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2019-2020年高三數學總復習 平面與平面平行教案 理 教材分析 這節(jié)課的主要內容是兩個平面平行的判定定理、性質定理及其應用，它是繼學生學習了直線與平面的位置關系之后，又一種圖形之間的位置關系的研究．判定是由“直線與直線平行”轉化為“直線與平面平行”，進而轉化為“兩平面平行”．兩性質則是由“兩平面平行”轉化為“直線與平面平行”或“直線與直線平行”．由此，突破問題的關鍵在于抓住“轉化”這個中心．這節(jié)課的重點是兩個平面平行的性質定理和判定定理及兩定理的應用，難點是結合問題的特點如何正確而合理地選擇方法，準確地使用符號語言進行推理論證． 教學目標 1. 了解平面與平面的位置關系，掌握兩個平面平行的判定定理和性質定理，進一步培養(yǎng)學生的空間想象能力和推理能力． 2. 通過實驗、探索、發(fā)現、證明、應用這一學習過程，激發(fā)學生學習數學的自信心和積極性，端正他們學習數學的科學態(tài)度，培養(yǎng)他們良好的思維習慣，進一步培養(yǎng)他們的探索精神和創(chuàng)新意識，同時讓他們感受到數學體系在內容上的嚴謹與和諧． 任務分析 這節(jié)內容結論較多，若平鋪直敘，則顯得零亂而無章法．為了充分調動學生的積極性，發(fā)揮學生的主動性，采用設問方式，引導學生自己發(fā)現問題，分析推理，歸納結論，從而加速學生的理解和掌握． 教學設計 一、問題情境 通過前面的學習，對直線與平面的位置關系有了一個明確的認識，那么空間中的兩個平面的位置關系又有幾種可能呢？讓學生觀察教室的墻面、屋頂和地面，給學生以感性認識，讓學生討論． ［平面與平面平行，平面與平面相交（個別學生可能會說平面與平面垂直，教師可作相應的解釋）］ 二、建立模型 ［問　題］ 1. 空間中兩個平面的位置關系有幾種？ 通過上面的討論學生能回答出：平行、相交． 2. 兩種位置關系中，其公共點的個數各是多少個？ 學生討論，教師總結，得出： 若兩平面α，β無公共點，則稱兩平面α、β平行，記作α∥β． 若兩個平面有公共點，依據公理3，這些公共點組成了兩個平面的公共直線，這時稱兩個平面相交． 3. 怎么畫兩個平行平面？ 學生分析討論，教師總結，得出：畫兩平行平面時應使兩個表示平面的平行四邊形的對應邊平行，并盡量使兩平行四邊形不重疊．如圖17-1． 4. 如何判斷兩平面平行？ 教師演示，學生討論：將兩個相交的直尺慢慢從講桌上往上平移，讓學生分析平移后的相交直線確定的平面與講桌面的位置關系． 如圖17-2，在平面α內，作兩條相交直線a，b，并且ａ∩ｂ＝P，平移這兩條相交直線ａ，ｂ到直線ａ′，ｂ′的位置，設ａ′∩ｂ′＝P′，由直線與平面平行的判定定理可知ａ′∥α，ｂ′∥α． 由相交直線ａ′，ｂ′確定的平面β與平面α不會有公共點．否則，如圖17-2，如果兩平面相交，交線是ｃ，這時，過點P′有兩條直線平行于交線ｃ，根據平行公理，這是不可能的． 由此，我們得出兩平面平行的判定定理． 定理　如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行． 思考：（1）如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行嗎？ （2）如果一個平面內的兩條平行直線，分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行嗎？ 對于判定，我們可簡記為：“線面平行，則面面平行”． 5. 觀察教室的天花板面和地面，知道它們是平行的平面，并且這兩個平行平面與墻面相交，試分析這兩條交線有什么樣的位置關系．學生會答出“平行”．于是有： 定理　如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行． 事實上，由于兩條交線分別在兩個平行平面內，所以它們不相交，它們又都同在一個平面內，由平行線的定義可知，它們是平行的．如圖17-3． 思考：（1）如果兩個平面平行，那么一個平面內的直線是否必平行于另一個平面？ （2）分別位于兩平行平面內的兩條直線是否必平行？ 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 已知：三棱錐P—ABC，D，E，F分別是棱PA，PB，PC的中點（如圖17-4）． 求證：平面DEF∥平面ABC． 證明：在△PAB中，因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB．又知DE∥平面ABC，因此DE∥平面ABC．同理EF∥平面ABC．又因為DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC． 2. 已知：平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C和點D，E，F（如圖17-5）．求證： 證明：連接DC，設DC與平面β相交于點G，則平面ACD與平面α，β分別相交于直線AD，BG．平面DCF與平面β，γ分別相交于直線GE，CF．因為α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF．于是，得 由此例可得如下結論：兩直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例． 3. 已知：如圖17-6，平面α∥平面β，AB與CD是兩條異面直線，ABα，CDβ．若E，F，G分別為AC，CB，BD的中點，求證平面EFG∥α∥β 證明：因為EF∥AB，AB∥α，EFα，所以EF∥α． 又FG∥CD，設FG與CD確定的平面為γ，且γ∩α＝BM，因為α∥β，γ∩β＝CD，故BM∥CD，所以FG∥BM，BMα，FGα，所以FG∥BM，所以FG∥α． 又由EF∩GF＝F，故平面EFG∥а，同理平面EFG∥β． ［練　習］ 1. 如圖17-7，平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C和點D，E，F．已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的長． 2. 如圖17-8，空間四邊形ABCD，E在AB上． （1）過E作平行于對角線AC，BD的截面，并判定它的形狀． （2）設BD＝a，AC＝b，AC，BD所成的角為Q，且AE∶EB＝k，求（1）中截面的面積． （3）當Q為定值時，求（1）中所能畫出的最大的截面面積． 四、拓展延伸 1. 設a，b是兩條異面直線，A為不在a，b上的空間一點，問過點A能否作一平面與直線a，b都平行． 2. 怎樣使用水平儀來檢測桌面是不是平的？ 點　評 這個案例把問題作為教學的出發(fā)點，通過教師的課堂演示及提問，引導學生探索，分析，類比，化歸；通過學生的討論，發(fā)言，讓學生主動發(fā)現規(guī)律．整個教學過程抓住了“類比和轉化”這一數學方法的運用． 這個案例設計完整，思路清晰．一開始便在上節(jié)的基礎上引入了兩平面平行的背景，然后總結歸納出兩平面平行的定義．又在演示實驗的基礎上得出兩平面平行的判定定理及性質定理．整個過程充分體現了由特殊到一般、再由一般到特殊的辯證思維過程，給學生創(chuàng)造了較大的思維空間和探索求知的機會，同時關注了學生的情感、態(tài)度和價值觀的培養(yǎng)．