2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 平面向量(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 平面向量(含解析)一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu):二、高考要求1、理解向量的概念,掌握向量的幾何表示,了解共線向量的概念。2、掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律。3、掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則及運(yùn)算律,理解兩個(gè)向量共線的充要條件。4、了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐標(biāo)的概念,掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義,了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題,掌握向量垂直的條件。6、掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,并且能熟練運(yùn)用;掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理,并能初步運(yùn)用它們解斜三角形。8、通過(guò)解三角形的應(yīng)用的教學(xué),繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。三、熱點(diǎn)分析對(duì)本章內(nèi)容的考查主要分以下三類(lèi):1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì).此類(lèi)題一般難度不大,用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問(wèn)題.2.以解答題考查圓錐曲線中的典型問(wèn)題.此類(lèi)題綜合性比較強(qiáng),難度大,以解析幾何中的常規(guī)題為主.3.向量在空間中的應(yīng)用(在B類(lèi)教材中).在空間坐標(biāo)系下,通過(guò)向量的坐標(biāo)的表示,運(yùn)用計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì).在復(fù)習(xí)過(guò)程中,抓住源于課本,高于課本的指導(dǎo)方針.本章考題大多數(shù)是課本的變式題,即源于課本.因此,掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵.分析近幾年來(lái)的高考試題,有關(guān)平面向量部分突出考查了向量的基本運(yùn)算。對(duì)于和解析幾何相關(guān)的線段的定比分點(diǎn)和平移等交叉內(nèi)容,作為學(xué)習(xí)解析幾何的基本工具,在相關(guān)內(nèi)容中會(huì)進(jìn)行考查。本章的另一部分是解斜三角形,它是考查的重點(diǎn)??偠灾?,平面向量這一章的學(xué)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ),強(qiáng)化運(yùn)算,重視應(yīng)用??疾榈闹攸c(diǎn)是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。四、復(fù)習(xí)建議由于本章知識(shí)分向量與解斜三角形兩部分,所以應(yīng)用本章知識(shí)解決的問(wèn)題也分為兩類(lèi):一類(lèi)是根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對(duì)向量進(jìn)行運(yùn)算,并能運(yùn)用向量知識(shí)解決平面幾何中的一些計(jì)算和證明問(wèn)題;另一類(lèi)是運(yùn)用正、余弦定理正確地解斜三角形,并能應(yīng)用解斜三角形知識(shí)解決測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題。在解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí),一是要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換,正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算,進(jìn)一步加深對(duì)“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí),并體會(huì)用向量處理問(wèn)題的優(yōu)越性。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想,所以要通過(guò)向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上的作用。在解決解斜三角形問(wèn)題時(shí),一方面要體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用,另一方面要體會(huì)解斜三角形是重要的測(cè)量手段,通過(guò)學(xué)習(xí)提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。五、典型例題【例1】 在下列各命題中為真命題的是( )若=(x1,y1)、=(x2,y2),則=x1y1+x2y2若A(x1,y1)、B(x2,y2),則=若=(x1,y1)、=(x2,y2),則=0x1x2+y1y2=0若=(x1,y1)、=(x2,y2),則x1x2+y1y2=0A、 B、 C、 D、解:根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示;若=(x1,y1), =(x2,y2),則=x1x2+y1y2,對(duì)照命題(1)的結(jié)論可知,它是一個(gè)假命題、于是對(duì)照選擇支的結(jié)論、可以排除(A)與(D),而在(B)與(C)中均含有(3)、故不必對(duì)(3)進(jìn)行判定,它一定是正確的、對(duì)命題(2)而言,它就是兩點(diǎn)間距離公式,故它是真命題,這樣就以排除了(C),應(yīng)選擇(B)、說(shuō)明:對(duì)于命題(3)而言,由于=0=或=或x1x2+y1y2=0,故它是一個(gè)真命題、而對(duì)于命題(4)來(lái)講,x1x2+y1y2=0、但反過(guò)來(lái),當(dāng)x1x2+y1y2=0時(shí),可以是x1=y1=0,即=,而我們的教科書(shū)并沒(méi)有對(duì)零向量是否與其它向量垂直作出規(guī)定,因此x1x2+y1y2=0),所以命題(4)是個(gè)假命題、【例2】 已知=(,1), =(1, ),那么,的夾角=( )A、30 B、60 C、120 D、150解:=(,1)(1,)=2=2=2cos=【例3】 已知=(2,1), =(1,3),若存在向量使得:=4, =9,試求向量的坐標(biāo)、解:設(shè)=(x,y),則由=4可得:2x+y=4;又由=9可得:x+3y=9于是有: 由(1)+2(2)得7y=14,y=2,將它代入(1)可得:x=3=(3,2)、說(shuō)明:已知兩向量,可以求出它們的數(shù)量積,但是反過(guò)來(lái),若已知向量及數(shù)量積,卻不能確定、【例4】 求向量=(1,2)在向量=(2,2)方向上的投影、解:設(shè)向量與的夾角、有cos= =在方向上的投影=cos=()=【例5】 已知ABC的頂點(diǎn)分別為A(2,1),B(3,2),C(3,1),BC邊上的高AD,求及點(diǎn)D的坐標(biāo)、解:設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)AD是邊BC上的高,ADBC,又C、B、D三點(diǎn)共線,又=(x2,y1), =(6,3)=(x3,y2)解方程組,得x=,y=點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,),的坐標(biāo)為(,)【例6】 設(shè)向量、滿足:=1,且+=(1,0),求,、解:=1,可設(shè)=(cos,sin), =(cos,sin)、+=(cos+cos,sin+sin)=(1,0),由(1)得:cos=1cos(3)由(2)得:sin=sin(4)cos=1cos=sin=,sin=或【例7】 對(duì)于向量的集合A=(x,y)x2+y21中的任意兩個(gè)向量、與兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)、;求證:向量+的大小不超過(guò)+、證明:設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2)根據(jù)已知條件有:x21+y211,x22+y221又因?yàn)?=其中x1x2+y1y2 1所以+=+=+【例8】 已知梯形ABCD中,ABCD,CDA=DAB=90,CD=DA=AB、求證:ACBC證明:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系、如圖,設(shè)AD=1則A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,1)=(1,1), =(1,1)=11+11=0BCAC、【例9】 已知A(0,a),B(0,b),(0ab),在x軸的正半軸上求點(diǎn)C,使ACB最大,并求出最大值、解,設(shè)C(x,0)(x0)則=(x,a), =(x,b)則=x2+ab、cosACB=令t=x2+ab故cosACB=當(dāng)=即t=2ab時(shí),cosACB最大值為、當(dāng)C的坐標(biāo)為(,0)時(shí),ACB最大值為arccos、【例10】 如圖,四邊形ABCD是正方形,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),PECF是矩形,用向量法證明(1)PA=EF (2)PAEF證明:建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,=,則A(0,1),P(,),E(1,),F(xiàn)(,0)=(,1), =(1, )(1)2=()2+(1)2=2+12=(1)2+()2=2+12=2,故PA=EF(2) =()(1)+(1)()=0 PAEF、【例11】 已知 求; 當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí),k與平行, 平行時(shí)它們是同向還是反向?解:= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , = =.k= k(1,0)(2,1)=(k2,1). 設(shè)k=(),即(k2,1)= (7,3), . 故k= 時(shí), 它們反向平行.【例12】 已知與的夾角為,若向量與垂直, 求k.解:=21=1. 與垂直, ()= , 2 k = 5.【例13】 如果ABC的三邊a、b、c滿足b2 + c 2 = 5a2,BE、CF分別為AC邊與AB上的中線, 求證:BECF.解:, 即 BECF .【例14】 是否存在4個(gè)平面向量,兩兩不共線,其中任何兩個(gè)向量之和均與其余兩個(gè)向量之和垂直?解:如圖所示,在正ABC中,O為其內(nèi)心,P為圓周上一點(diǎn),滿足,兩兩不共線,有(+)(+)=(+)(+)=(2+)(2+)=(2)(2+)=422=422=0有(+)與(+)垂直、同理證其他情況、從而,滿足題意、故存在這樣4個(gè)平面向量、平面向量的綜合應(yīng)用1利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解決兩直線的夾角,判定兩直線平行、垂直問(wèn)題【例1】 已知向量滿足條件,求證:是正三角形解:令O為坐標(biāo)原點(diǎn),可設(shè)由,即兩式平方和為,由此可知的最小正角為,即與的夾角為,同理可得與的夾角為,與的夾角為,這說(shuō)明三點(diǎn)均勻分部在一個(gè)單位圓上,所以為等腰三角形.【例2】 求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù)解:如圖,分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸、軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則,從而可求:,=. .2利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,解決有關(guān)線段的長(zhǎng)度問(wèn)題【例3】 已知,AD為中線,求證證明:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在的直線為軸建立如圖2直角坐標(biāo)系,設(shè),則,.=,從而,.3利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,用已知向量表示未知向量【例4】 已知點(diǎn)是且試用解:以O(shè)為原點(diǎn),OC,OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.由OA=2,所以,易求,設(shè).【例5】 如圖,用表示解:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A所在的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則,.4利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問(wèn)題【例6】 如圖,已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CB=C1CD=BCD.(1)求證:C1CBD.(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí),能使A1C平面C1BD?請(qǐng)給出證明. (1)證明:設(shè)=a, =b,=c,依題意,|a|=|b|,、中兩兩所成夾角為,于是=ab,=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,C1CBD.(2)解:若使A1C平面C1BD,只須證A1CBD,A1CDC1,由=(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0,得當(dāng)|a|=|c|時(shí),A1CDC1,同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí),A1CBD,=1時(shí),A1C平面C1BD.【例7】 如圖,直三棱柱ABCA1B1C1,底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90,AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).(1)求的長(zhǎng);(2)求cos的值;(3)求證:A1BC1M.解:(1)如圖,以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.依題意得:B(0,1,0),N(1,0,1)|=.(2)解:依題意得:A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2).=(0,1,2)=10+(1)1+22=3|=(3)證明:依題意得:C1(0,0,2),M()A1BC1M.5利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問(wèn)題,距離問(wèn)題包括點(diǎn)到點(diǎn)的距離,點(diǎn)的線的距離,點(diǎn)到面的距離,線到線的距離,線到面的距離,面到面的距離.【例8】 求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式解:設(shè)點(diǎn) , ,而點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為:6.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問(wèn)題.【例9】 證明:證明:在單位圓上任取兩點(diǎn),以為始邊,以為終邊的角分別為,則點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為;則向量,它們的夾角為,,由向量夾角公式得:,從而得證.注:用同樣的方法可證明7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問(wèn)題.【例10】 證明柯西不等式證明:令(1) 當(dāng)或時(shí),結(jié)論顯然成立;(2) 當(dāng)且時(shí),令為的夾角,則 . 又 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立) .(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)【例11】 求的最值解:原函數(shù)可變?yōu)椋灾豁毲蟮淖钪导纯?,?gòu)造,那么.故.【例12】 三角形ABC中,A(5,1)、B(1,7)、C(1,2),求:(1)BC邊上的中線AM的長(zhǎng);(2)CAB的平分線AD的長(zhǎng);(3)cosABC的值.解:(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM=D點(diǎn)分的比為2.xD=(3)ABC是與的夾角,而=(6,8),=(2,5).解斜三角形【例1】 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B.,求cos的值.解法一:由題設(shè)條件知B=60,A+C=120.設(shè)=,則AC=2,可得A=60+,C=60,依題設(shè)條件有整理得4cos2+2cos3=0(M)(2cos)(2cos+3)=0,2cos+30,2cos=0.從而得cos.解法二:由題設(shè)條件知B=60,A+C=120,把式化為cosA+cosC=2cosAcosC ,利用和差化積及積化和差公式,式可化為 , 將cos=cos60=,cos(A+C)=代入式得:將cos(AC)=2cos2()1代入 :4cos2()+2cos3=0,(*), 【例2】 在海島A上有一座海拔1千米的山,山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P,上午11時(shí),測(cè)得一輪船在島北30東,俯角為60的B處,到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北60西、俯角為30的C處。(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米;(2)又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,船到達(dá)海島的正西方向的D處,問(wèn)此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)?解:(1)在RtPAB中,APB=60 PA=1,AB= (千米)在RtPAC中,APC=30,AC= (千米)在ACB中,CAB=30+60=90(2)DAC=9060=30sinDCA=sin(180ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30.在ACD中,據(jù)正弦定理得,答:此時(shí)船距島A為千米.【例3】 已知ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+C=2B,設(shè)x=cos,f(x)=cosB().(1)試求函數(shù)f(x)的解析式及其定義域;(2)判斷其單調(diào)性,并加以證明;(3)求這個(gè)函數(shù)的值域.解:(1)A+C=2B,B=60,A+C=1200|60,x=cos(,1又4x230,x,定義域?yàn)?,)(,1.(2)設(shè)x1x2,f(x2)f(x1)=,若x1,x2(),則4x1230,4x2230,4x1x2+30,x1x20,f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1),若x1,x2(,1,則4x1230.4x2230,4x1x2+30,x1x20,f(x2)f(x1)0.即f(x2)f(x1),f(x)在(,)和(,1上都是減函數(shù).(3)由(2)知,f(x)f()=或f(x)f(1)=2.故f(x)的值域?yàn)?,)2,+.【例4】 在中,角所對(duì)的邊分別為若,求角解:由正弦定理,將已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角可得.因?yàn)?,故有?.又 , ,即,由,可解得【例5】 在ABC中,已知.(1)若任意交換的位置,的值是否會(huì)發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論;(2)求的最大值.解:(1) , 任意交換的位置,的值不會(huì)發(fā)生變化(2)解法1:將看作是關(guān)于的二次函數(shù).所以,當(dāng),且取到最大值1時(shí),也即時(shí),取得最大值解法2:用調(diào)整的方法, 也即對(duì)于每個(gè)固定的的值,去調(diào)整,求出取得最大值時(shí)所滿足的條件對(duì)于,如果固定,則可將看作是關(guān)于的一次或常數(shù)函數(shù)為了討論其最大值,顯然應(yīng)該考慮的符號(hào),并由此展開(kāi)討論若,則,所以,所以,所以,只需考慮的情形此時(shí)是關(guān)于的常數(shù)函數(shù)或單調(diào)遞增的一次函數(shù),因此,最大值必可在(即)時(shí)取得所以,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得【平面向量練習(xí)】一、選擇題:1、下列各式中正確的是( C ) (1)(a) b=(a b)=a (b), (2)|ab|=|a|b|, (3)(a b) c=a (b c), (4)(a+b) c= ac+bc A(1)(3) B(2)(4) C(1)(4) D以上都不對(duì).2、在ABC中,若(+)()=0,則ABC為( C ) A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D無(wú)法確定3、若|a|=|b|=|ab|,則b與a+b的夾角為( A ) A30 B60 C150 D1204、已知|a|=1,|b|= ,且(ab)和a垂直,則a與b的夾角為( D ) A60 B30 C135 D455、若 + = 0,則ABC為( A )A直角三角形 B鈍角三角形C銳角三角形 D等腰直角三角形6、設(shè)|a|= 4,|b|= 3, 夾角為60, 則|a+b|等于( C ) A37 B13 C D 7、己知|a|=1,|b|=2, a與b的夾角為600,c =3a+b, d =ab ,若cd,則實(shí)數(shù)的值為( C ) A B C D 8、設(shè) a,b,c是平面內(nèi)任意的非零向量且相互不共線,則( D ) (ab) c(ca)b=0 |a| |b| |ab| (bc)a(ca)b不與c垂直 (3a+2b)(3a2b)= 9|a|24|b|2 其中真命題是( ) A B C D二、填空題:9、已知e是單位向量,求滿足ae且ae=18的向量a=_.18e10、設(shè)a=(m+1)i3j, b=i+(m1)j, (a+b) (ab), 則m=_.211、|a|=5, |b|=3,|ab|=7,則a、b的夾角為_(kāi). 12012、 a與d=b關(guān)系為_(kāi). ab三、解答題:13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求: ab ;(2ab) (a+3b)解:|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2,=. (2ab)(a+3b)=2a2+5ab3b2=2|a|2+5ab3|b|2=242+5(10)352=93. 14、四邊形ABCD中,= a, = b,= c, = d,且ab=bc=cd=d a,判斷四邊形ABCD是什么圖形?分析:在四邊形ABCD中,a+b+c+d=0,這是一個(gè)隱含條件,對(duì)a+b=(c+d),兩邊平方后,用ab=bc=dc代入,從四邊形的邊長(zhǎng)與內(nèi)角的情況來(lái)確定四邊形的形狀.解:a+b+c+d=0,a+b=(c+d),(a+b)2=(c+d)2,即|a|2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2,ab=cd,|a|2+|b|2=|c|2+|d|2同理:|a|2+|d|2=|b|2+|c|2,兩式相減得:|b|2=|d|2,|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|. ABCD為平行四邊形. 又ab=bc,即b(ac)=0,而a=c,b(2a)=0 ab,四邊形ABCD為矩形.15、已知:|a|=5,|b|=4,且a與b的夾角為60,問(wèn)當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時(shí),向量kab與 a+2b垂直?解:. 【平面向量的綜合應(yīng)用練習(xí)】一、選擇題1.設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(1,0),(0,2),(4,3),(3,1),則四邊形ABCD為( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形2.已知ABC中,=a,=b,ab0,SABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是( )A.30B.150C.150D.30或150二、填空題3.將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3,1),則向量a=_.4.等腰ABC和等腰RtABD有公共的底邊AB,它們所在的平面成60角,若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_.三、解答題5.如圖,在ABC中,設(shè)=a, =b, =c, =a,(01), =b(01),試用向量a,b表示c.6.正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為a.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫(xiě)出A、B、A1、C1的坐標(biāo);(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.7.已知兩點(diǎn)M(1,0),N(1,0),且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線?(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為與的夾角,求tan.8.已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面;(2)用向量法證明:BD平面EFGH;(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn),求證:對(duì)空間任一點(diǎn)O,有.參考答案一、1.解析: =(1,2), =(1,2),=,又線段AB與線段DC無(wú)公共點(diǎn),ABDC且|AB|=|DC|,ABCD是平行四邊形,又|=, =(5,3),|=,|,ABCD不是菱形,更不是正方形;又=(4,1),14+21=60,不垂直于,ABCD也不是矩形,故選D.答案:D2.解析:35sin得sin=,則=30或=150.又ab0,=150.答案:C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解:與共線,=m=m()=m(ba),=+=a+m(ba)=(1m)a+mb又與共線,=n=n()=n(ab),=+=b+n(ab)=na+(1n)b由,得(1m)a+mb=na+(1n)b.a與b不共線,解方程組得:m=代入式得c=(1m)a+mb=(1)a+(1)b.6.解:(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以AB所在直線為Oy軸,以AA1所在直線為Oz軸,以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸,建立空間直角坐標(biāo)系.由已知,得A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,a),C1(a).(2)取A1B1的中點(diǎn)M,于是有M(0,a),連AM,MC1,有=(a,0,0),且=(0,a,0),=(0,0a)由于=0,=0,所以MC1面ABB1A1,AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.=所以所成的角,即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30.7.解:(1)設(shè)P(x,y),由M(1,0),N(1,0)得, =(1x,y), =(1x,y), =(2,0),=2(1+x), =x2+y21, =2(1x).于是,是公差小于零的等差數(shù)列,等價(jià)于所以,點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的右半圓.(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)8.證明:(1)連結(jié)BG,則由共面向量定理的推論知:E、F、G、H四點(diǎn)共面,(其中=)(2)因?yàn)?所以EHBD,又EH面EFGH,BD面EFGH所以BD平面EFGH.(3)連OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG由(2)知,同理,所以,EHFG,所以EG、FH交于一點(diǎn)M且被M平分,所以.【解斜三角形練習(xí)】一、選擇題1.給出四個(gè)命題:(1)若sin2A=sin2B,則ABC為等腰三角形;(2)若sinA=cosB,則ABC為直角三角形;(3)若sin2A+sin2B+sin2C2,則ABC為鈍角三角形;(4)若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1,則ABC為正三角形.以上正確命題的個(gè)數(shù)是( )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題2.在ABC中,已知A、B、C成等差數(shù)列,則的值為_(kāi).3.在ABC中,A為最小角,C為最大角,已知cos(2A+C)=,sinB=,則cos2(B+C)=_.三、解答題4.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積.5.如右圖,在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈,桌子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角的正弦成正比,角和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平方成反比,即I=k,其中 k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù),那么怎樣選擇電燈懸掛的高度h,才能使桌子邊緣處最亮?6.在ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,.(1)求角A的度數(shù);(2)若a=,b+c=3,求b和c的值.7.在ABC中,A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且a、b、3c成等比數(shù)列,又AC=,試求A、B、C的值.8.在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn),使沿線段DE折疊三角形時(shí),頂點(diǎn)A正好落在邊BC上,在這種情況下,若要使AD最小,求ADAB的值.參考答案一、1.解析:其中(3)(4)正確.答案: B二、2.解析:A+B+C=,A+C=2B,答案:3.解析:A為最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180.cos(2A+C)=,sin(2A+C)=.C為最大角,B為銳角,又sinB=.故cosB=.即sin(A+C)=,cos(A+C)=.cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=,cos2(B+C)=2cos2(B+C)1=.答案:三、4.解:如圖:連結(jié)BD,則有四邊形ABCD的面積:S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180,sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理,在ABD中,BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中,BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC,cosC=cosA,64cosA=32,cosA=,又0A180,A=120故S=16sin120=8.5.解:R=rcos,由此得:,7.解:由a、b、3c成等比數(shù)列,得:b2=3acsin2B=3sinCsinA=3()cos(A+C)cos(AC)B=(A+C).sin2(A+C)=cos(A+C)cos即1cos2(A+C)=cos(A+C),解得cos(A+C)=.0A+C,A+C=.又AC=A=,B=,C=. 8.解:按題意,設(shè)折疊后A點(diǎn)落在邊BC上改稱(chēng)P點(diǎn),顯然A、P兩點(diǎn)關(guān)于折線DE對(duì)稱(chēng),又設(shè)BAP=,DPA=,BDP=2,再設(shè)AB=a,AD=x,DP=x.在ABC中,APB=180ABPBAP=120,由正弦定理知:.BP=在PBD中,, 060,6060+2180,當(dāng)60+2=90,即=15時(shí),sin(60+2)=1,此時(shí)x取得最小值a,即AD最小,ADDB=23. 平面向量單元測(cè)試題 班級(jí) 姓名 考號(hào) 一,選擇題:(5分8=40分) 1,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是 ( )A零向量沒(méi)有方向 B零向量與任何向量平行C零向量的長(zhǎng)度為零 D零向量的方向是任意的 2,下列命題正確的是 ( )A. 若、都是單位向量,則 B. 若=, 則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形C. 若兩向量、相等,則它們是始點(diǎn)、終點(diǎn)都相同的向量D. 與是兩平行向量 3,下列命題正確的是 ( )A、若,且,則。B、兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量,其終點(diǎn)可能不同。C、向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等 , D、若非零向量與是共線向量,則A、B、C、D四點(diǎn)共線。 4,已知向量,若,=2,則 ( )A1 B. C. D.5,若=(,),=(,),且,則有 ( ) A,+=0, B, =0, C,+=0, D, =0, 6,若=(,),=(,),且,則有 ( ) A,+=0, B, =0, C,+=0, D, =0, 7,在中,若,則一定是 ( )A鈍角三角形B銳角三角形 C直角三角形 D不能確定8,已知向量滿足,則的夾角等于 ( ) ABCD二,填空題:(5分4=20分)9。已知向量、滿足=1,=3,則 = 10,已知向量(4,2),向量(,3),且/,則 11,.已知 三點(diǎn)A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cosBAC = 12,.把函數(shù)的圖像按向量經(jīng)過(guò)一次平移以后得到的圖像,則平移向量是 (用坐標(biāo)表示)三,解答題:(10分6 = 60分)13,設(shè)且在的延長(zhǎng)線上,使,,則求點(diǎn)的坐標(biāo) 14,已知兩向量求與所成角的大小,15,已知向量=(6,2),=(3,k),當(dāng)k為何值時(shí),有 (1), ? (2), ? (3),與所成角是鈍角 ?16,設(shè)點(diǎn)A(2,2),B(5,4),O為原點(diǎn),點(diǎn)P滿足=+,(t為實(shí)數(shù)); (1),當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),求實(shí)數(shù)t的值; (2),四邊形OABP能否是平行四邊形?若是,求實(shí)數(shù)t的值 ;若否,說(shuō)明理由, 17,已知向量=(3, 4), =(6, 3),=(5m, 3m),(1)若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件;(2)若ABC為直角三角形,且A為直角,求實(shí)數(shù)m的值 18,已知向量 (1)求向量; (2)設(shè)向量,其中,若,試求的取值范圍.平面向量單元測(cè)試題答案:一,選擇題: A D C D B C C A 二,填空題: 9,2; 10,6; 11, 12, 三,解答題: 13,解法一: 設(shè)分點(diǎn)P(x,y),=2,l=2 (x4,y+3)=2(2x,6y), x4=2x+4, y+3=2y12, x=8,y=15, P(8,15)解法二:設(shè)分點(diǎn)P(x,y),=2, l=2 x=8, y=15, P(8,15)解法三:設(shè)分點(diǎn)P(x,y),, 2=, x=8, 6=, y=15, P(8,15)14,解:=2, = , cos,=, ,= 1200, 15,解:(1),k=1; (2), k=9; (3), k9, k116,解:(1),設(shè)點(diǎn)P(x,0), =(3,2), =+, (x,0)=(2,2)+t(3,2), (2),設(shè)點(diǎn)P(x,y),假設(shè)四邊形OABP是平行四邊形, 則有, y=x1, 2y=3x , 又由=+, (x,y)=(2,2)+ t(3,2), 得 , 由代入得:, 矛盾,假設(shè)是錯(cuò)誤的, 四邊形OABP不是平行四邊形。17,,解:(1)已知向量若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形,則這三點(diǎn)不共線, 3分故知實(shí)數(shù)時(shí),滿足的條件 5分(2)若ABC為直角三角形,且A為直角,則, 7分,解得 10分18, 解:(1)令 3分 (2) 4分 6分 =; 8分 1sinx1, 02, 10分- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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