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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第22講 任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化； 2．三角函數(shù) （1）借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義； （2）借助單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（π/2α, πα的正弦、余弦、正切）。 二．命題走向 從近幾年的新課程高考考卷來(lái)看，試題內(nèi)容主要考察三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)，但解決這類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)是任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式，在處理一些復(fù)雜的三角問(wèn)題時(shí)，同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。 預(yù)測(cè)xx年高考對(duì)本講的考察是： 1．題型是1道選擇題和解答題中小過(guò)程； 2．熱點(diǎn)內(nèi)容是三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用和實(shí)際應(yīng)用，這也是新課標(biāo)教材的熱點(diǎn)內(nèi)容。 三．要點(diǎn)精講 1．任意角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線(xiàn)由原來(lái)的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線(xiàn)叫做角的始邊，叫終邊，射線(xiàn)的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。 為了區(qū)別起見(jiàn)，我們規(guī)定:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線(xiàn)沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱(chēng)它形成了一個(gè)零角。 2．終邊相同的角、區(qū)間角與象限角 角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱(chēng)為非象限角。 終邊相同的角是指與某個(gè)角α具有同終邊的所有角，它們彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。 區(qū)間角是介于兩個(gè)角之間的所有角，如α∈{α|≤α≤}=[，]。 3．弧度制 長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě))。 角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定。 角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，l是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，是半徑。 角度制與弧度制的換算主要抓住。 弧度與角度互換公式：1rad＝≈57.30=5718ˊ、1＝≈0.01745（rad）。 弧長(zhǎng)公式：（是圓心角的弧度數(shù)）， 扇形面積公式：。 4．三角函數(shù)定義 在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過(guò)作軸的垂線(xiàn),垂足為,則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為,線(xiàn)段的長(zhǎng)度為.則；；。 a的終邊 P(x,y)) O x y 利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么: (1)叫做的正弦,記做,即； （2）叫做的余弦,記做,即； （3）叫做的正切,記做,即。 5．三角函數(shù)線(xiàn) O x y a角的終邊 P T M A 三角函數(shù)線(xiàn)是通過(guò)有向線(xiàn)段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線(xiàn)在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問(wèn)題時(shí)，十分方便。 以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度1為半徑畫(huà)一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長(zhǎng)度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義：；。 我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定： 當(dāng)線(xiàn)段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎颍矣姓?；?dāng)線(xiàn)段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無(wú)論那種情況都有 同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)， 規(guī)定：當(dāng)線(xiàn)段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎颍矣姓?；?dāng)線(xiàn)段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 這樣,無(wú)論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線(xiàn)段，叫做有向線(xiàn)段。 如上圖,過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線(xiàn),這條切線(xiàn)必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn),請(qǐng)根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線(xiàn)段,我們有 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段,分別叫做角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)，統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)線(xiàn)。 6．同角三角函數(shù)關(guān)系式 使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。 幾個(gè)常用關(guān)系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα；(三式之間可以互相表示) 同理可以由sinα－cosα或sinαcosα推出其余兩式。 ②． ③當(dāng)時(shí)，有。 7．誘導(dǎo)公式 可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。 誘導(dǎo)公式一：，，其中 誘導(dǎo)公式二： ； 誘導(dǎo)公式三： ； 誘導(dǎo)公式四：； 誘導(dǎo)公式五：； － sin －sin sin －sin －sin sin cos cos cos －cos －cos cos cos sin （1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）； （2）記憶方法：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”； （3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)； （4）；。 四．典例解析 題型1：象限角 例1．已知角；（1）在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；（2）集合，那么兩集合的關(guān)系是什么？ 解析：（1）所有與角有相同終邊的角可表示為：， 則令 ， 得 解得 從而或 代回或 （2）因?yàn)楸硎镜氖墙K邊落在四個(gè)象限的平分線(xiàn)上的角的集合；而集合表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線(xiàn)上的角的集合，從而：。 點(diǎn)評(píng)：（1）從終邊相同的角的表示入手分析問(wèn)題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個(gè)關(guān)于的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；（2）可對(duì)整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開(kāi)討論。 例2．（xx全國(guó)理，1）若sinθcosθ＞0，則θ在（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 解析：答案：B；∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同號(hào)。 當(dāng)sinθ＞0，cosθ＞0時(shí)，θ在第一象限，當(dāng)sinθ＜0，cosθ＜0時(shí)，θ在第三象限，因此，選B。 例3．（xx春季北京、安徽，8）若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B 解析：∵A、B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，∴A＋B＞90，∴B＞90－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故選B。 例4．已知“是第三象限角，則是第幾象限角? 解法一：因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以? ∴， ∴當(dāng)k=3m（m∈Z）時(shí)，為第一象限角； 當(dāng)k= 3m＋1（m∈Z）時(shí)，為第三象限角， 當(dāng)k= 3m＋2（m∈Z）時(shí)，為第四象限角， 故為第一、三、四象限角。 解法二：把各象限均分3等份，再?gòu)膞軸的正向的上方起依次將各區(qū)域標(biāo)上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循環(huán)一周，則原來(lái)是第Ⅲ象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域。 由圖可知，是第一、三、四象限角。 點(diǎn)評(píng)：已知角的范圍或所在的象限，求所在的象限是?？碱}之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份，再?gòu)膞軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循環(huán)一周，則原來(lái)是第幾象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為 (n∈N*)的終邊所在的區(qū)域。 題型2：三角函數(shù)定義 例5．已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，求的四個(gè)三角函數(shù)值。 解析：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，。 當(dāng)； ，。 當(dāng)，；。 例6．已知角的終邊上一點(diǎn)，且，求的值。 解析：由題設(shè)知，，所以， 得， 從而， 解得或。 當(dāng)時(shí)，， ； 當(dāng)時(shí)，， ； 當(dāng)時(shí)，， 。 題型3：誘導(dǎo)公式 例7．（xx全國(guó)文，1）tan300+的值是（ ） A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋ 解析：答案：B tan300＋＝tan(360－60)＋＝－tan60＋＝1－。 例8．化簡(jiǎn)： （1）； （2）。 解析：（1）原式； （2）①當(dāng)時(shí)，原式。 ②當(dāng)時(shí)，原式。 點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)是表示的整數(shù)倍與公式一中的整數(shù)有區(qū)別，所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類(lèi)型，分別加以討論。 題型4：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 例9．已知，試確定使等式成立的角的集合。 解析：∵， ===。 又∵， ∴， 即得或 所以，角的集合為：或。 例10．（1）證明：； （2）求證：。 解析：（1）分析：證明此恒等式可采取常用方法，也可以運(yùn)用分析法，即要證，只要證AD=BC,從而將分式化為整式 證法一：右邊= = = 證法二：要證等式，即為 只要證 2（）（）= 即證： ， 即1=，顯然成立， 故原式得證。 點(diǎn)評(píng)：在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角恒等式的證明時(shí)，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式，利用倒數(shù)關(guān)系比常規(guī)的“化切為弦”要簡(jiǎn)潔得多。（2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有三種，即平方關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系。 （2）證法一：由題義知，所以。 ∴左邊=右邊。 ∴原式成立。 證法二：由題義知，所以。 又∵， ∴。 證法三：由題義知，所以。 ， ∴。 點(diǎn)評(píng)：證明恒等式的過(guò)程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一的過(guò)程，證明時(shí)常用的方法有：（1）從一邊開(kāi)始，證明它等于另一邊（如例5的證法一）；（2）證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子（如例6）；（3）證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立。 五．思維總結(jié) 1．幾種終邊在特殊位置時(shí)對(duì)應(yīng)角的集合為： 角的終邊所在位置 角的集合 X軸正半軸 Y軸正半軸 X軸負(fù)半軸 Y軸負(fù)半軸 X軸 Y軸 坐標(biāo)軸 2．α、、2α之間的關(guān)系。 若α終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。 若α終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。 若α終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。 若α終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。 3．任意角的概念的意義，任意角的三角函數(shù)的定義，同角間的三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式由于本重點(diǎn)是任意角的三角函數(shù)角的基礎(chǔ)，因而三學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)要注意如下幾點(diǎn)：（1）熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求解有關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意有關(guān)范圍的限制；（2）要注意差異分析，又要活用公式，要善于瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)進(jìn)行有效的變形，其解題一般思維模式為：發(fā)現(xiàn)差異，尋找聯(lián)系，合理轉(zhuǎn)化。 只有這樣才能在高考中奪得高分。三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么,,。所以，三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，又因?yàn)榻堑募吓c實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)。 4．運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)、證明 常用的變形措施有：大角化小，切割化弦等，應(yīng)用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一個(gè)不為零的，得到一個(gè)只含的教簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式。