成績”與“測試次數(shù)”之間的變化規(guī)律，用何種方法表示函數(shù)？ 注意：在這里選擇何種表示方法，要根據問題的具體情況和三種表示方法的長處來確定． 3. 教師進一步明晰 將“成績”與“測試次數(shù)”之間的函數(shù)關系用函數(shù)圖像表示出來，就能比較直觀地看到成績的變化情況． 4. 轉化與比較 例：畫出函數(shù)y＝｜x｜的圖像． 5. 教師歸納、整理 初中作函數(shù)圖像的基本方法是列表、描點和連線，但這個方法比較煩瑣．我們可以把初中學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像作為基本圖像，把要作的函數(shù)的圖像轉化為基本函數(shù)的圖像來解決． y＝｜x｜，若不含“｜｜”號，則是我們初中學過的y＝x，現(xiàn)在含絕對值號，故去絕對值號，得分段函數(shù)而分段函數(shù)的圖像只要分段作出即可． 三、解釋應用 ［練習一］ 1. 作出y＝｜x－1｜的圖像，與函數(shù)y＝｜x｜的圖像比較，并說出你發(fā)現(xiàn)了什么． 2. 作出y＝x2＋2｜x｜＋1的圖像． 3. 若x2＋2｜x｜＋1＝m，當m為何值時，關于x的方程有四個解？三個解？兩個解？無解？ ［例　題］ 某市空調公共汽車的票價按下列規(guī)則制定： （1）乘坐汽車不超過5km，票價2元． （2）超過5km，每增加5km，票價增加1元．（不足5km的按5km計算） 已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1km，如果沿途（包括起點站和終點站）有21個汽車站，請根據題意寫出票價與路程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像． 學生分析討論：函數(shù)定義域是什么？值域是什么？圖像如何作？ 教師引導學生寫出如下解答過程． 解：設票價為y元，路程為xkm． 如果某空調汽車運行路線中設21個汽車站，那么汽車行駛的路程約為20km，故自變量x的取值范圍是x∈（0，20］，且x∈N，函數(shù)y的取值范圍是y∈｛2，3，4，5｝． 由空調汽車票價的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式： 根據這個函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)的圖像 函數(shù)圖像共有20個點構成． 像例3、例4這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的圖像應分段作． ［練習二］ 1. 下圖都是函數(shù)的圖像嗎？為什么？ （D） 目的：進一步深化對函數(shù)概念和函數(shù)圖像的理解． 2. 某人從甲鎮(zhèn)去乙村，一開始沿公路乘車，后來沿小路步行，圖中橫軸表示運動的時間，縱軸表示此人與乙村的距離，則較符合該人走法的圖像是（　?。? （D） 3. 小明從甲地去乙地，先以每小時5km的速度行進1h，然后休息10min，最后以每小時4km的速度行進了30min到達乙地． （1）試寫出速度v（km／h）關于出發(fā)時間t（h）的函數(shù)關系式，并畫出圖像． （2）試寫出小明離開甲地s（km）關于出發(fā)時間t（h）的函數(shù)關系，并畫出圖像． 四、拓展延伸 1. 設x是任意的一個函數(shù)，y是不超過x的最大整數(shù)，記作：y＝［x］，問：x與y之間是否存在函數(shù)關系？如果存在，寫出這個函數(shù)的解析式，并畫出這個函數(shù)的圖像． 答案：存在函數(shù)關系，是著名的高斯函數(shù)．現(xiàn)只寫出 x∈［－1，1］的函數(shù)關系：y＝圖像略． 2. 某家庭xx年1月份、2月份和3月份煤氣用量和支付費用如下表所示： 表7-2 月　份 用氣量 煤氣費 1月份 4m2 4元 2月份 25m2 14元 3月份 35m2 19元 該市煤氣的收費方法是：煤氣費＝基本費＋超額費＋保險費． 若每月量不超過最低限度Am3，則只付基本費3元和每月每戶的定額保險C元；若用氣量超過Am3，超過部分每立方米付B元，又知保險費C不超過5元．根據上面的表格，求A，B，C． 分析：可設每月用氣量xm3，支付費用y元，建立函數(shù)解析式解之． 解：設每月用氣xm3，支付費用y元，則 由0＜C≤5，得3＋C≤8． 由第2和3月份的費用都大于8，得 兩式相減，得B＝0.5，∴A＝2C＋3． 再分析1月份的用氣量是否超過最低限度． 不妨令A＜4，將x＝4代入3＋B（x－A）＋C，得3＋0.5［4－（3＋2C）］＋C＝4， 由此推出3.5＝4，矛盾， ∴A≥4，1月份付款方式為3＋C． ∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5． ∴A＝5，B＝0.5，C＝1． 點　評 這篇案例分三個層次對三種表示方法進行了比較： 第一層次：用一個簡單的例子對函數(shù)的三種表示方法進行了復習和比較； 第二層次：對函數(shù)的三種表示方法進行了比較，選擇了適當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)； 第三層次：三種表示函數(shù)的方法的相互轉化． 三個層次，層層深入，并對三種表示方法的優(yōu)、劣進了比較，重點突出．拓展延伸通過高斯函數(shù)，加深了學生對抽象函數(shù)、分段函數(shù)的認識．在注重三種表示方法的同時，加強了學生應用意識的培養(yǎng)．